函數式積拓撲：和拓撲、積拓撲和點式收斂拓撲的共同推廣

沈沖 姚衛

摘要：首先，借助和拓撲，對于離散拓撲空間X，證明了任意一族以X為指標集的拓撲空間族的積空間和相對于X的點式收斂空間相同。其次，對于某拓撲空間族的笛卡爾積和其上的任意一個拓撲，給出了該積空間到其任意坐標空間的投射連續的充要條件。最后，給出了函數式積空間的定義，并且指出這類空間可以作為積空間、和空間和函數空間（點式收斂拓撲）的共同推廣。

關鍵詞：點集拓撲學；積拓撲；和拓撲；點式收斂拓撲；函數式積空間

中圖分類號：O189MSC（2010）主題分類：22A22文獻標志碼：A

Functional product topology： A common framework of the topological

sum， the product topology and the functional topology

of pointwise convergence

SHEN Chong， YAO Wei

（School of Science， Hebei University of Science and Tecnology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：Based on the topological sum， for X being a discrete topological space， we prove that the product topology generated by some topological spaces is equal to the topology of pointwise convergence related to X. For every topology on a Cartesian product， we find an equivalent condition under which every projection from the product to each component is continuous. We propose the definition of functional product spaces， which can be considered as a common framework of the product spaces， the topological sums and the functional spaces （the topology of pointwise convergence）.

Keywords：point-set topology； product topology； topological sum； topology of pointwise convergence； functional product space

收稿日期：2014-12-28；修回日期：2015-03-26；責任編輯：張軍

基金項目：國家自然科學基金（11201112）； 河北省自然科學基金（A2013208175，A2014403008）；河北省教育廳優秀青年基金（Y2012020）；河北省高校百名優秀創新人才支持計劃（BRII210）；河北省青年拔尖人才支持計劃

作者簡介：沈沖（1989—），男，河北保定人，碩士研究生， 主要從事格上拓撲學和Domain理論方面的研究。

通訊作者：姚衛教授。E-mail： yaowei0516@163.com

沈沖，姚衛.函數式積拓撲：和拓撲、積拓撲和點式收斂拓撲的共同推廣 [J].河北科技大學學報，2015，36（4）：390-393.

SHEN Chong， YAO Wei.Functional product topology： A common framework of the topological sum， the product topology and the functional topology of pointwise convergence[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（4）：390-393.在一般拓撲學中，從一致的拓撲空間出發，構造新的拓撲空間的方法很多，如從一族拓撲空間出發，可以定義積空間與和空間[1-2]，在范疇論中分別對應積對象和余積對象；由一個集合和一個拓撲空間出發可以定義子空間和商空間[1-2]，對應范疇論中的子對象和商對象[3-4]；由2個拓撲空間出發可以定義點式收斂拓撲、一致收斂拓撲和緊-開拓撲等相應的（連續）函數空間[5-7]。設X是一個集合，Y是一個拓撲空間，以YX為從X到Y的函數的全體，如果在X上賦予離散拓撲，則YX就是全體從X到Y的連續函數構成的集合，相應的函數空間也就是連續函數空間。正如文獻[1]所指出的，YX上的點式收斂拓撲對應的函數空間恰是{Yx|x∈X}的積空間。

本文擬研究積空間、和空間和函數空間（一致收斂拓撲）的內在聯系，將證明：

1）對于離散拓撲空間X，拓撲空間族{Yx|x∈X}的積拓撲和從X到{Yx|x∈X}的和空間的選擇函數構成的集合上的點式收斂拓撲相同；

2）對于離散拓撲空間X和笛卡爾積∏x∈XYx上的任意一個拓撲，賦值函數ev：∏x∈XYx×X→∪+x∈XYx連續，當且僅當對于任意的α∈X，投射pα：∏x∈XYx×X→Yα連續。

河北科技大學學報2015年第4期沈沖，等：函數式積拓撲：和拓撲、積拓撲和點式收斂拓撲的共同推廣 最后，提出了函數式積空間的定義，這類空間可以作為積空間、和空間和函數空間（一致收斂拓撲）的共同推廣。

1預備知識

設{Ai|i∈I}是一族集合，用∪+i∈IAi表示其不交并，即∪+Ai=∪i∈I{（x，i）|x∈Ai}，其中第2坐標i只是對相應的x∈Ai進行了標記，并沒有實際意義，因此在下文中為了敘述的簡便，將第2坐標忽略，當然理解的時候需要區分不同Ai可能相同的點。

定義1集族{Yx|x∈X}的笛卡爾積∏x∈XYx定義為集合：

∏x∈XYx={f：X→∪+x∈XYx|f（x）∈Yx對于每一個x∈X成立}，

事實上，∏x∈XYx恰是選擇函數的全體。

定義2[5]對于每一個α∈X，將笛卡爾積∏x∈XYx中的每一個元素f對應為它的第α個坐標的函數，即函數Pα：∏x∈XYx→Yα使得對于任何f∈∏x∈XYx有Pα（f）=f（α），稱為笛卡爾積∏x∈XYx的第α個投射。

定義3設{Yx|x∈X}是一族拓撲空間，Tp是笛卡爾積∏x∈XYx的以φ={p-1x（Ux）|x∈X，Ux是Yx的一個開集}為子基生成的拓撲，則稱拓撲Tp為{Yx|x∈X}的積拓撲，相應的拓撲空間稱為{Yx|x∈X}的積空間，對于每一個x∈X，拓撲空間Yx稱為積空間∏x∈XYx的第x個坐標空間。

