湖北省十年高考新定義題分類評析

☉中國人民大學附屬中學 吳中才

☉湖北省公安縣第二中學 袁澤軍

湖北省十年高考新定義題分類評析

☉中國人民大學附屬中學 吳中才

☉湖北省公安縣第二中學 袁澤軍

湖北省自2004年自主命題以來，橫跨新舊課程改革，高考數學命題的發展大致經歷了三個階段：第一階段（2004年）是起步模仿期，第二階段（2005～2006年）是改革嘗試期，第三階段（2007年～現在）是成熟穩定期.高考數學試題突出能力立意，堅持穩中求新，力求體現試題背景公平、設問方式多元化的特點.于是，新定義題就應運而生，而且逐步成為湖北省高考數學試題一道靚麗的風景線.

除2004年外，其余十年都命制了新定義題.為了管窺湖北省高考數學命題，現對湖北省十年高考新定義題進行分類評析，以期拋磚引玉.

一、以集合為背景

例1（2005年理科第1題）設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P=｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，則P+Q中元素的個數是（）.

A.9B.8C.7D.6

評析：本題以集合為背景，定義了集合之間的一種“＋”運算，研究集合的元素個數，考查集合元素的性質和簡單的計數原理，難度不大.

例2（2006年理科第8題）有限集合S中元素的個數記作card（S）.設A、B都為有限集合，給出下列命題：

①A∩B=?的充要條件是card（A∪B）=card（A）+ card（B）；

②A?B的必要條件是card（A）≤card（B）；

③A?B的充分條件是card（A）≤card（B）；

④A=B的充要條件是card（A）=card（B）.

其中真命題的序號是（）.

A.③④B.①②C.①④D.②③

評析：本題以集合的元素個數為背景，定義了“card”，研究集合元素的個數與集合關系和運算之間的關系，考查了充分必要條件等知識，綜合性較強.

二、以數式為背景

例3（2012年理科第13題）回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數.如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99.3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.則：

（Ⅰ）4位回文數有______個；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數有______個.

評析：本題以一類具有對稱特點的整數為背景，借鑒了語文中的“回文”修辭手法，定義了“回文數”的概念，從特殊到一般，考查了計數原理.

另外，本題（Ⅱ）也可以這樣解答：2位回文數有9個，3位回文數有90個，這是初始條件.計算4位回文數的個數可以看作2位回文數中間添加成對的“00，11，22，…，99”，因此，4位回文數有9×10=90（個），若記2n（n∈N+）位回文數的個數為S2n，則這里蘊含的遞推關系是S2（n+1）= 10S2n.同樣，奇數位回文數可以看作在偶數位回文數的最中間添加0～9這十個數，因此S2n+1=10S2n.從這個角度理解，本題還考查了數列的遞推關系或等比數列的通項公式.

評析：本題以楊輝三角和組合數（式）為背景，將“萊布尼茨三角形”引進了試題，考查考生的類比歸納及推理能力.第一空側重觀察、類比、歸納，考查了合情推理能力，也可以進行推理運算求解；第二空則利用力與數列極限知識，設計精巧，設問合理.

三、以運算為背景

例5（2011年理科第9題）若實數a、b滿足a≥0，b≥0，且ab=0，則稱a與b互補.記φ（a，b）=-a-b，那么φ（a，b）=0是a與b互補的（）.

A.必要而不充分的條件

B.充分而不必要的條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要的條件

評析：本題以實數a、b的積運算為背景，定義了a與b“互補”的概念，考查了充分必要條件和數與式的推理運算能力，題目難度不大、新穎得體.

（Ⅱ）求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；

（Ⅲ）記g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的最大值.（參考公式：x3-3bx2+4b3=（x+b）（x-2b）2）

評析：本題以運算為背景，定義了一種新運算“?”，通過新運算給出一個函數f（x），然后研究與函數極值、切線、最值相關的問題，考查了導數在研究函數問題中的應用.

四、以數列為背景

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

評析：本題以數列為背景，借助數列的平方、商運算，新定義了“等方比數列”，考查了充分必要條件、對等比數列與新定義的概念的理解，以及進行簡單平方與開方的運算能力.

