試析一道推廣的高考試題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 謝志強(qiáng) 羅仕明

試析一道推廣的高考試題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 謝志強(qiáng) 羅仕明

一、提出問題

題目（2012年江西高考數(shù)學(xué)文科第5題）觀察下列事實(shí)：|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為4，|x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為8，|x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為12，…，則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為（）.

A.76B.80C.86D.92

此題是關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題.觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，則所求為第20項(xiàng)，得到結(jié)果為80.即|x|+|y|=k的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為f（k）=4k.對(duì)于此問題，求解較為簡(jiǎn)單，為了讓學(xué)生對(duì)認(rèn)知的深化，開拓思維的視野，并能培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，本文對(duì)此問題進(jìn)行變形推廣，得到一個(gè)關(guān)于絕對(duì)值不等式的整數(shù)解問題，通過分析發(fā)現(xiàn)此類問題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.下面提出問題：求解滿足不等式|x|+|y|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)？

二、解決問題

1.利用歸納的數(shù)學(xué)思想解決問題

（1）枚舉歸納.

數(shù)學(xué)歸納推理的目的在于尋找隱藏在特殊事例之中的量性模式，其中量性模式是指按照某種理想化的要求或?qū)嶋H可應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)，來反映或概括表現(xiàn)一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式.［1］為了解決此類不等式，不妨以簡(jiǎn)單的枚舉歸納法求解，依據(jù)某種屬性在部分同類對(duì)象中的不斷重復(fù)而沒有遇到反例，從而推出該類的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的歸納推理.

為了方便枚舉滿足不等式|x|+|y|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x，y），令f（k）表示整數(shù)解的個(gè)數(shù).枚舉如下：

當(dāng)k=1時(shí)，整數(shù)解有（0，0），即f（1）=1.

當(dāng)k=2時(shí)，整數(shù)解有（0，0）、（0，±1）、（±1，0），即f（2）=5.

當(dāng)k=3時(shí)，整數(shù)解有（0，0）、（0，±1）、（±1，0）、（0，±2）、（±2，0）、（±1，±1），即f（3）=13.

當(dāng)k=4時(shí)，整數(shù)解有（0，0）、（0，±1）、（±1，0）、（0，±2）、（±2，0）、（±1，±1）、（0，±3）、（±3，0）、（±1，±2）、（±2，±1），即f（4）=25等.

于是，可以歸納出滿足不等式|x|+|y|＜k的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為：f（k）=1+4×1+4×2+…+4（k－1）=1+2k（k－1）.

（2）要素歸納.

要素歸納模式是指通過探討所考慮對(duì)象的構(gòu)成要素及其構(gòu)成方式而發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思維方式，其核心是探尋具有一致性的量性結(jié)構(gòu).如果在平面直角坐標(biāo)系上看待此類問題的解，由上面的枚舉歸納可得出組成不等式的整數(shù)解可以分成三類：原點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)、象限內(nèi)的點(diǎn).

此處以|x|+|y|＜4的整數(shù)解（x，y）為例進(jìn)行分析，滿足此不等式的解可看作平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，得到以下結(jié)論：原點(diǎn)個(gè)數(shù)有1個(gè)，即（0，0）；坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有12個(gè)，即（0，±1）、（±1，0）、（0，±2）、（±2，0）、（0，±3）、（±3，0）；象限內(nèi)的點(diǎn)有12個(gè)，即（±1，±1）、（±1，±2）、（±2，±1）.同理，可得到當(dāng)k取不同值時(shí)，滿足不等式的解的不同討論情況，具體如表1.

表1 滿足不等式的整數(shù)解的討論情況表

（3）函數(shù)歸納.

函數(shù)歸納模式是指：將所考查的特殊事例的數(shù)量順次排列組成一個(gè)數(shù)列，把這些數(shù)量看作是某個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）的函數(shù)值，然后通過分離常量與自變量n或聯(lián)想所熟知的函數(shù)而找到函數(shù)關(guān)系式的思維方式.于是，對(duì)表1中最后一列數(shù)據(jù)利用函數(shù)歸納模式，得到：f（1）=1=（1－1）2+12，f（2）=5=（2－1）2+22，f（3）=13=（3－1）2+32，f（4）=25=（4－1）2+42，f（5）=41=（5－1）2+52，f（6）=61=（6－1）2+ 62，…，由上面6個(gè)式子可以歸納為：f（k）=（k－1）2+k2.

（4）遞推歸納.

遞推歸納模式是指：在數(shù)列中，通過探討由已知項(xiàng)“生出”未知項(xiàng)的結(jié)構(gòu)方式，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的一種思維方式，其核心是歸納出相鄰兩項(xiàng)間的遞推關(guān)系.［1］在具體運(yùn)用中，最為有效的策略是考查相鄰兩項(xiàng)的差的特點(diǎn)，因?yàn)椤安睢痹跍p小數(shù)值的同時(shí)往往也降低了所考查對(duì)象的“維度”.

