探究與拓展一道經典數學高考題

☉安徽省浮山中學 吳約中

探究與拓展一道經典數學高考題

☉安徽省浮山中學 吳約中

一、問題由來

圖1

題目（2008年高考數學江蘇卷17題）如圖1，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處.AB= 20km，BC=10km.為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與A、B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO.記鋪設管道的總長度為ykm.

（1）按下列要求建立函數關系式：

①設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數；

②設OP=x（km），將y表示成x的函數.

（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短.

評析：該題為情境創設開放題，考生首先要將語言文字的理解等價化歸為函數模型（變量的范圍），主考函數的概念、解三角形、導數中函數最值的應用等基礎知識，考查考生的數學建模能力、抽象概括能力和解決實際問題的能力；特別是第（2）問，涉及污水處理廠科學選址、有效“節能”和排污管道長度最優化問題的探究.

②若OP=x（km），則OQ=10-x，所以OA=OB=

二、問題探究

上述的點O與三角形中的費馬點有何關聯呢？

1.背景再現

（1）費馬點定義：在一個多邊形中，到每個頂點距離之和最小的點叫做這個多邊形的費馬點.

（2）如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是費馬點；如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對三邊張角均為120°的點，就是三角形的費馬點.

（3）如何作一個三角形的費馬點？

作法：①作一三內角均小于120°的△ABC.②分別以AB，AC為一邊，向外側作正△ABD與△ACE.③連接CD、BE，交于點P，則P點即為所求，如圖2.

圖2

（4）如何求一個三角形的費馬點？

當一個三角形的最大角小于120°時，以每一個邊向外側作等邊三角形，連接該等邊三角形的頂點和該邊的對角頂點，三條連線的交點P就是費馬點.

解析：（1）由圖3易知，費馬點對邊的張角為120°，所以△AC′C≌△ABB′，∠AC′C=∠ABB′.

圖3

又∠AFC′=∠CFB（對頂角），

所以∠FAC′=∠BPF=60°，所以∠BPC=120°.（2）PA+PB+PC=BB′.

如圖4，將△APC以點C為旋轉中心逆時針旋轉60°與△B′DC重合，連接PD，則△PDC為等邊三角形，所以∠CPD=60°.又∠BPC=120°，因此B、P、D三點在同一直線上.又∠APC=120°，所以B、P、D、B′四點在同一直線上，故PA+PB+PC=BB′.

圖4

（3）PA+PB+PC最短.

如圖5，在△ABC內任意取一點M（不與點P重合），連接AM、BM、CM，將△AMC以點C為旋轉中心逆時針旋轉60°與△B′GC重合，連接BM、GM、B′G（同上），則B′B＜B′G+GM+ MB=AM+BM+CM.

圖5

所以費馬點到三個頂點A、B、C的距離最短.

評注：△ABC的費馬點位置是通過圖形旋轉，由極端原理得到的，將三邊距離之和轉化為同一直線上兩點之間線段最短的應用.因此該道高考試題將考題和費馬點有機聯結，變矩形為三角形構建對應的數學模型，使問題解決更加貼近考生最近發展區，從而達到觸類旁通的效果.△ABP中的點O最合適的位置是滿足AO=BO且∠AOB=120°，此時同樣可求得點O在AB的垂直平分線

2.題源探究拓展

探究拓展一：費馬點是否適合于四邊形中的優化問題？

例1A、B、C、D四個城市恰好為一個矩形的四個頂點.現要建一個公路系統，使每個城市之間都有公路相通，并使整個公路系統的總長為最小，問：該公路系統應當如何修建？

解析：如圖6，連接AC，BD，交點為P，則點P到點A、B、C、D的距離之和最短.

如圖7，在矩形內部任取一點Q，連接AQ、BQ、CQ、DQ.

因為AQ+CQ≥AC，BQ+DQ≥BD，則點P為最佳位置.

圖6

圖7

探究拓展二：如果不計較結點的個數，有沒有更短的線路？

如圖8，在△APD、△BPC中分別作出費馬點E、F（費馬點定義可證三角形任意兩邊之和大于費馬點到三頂點距離之和）.

由AP+PD＞AE+PE+DE，PB+ PC＞BF+CF+PF，得AC+BD＞AE+ PE+DE+BF+CF+PF.

又E、P、F三點共線，所以AE+ DE+BF+CF+EF＜AC+BD，即圖8的連接方法是最短的.

圖8

評注：“公路系統總長”的優化問題，可以歸結為如“亭子道路的布局設計”、“地鐵運輸線的設計”等，這些可以展現數學文化的外在美、和諧美等.

探究拓展三：費馬點是否適合于競賽中的代數問題？

例2設x，y，z，a，b∈R+，且a＞b，x，y，z滿足條件

解析：這道代數問題似乎與費馬點沒有直接關系，若根據方程組的特點，構造一個特殊三角形來解.由于等式右端為a2、b2、a2+b2，因此構造一個Rt△ABC，兩條直角邊分別為AB=a，AC=b，∠A=90°.并在Rt△ABC內找一點O，連接OA、OB、OC，使得它們之間的夾角為120°（如圖9）.設OA=x，OB=y，OC=z.由余弦定理知x，y，z，a，b之間的關系滿足上述已知的方程組條件.再將△ABO繞A點逆時針旋轉60°，得到△AB′O′.易知B′、O′、O、C四點共線，且B′O′=y，O′O=x，OC=z，∠B′AC=150°，即B′C=x+y+z.在△AB′C中，AB′=a，AC=b，∠B′AC=150°，則

圖9

評注：費馬點也可以看作是一種幾何模型.在一些代數問題中，建構相應的數學模型，問題就會變得非常簡單.這展示了數與形的有機結合，對問題的解決、深化，效果明顯.