積拓撲是使得所有投射都連續的最小拓撲，是拓撲空間范疇中的積對象[2]。

定義4[5]設{（Yx，Tx）|x∈X}是一個拓撲空間族，定義集族：

Ts={U∪+x∈XYx|x∈X，U∩Yx∈Tx}，

則Ts是∪+x∈XYx上的一個拓撲，稱為{Yx|x∈X}上的和拓撲。

和拓撲是使得各Yx到∪+x∈XYx的含入映射連續的最大拓撲，是拓撲空間范疇中的余積對象[2]。

注1）如果存在一個α∈X使得U∈Tα，則對于x∈X，

U∩Yx=，x≠α，

U，x=α，

且U∈Ts。即∪{Tx|x∈X}Ts。

2）設X是離散拓撲空間，則笛卡爾積∏x∈XYx恰好是從拓撲空間X到和空間∪+x∈XYx的連續的選擇函數的全體。

定義5[2]設YX是從拓撲空間X到拓撲空間Y的所有連續函數構成的集合，定義以φc={e-1x（U）|x∈X，U是Y的一個開集}為子基的拓撲為Tc，其中對于每個α∈X，eα（f）=f（α）是由積空間∏x∈XYx到不交并∪+x∈XYx的賦值函數。將YX的拓撲Tc稱為函數空間YX的點式收斂拓撲，將拓撲空間（YX，Tc）稱為從集合X到拓撲空間Y的函數空間（點式收斂拓撲）。

2積拓撲和點式收斂拓撲的關系

定理1設X是離散拓撲空間，{Yx|x∈X}的積拓撲和從X到∪+x∈XYx的選擇函數構成的集合上的點式收斂拓撲相同。

證明由定義1可知，{Yx|x∈Y}的積空間Tp的基礎集恰是從X到∪+x∈XYx的選擇函數構成的全體。設X到∪+x∈XYx的點式收斂為Tc，則Tc=Tp當且僅當φp=φc，其中φp，φc分別是Tc和Tp的子基。

如果V∈φp，即存在α∈X和U∈Tα使得V=p-1α（U）={f∈∏x∈XYx|f（α）∈U}成立，則U∈Ts，故V=p-1α（U）={f∈∏x∈XYx|f（a）∈U}=e-1α（U）∈φc。

反過來，如果V∈φc，則存在β∈X和U∈Ts使得V=e-1β（U）={f∈∏x∈XYx|f（β）∈U}。令Vx=U∩Yx，可得U=∪+x∈XVx，故V=e-1β（∪+x∈XVx）=（∪+x∈Xe-1β（Vx））。由于對于任意的x∈X和f∈∏x∈XYx滿足f（x）∈Yx，所以當x≠β時，V=e-1β（Vx）=，故V=∪+x∈Xe-1β（Vx）=e-1β（Vβ）。又Vβ∈Yβ，所以V=e-1β（Vβ）=p-1β（Vβ）∈φp。

由定義3可知下邊的定理是顯然的。

引理1設X是離散拓撲空間，（Y，TY）是一個拓撲空間，則X×Y的積拓撲T{U×V|UX，V∈TY}。

定理2設X是離散拓撲空間，T是笛卡爾積∏x∈XYx上的任意一個拓撲，則下列條件等價：

1）賦值函數ev：∏x∈XYx×X→∪+x∈XYx連續；

2）對于任意的α∈X，投射pα：∏x∈XYx→Yα連續。

證明1）蘊含2）：對于α∈X，設U∈Tα，則U∈Ts，ev-1（U）={（f，t）|f∈∏x∈XYx，t∈X，f（t）∈U}，由f的性質可知，當t≠α時，f（t）U，故ev-1（U）={（f，α）|f∈∏x∈XYx，f（α）∈U}=p-1a（U）×{α}是拓撲空間∏x∈XYx×X中的開集，所以pα連續。

2）蘊含1）：設U∈Ts，令Vx=U∩Yx∈T，ev-1（U）=ev-1（∪+x∈XVx）=∪+x∈Xev-1（Vx）=∪+x∈Xp-1x（Vx）×{X}。對于任意的α∈X，由于pα連續，所以p-1α（Vα）是積空間∏x∈XYx中的開集。由于X是離散拓撲空間，故ev-1（U）=∪+x∈Xp-1x（Vx）×{X}是∏x∈XYx×X中的開集，所以ev連續。

最后提出函數式積空間的概念，它是和拓撲、積拓撲和點式收斂拓撲的共同推廣。

定義6設X是一個拓撲空間，{Yi|i∈I}是一族拓撲空間，稱從X到∪+i∈IYi的函數空間（點式收斂拓撲）為{Yi|i∈I}的（相對于X的）函數式積空間。

例11） 如果X是單點集，則相對于X的函數式積空間即為和空間；

2）如果I是單點集，則函數式積空間即為通常的函數空間（點式收斂拓撲）；

3）如果X=I并賦予離散拓撲，則由定理1可知，通常的積空間可看作函數式積空間的一個子空間。

這說明通常的和拓撲、積拓撲和點式收斂拓撲，可以看作本文定義的函數式積空間的特殊情況。

3結語

借助于和空間，本文證明了積拓撲和點式拓撲可以相互表示，并且對于積空間上的任意拓撲，賦值函數連續等價于每一個投射都連續。由此提出了函數式積空間的概念，它可以作為和空間、積空間和點式收斂空間的共同推廣。

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