對(duì)于此題，該整數(shù)解的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為1、5、13、25、41、61、85、…，則此題轉(zhuǎn)換為求該數(shù)列的通項(xiàng).直接求此數(shù)列的通項(xiàng)較為復(fù)雜，但是考查相鄰兩項(xiàng)的差構(gòu)成的數(shù)列為4、8、12、16、…，在重復(fù)地用后一項(xiàng)減去它前一項(xiàng).將此數(shù)列寫出楊輝三角形式，便可得到以下三角形式.

在上述三角形式中可以看出第二行的數(shù)成等差數(shù)列，第三行是成常數(shù)列.由此可以推測(cè)出此問題的解的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為二階等差數(shù)列.若記此數(shù)列為｛（fk）｝（其中（f1）=1），易得到（fk）滿足遞推關(guān)系（fk）=（fk－1）+ 4（k－1），其中k≥2.采用疊加的方法便可得到（fk）=2k（k－1）+1.

2.利用化歸的數(shù)學(xué)思想解決問題

所謂“化歸”，是指把待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法.

首先，“以退為進(jìn)”尋找解決方法.不妨這樣思考，對(duì)于“滿足不等式|x|＜k（k∈N+）的整數(shù)解”可以退化為“滿足x＜k（k∈N+）的非負(fù)整數(shù)解”.令（fk）表示解的個(gè)數(shù)，由于x＜k的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（fk）=C1k－1+1，則滿足不等式|x|＜k的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（fk）=2C1k－1+1.

然后，回歸到本題，本題是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的絕對(duì)值不等式|x|+|y|＜k（k∈N+）.可以先不忙考慮絕對(duì)值，將問題退化為x+y＜k（k∈N+），然后再將問題轉(zhuǎn)化為x＜k－y.由于此不等式的非負(fù)整數(shù)解同上，于是可以得到|x|＜k－y的整數(shù)解的個(gè)數(shù)（fk）=2C2k+1.故|x|+|y|＜k的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（fk）=4C2k+1，與以上四種歸納模式所得的結(jié)果具有一致性.

3.利用演繹的數(shù)學(xué)思想解決問題

上述的所有結(jié)論都是通過合情推理而得到，其結(jié)果的正確性還沒有被驗(yàn)證.故以下運(yùn)用演繹的方法來證明.下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來進(jìn)行證明所得到的結(jié)論：（fn）=1，證明過程如下：

首先，當(dāng)n=1時(shí)，（f1）=1.當(dāng)n=2時(shí)，易驗(yàn)證結(jié)論成立.

故滿足不等式|x|+|y|＜k（k＞0）的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為（fk）=

三、推廣問題

推廣1：求滿足不等式|x1|+|x2|+|x3|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x1，x2，x3）的個(gè)數(shù).

分析：運(yùn)用類比的思維方式，由于在上述問題中含有兩個(gè)未知量是在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行要素歸納，故三個(gè)未知量則要在空間直角坐標(biāo)系中進(jìn)行要素歸納，構(gòu)成整數(shù)解（x1，x2，x3）的要素有：原點(diǎn)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，xOy、yOz、xOz平面上的點(diǎn)，象限內(nèi)的點(diǎn).易歸納得到滿足不等式|x1|+|x2|+|x3|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x1，x2，x3）的個(gè)數(shù)為x2，…，xn）的個(gè)數(shù).

分析：利用遞推歸納法，|x1|＜k（k∈N+）的整數(shù)解的個(gè)

以此類推，只需找出其系數(shù)的遞推關(guān)系，得到以下“類楊輝三角形式”.令n為絕對(duì)值不等式中未知量的個(gè)數(shù)，得到：

記上述三角形中第n+1行中第r+1個(gè)數(shù)為Srn，受楊輝三角啟發(fā)，從三角形中易看有每一個(gè)數(shù)等于它左肩上與右肩上的數(shù)字之此啟發(fā)，可以得到類似的關(guān)r≤n-1），即滿足不等

對(duì)于推廣2和推廣3的具體證明這里略去，具體證明可以參閱文2.

四、結(jié)束語

對(duì)于上述幾個(gè)推廣的解答依次運(yùn)用了歸納推理、類比推理和演繹推理比較完整地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過程.先由歸納推測(cè)出結(jié)論，然后由類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后由演繹證明結(jié)論和規(guī)律.按照著名數(shù)學(xué)家陳省生提出的“好”數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)：“只有數(shù)學(xué)思想方法深刻，能進(jìn)一步引身、推廣、發(fā)展的數(shù)學(xué)才是好的數(shù)學(xué).”［3］上述幾個(gè)推廣尤其是推廣2就屬于“好”數(shù)學(xué).此外，數(shù)學(xué)思想方法具有隱喻性的特點(diǎn)，它隱于知識(shí)內(nèi)部，特別是隱含在好的數(shù)學(xué)問題之中.應(yīng)多層面、多角度地對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入挖掘，才能使所隱含的數(shù)學(xué)思想和方法顯性化.才能夠充分發(fā)揮數(shù)學(xué)問題在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題.

1.王新民.試析一道課本習(xí)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2013（9）.

2.徐利治.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講——分析學(xué)的思想、方法與技巧［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2007.

3.涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.F