3.思維探究拓展

思維探究拓展一：解題思維需要有“第二過程”的暴露.

數學解題思維過程的暴露是一個不斷分析解題過程、循環提升理解能力的探究過程.在此過程中，既有“第一過程”的思維暴露，又有“第二過程”的思維暴露，是解題思維的全過程暴露；在內容上，既包括數學家的思維，又包括教師、學生的思維（教學課堂應是這三種思維的同時暴露）.

（1）停留在“第一過程”的思維暴露是不完整的.

解題教學中暴露數學解題思維過程、結論的發現過程、思路的探求過程、方法的提煉過程等稱為“第一過程”的暴露.與解題思路的探求相比，初步解法的生成，其本身仍然是一個隱含在知識或結論中的思維過程，依然是解題者不懈努力、有效思考的真實過程.如果其解法是粗糙的，它就為我們繼續探索深層結構準備了研究的素材與園地；如果其解法是深刻的，它就為我們的模仿、練習提供了范例和榜樣，有利于我們直接領悟問題的深層結構.

例3如圖10所示，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的A（B上有一運動的點P.從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H.設△OPH的內心為I，當點P在（上從點A運動到點B時，求內心I所經過的路徑長.

圖10

圖11

解析：如圖11，∠AOP與∠OPH的角平分線的交點為點I，因為∠PHO= 90°，所以∠HPO+∠HOP=90°.

由題意知，∠PIO始終等于135°，且OP的長始終等于2cm.一個角度不變，所對的一條邊的長度不變，經過畫圖、思考，發現I所經過的路徑可以看作2cm為弦，且所含圓周角為135°的一段弧.點P從點A運動到點B，如圖12，I所經過的路徑就是以AO為弦，且所對的另一個圓周角為45°，所以圓心

圖12

（2）進行“第二過程”的思維暴露是有道理的.

解題過程中在暴露結論發現、思路探求的基礎上，自覺分析、繼續反思數學教學、解題的思維過程稱為“第二過程”的暴露.

第一過程的暴露主要反映了將題作為對象，將解作為目的的認知活動，它實現了有序信息向大腦的線性輸入，而第二過程的暴露不僅要將題作為對象，將解作為目標，而且要將包括“題與解”在內的解題活動作為對象，將智力的開發、促進人的發展作為目標，將歷時性的線性材料再組織為一個共時性的立體結構.是在更高層面上的再認知活動，具有鮮明的元認知特征和具體的元認知開發實效，思維的廣闊性、靈活性、深刻性、批判性等品質都將得到有效的鍛煉和提升.通過揭示為題的深層結構，對學生隱性的數學領悟施加顯意識的影響，為數學直覺的誘發鋪設必要的邏輯通道，產生協同效應.

思維探究拓展二：典型例題的探究拓展是一種案例研究.

在上面的解答過程中，思維很是精妙，結果又耐人尋味，似乎不必用到∠AOB=90°.如果∠AOB不是90°，那么還能求解嗎？上面的求解是不是有破綻呢？于是又進行了下面的探究.

問題1：如果∠AOB＜90°，例如∠AOB=60°，如圖13所示，那么

圖13

問題2：如果∠AOB＞90°，例如∠AOB=120°，如圖14所示，內心I的路徑長為A（O與O（I的和，與問題1相似，同理可得∠ICD=∠BOD= 180°-∠AOB=60°，∠OCD=90°，所以∠OCI=30°.

圖14

這道題的解題方法非常巧妙，動態弦轉化定弦，通過這樣一轉化，就解決了這個問題.再經過深入分析，不管∠AOB為多少度，都能求出這種三角形內心的路徑長.而在分析思考的過程中，開發、提升了學生的思維.

數學解題案例滲透著對特定數學問題的深刻反思，反映了數學解題實踐的經驗與方法，蘊含著一定程度的理論原理，是了解解題教學的窗口，是數學解題理論的故鄉，是數學教師發展的階梯.數學解題是智慧創造活動.誰也無法教會我們所有的題目，重要的是，通過有限道題的解題分析、案例研究、探究拓展來領悟解無限道題的數學機智.

人生有盡，題海無涯；思維有路，探究無限，探究拓展高考數學題的目的就是要通過有限個問題的思考去領悟無限個問題的思維方法.課堂是教師教學的實踐場所，是教師成長和發展的主陣地，是教師生命價值得以提升的現實起點，實踐情境和經驗背景構成了教師構建知識的專業場所.以教學中面臨的各種具體問題為研究對象，既注重實際問題，又注重概括提升、總結經驗和探究規律，一方面有助于教師數學思想的啟迪，數學人文精神的培育，數學情趣、意志、風格的塑造，另一方面又有助于構建體現新課程理念的教學模式與教學風格，有助于形成駕馭新課程教學的有效經驗和教育智慧，使學生從中受益，從而提高他們的創新意識和創新能力.解題不回顧，如同走進寶山空手回，作為一個平凡的數學教育工作者，筆者想通過這樣的探究拓展，期望學生以研究的觀點去對待解題，將每一次解題當作對數學真理的一次探究和再發現過程.解題之后若善于進行命題的引申、探究與拓展，對優化學生的思維品質，增強學生提出問題、分析問題與解決問題的基本技能會有所幫助；希望成為學生思維火把的引燃者；希望自己的學生都成為會學習、會思考、會探究、會拓展的學海弄潮兒.

1．羅增儒，著.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2001.

2．［美］G.波利亞，著.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

3．［蘇］費里德曼，著.怎樣學會解數學題［M］.梁法馴，譯.哈爾濱：黑龍江科學技術出版社，1981.F