五、以函數為背景

例7（2007年理科第6題）若數列｛an｝

例8（2012年理科第7題）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數（fx），如果對于任意給定的等比數列｛an｝，｛（fan）｝仍是等比數列，則稱（fx）為“保等比數列函數”.現有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：①（fx）=x2；②（fx）= 2x；③（fx）=；④（fx）=ln|x|.則其中是“保等比數列函數”的（fx）的序號為（）.

A.①②B.③④C.①③D.②④

評析：本題以函數為背景，使其作用于數列，新定義“保等比數列函數”的概念，立足數列知識，考查了等比數列的概念以及冪、指數、對數運算能力，研究函數作用下的數列是繼以運算為背景定義新數列命題的又一創新.

例9（2014年理科第6題）若函數f（x）、g（x）滿足組正交函數，給出三組函數：

其中為區間［-1，1］上的正交函數的組數是（）.

A.0B.1C.2D.3

評析：本題以函數為背景，研究函數的定積分的性質，新定義了“正交函數”的概念，考查三角運算與多項式運算，以及三角函數與多項式函數的定積分運算，深層次考查了偶函數的性質，難度較低.

六、以均值為背景

評析：本題以均值的幾何意義為背景，新定義“調和平均數”的概念，考查對幾何圖形的代數度量的理解、圓的相關知識、射影定理以及推理運算能力.本題源自課本，又有所拓展，是考查高考復習中對教材的處理和挖掘的較好實例.

例11（2014年理科第14題）設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，且f（x）＞0.對任意a＞0，b＞0，若經過點（a，f（a））、（b，-f（b））的直線與x軸的交點為（c，0），則稱c為a、b關于函數f（x）的平均數，記為Mf（a，b）.例如，當f（x）=1平均數.

（Ⅰ）當f（x）=_____（x＞0）時，Mf（a，b）為a、b的幾何平均數；

（Ⅱ）當f（x）=_____（x＞0）時，Mf（a，b）為a、b的調和平

（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可）

評析：本題以函數為背景，新定義了兩正數關于函數的平均數，考查兩數的幾何平均數和調和平均數的概念、解析幾何中直線的相關知識，以及運算求解的能力，難度中等.這是2010年對均值的幾何意義考查之后，從函數角度理解和考查幾何、調和平均數的新題.

七、以（解析）幾何為背景

例12（2011年理科第20題）平面內與兩定點A1（-a， 0）、A2（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的值的關系.

（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C1；對給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C2.設F1、F2是C2的兩個焦點.試問：在C1上，是否存在點N，使得△F1NF2的面積S=|m|a2？若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，請說明理由.

評析：本題以軌跡方程為背景，新定義了曲線C，考查曲線與方程的知識、分類與討論的方法、數形結合的思想、推理運算能力，以及對圓和圓錐曲線概念的理解和掌握情況，題型是比較傳統的新定義題，但對C的形狀的討論和第二問的探究性問題的設問比較有新意，也有一定的難度.

例13（2010年理科第10題）記實數x1、x2、…、xn中的最大數為max｛x1，x2，…，xn｝，最小數為min｛x1，x2，…，xn｝.已知△ABC的三邊邊長為a、b、c（a≤b≤c），定義它的傾斜“△ABC為等邊三角形”的（）.

A.必要而不充分的條件

B.充分而不必要的條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要的條件

評析：本題以三角形為背景，借助最大數與最小數，新定義了“傾斜度”的概念，考查充分必要條件，同時考查了學生對反例的運用意識和能力.

縱觀湖北省近十年高考新定義題，從題型看，涵蓋了選擇題、填空題和解答題；從背景看，涉及了集合、數式、運算、函數、數列、解析幾何等方面，目前還未涉及的有三角、立體幾何、統計與概率等方面；從考查的知識看，較多地考查了充分必要條件、計數原理、與背景相關的數學知識，以及閱讀理解和推理運算的能力.新定義題對眾多考生而言背景公平，同時能較好地考查學生分析問題與解決問題的能力，能較好地體現高考的命題立意.

1.李紅春，皮桂蘭.好題精彩又重現，文化氣息別樣濃——對湖北省4道高考試題的賞析與感悟［J］.中學數學（上），2015（2）.A