在探究和思考中積累數學基本活動經驗

《義務教育小學數學課程標準（2011年）》指出，數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標。設計、組織好每一次數學活動是幫助學生獲得系統的數學活動經驗的關鍵。在這一過程中，教師要做的就是真正成為學生數學活動的組織者、引導者，學生活動經驗的開發者、促進者。

《圓錐的體積》是教科書六年級下冊的內容，在本課教學之前，學生已經掌握了圓錐的特征以及圓柱體積的計算方法。因此，依據教材內容和學生認知現狀，執教者試圖通過猜想、驗證等數學活動過程，讓學生發現等底等高的圓柱與圓錐之間的關系，最終推導出圓錐的體積公式。

【案例】兩次教學過程的對比與分析

在教學展開前，我校同年級的兩位教師均設計了前置性學習任務，引導學生先學，具體內容如下：

在此基礎上，兩位教師都沿著“猜想—驗證”的主線展開數學活動，但因驗證過程的不同，收到了迥異的教學效果。

【A教師課堂教學片段回放】

（一）交流課前猜想情況

師拿著學生的學具（等底等高的圓柱和圓錐）問：在做實驗之前，你猜想圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？

生1：我認為是1/2。

生2：我認為是1/3。

（二）交流課前驗證情況

師：在前置作業中，老師要求“在圓錐形的容器中裝滿水，再倒入圓柱形的容器中”，通過倒水實驗你有什么發現呢？

生1：我發現在圓錐形的容器中裝滿水，往圓柱形的容器中倒了3次正好倒滿。

師：（滿意地點點頭）是的。

生2：我在圓錐形容器中裝滿水，往圓柱形的容器中倒了3次沒有倒滿，再加了一些才倒滿的。

師：（略皺眉頭）你在操作的時候肯定沒有很注意，所以有了些小誤差，應該是倒3次正好倒滿。

師：還有誰要說說自己的發現？

全班沉默不語。

（三）歸納結論：

師：通過課前實驗，你現在認為圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？（大部分同學認為是1/3，也有同學認為是1/4，師相機板書：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3）。

教學效果分析：以上教學片段中，在歸納結論時，大部分學生“認為圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”。得出這樣的結論，也許有些學生對于兩者的關系已經有了清晰的認知，但也不排除一部分學生是被概念化地告知以及對于強勢的認同。除此以外，一部分同學由于受操作實際結果的影響，認為“圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體的1/4”。綜觀A教師的教學，因為課前布置了前置任務，所以課堂上僅僅是對前置作業的交流，走了一個形式化的過程，并沒有具體關注到學生已有的操作實際，更沒有體現驗證過程的科學性，學生這樣的行為操作是低層次的，他們很難從這樣的行為操作過程中真正領悟知識的本質。

【B教師的課堂教學片段回放】

（一）感知“等底等高”

談話：請同學們比一比課前準備的圓柱和圓錐，它們之間等底等高嗎？你是怎么比的？請一位學生拿著學具上臺展示比的過程。

明確：像這樣底和高分別相等的圓柱和圓錐，我們叫做等底等高。

（二）實驗明理

1﹒第一次驗證

（1）師：課前，在做實驗之前，你猜想圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？

生1：我認為是1/3。

生2：我認為是1/2。

（2）師：課前，同學們在“圓錐形的容器中裝滿水，再倒入圓柱形的容器中”，在做倒水實驗時你覺得要注意什么？

生1：裝水要裝滿，要裝到和圓錐的邊口齊。

生2：倒水的時候要小心，不能潑灑。

師進一步明確了操作要點。

師：通過倒水實驗你有什么發現呢？

生1：我發現圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

生2：我發現圓錐的體積是圓柱體積的1/3。

生3：我發現在圓錐形的容器中裝滿水，往圓柱形的容器中倒了3次沒有倒滿，再加了一些才倒滿的，圓柱的體積好像是圓錐體積的4倍。

（3）師：請每位同學拿出等底等高的圓柱和圓錐，根據剛才倒水實驗的注意要點，再進行倒水小實驗。

（4）師：通過現在的倒水實驗，你有什么發現呢？（問剛才的生3）

生3：昨天我做倒水實驗的時候不夠細致，現在我按照老師說的注意點再做倒水實驗，也覺得圓柱的體積應該是圓錐體積的3倍。

2﹒第二次驗證

（1）師拿出準備的相對較大的等底等高的圓柱與圓錐的教具，讓學生上臺比一比，感受圓柱圓錐是否等底等高。

（2）師：你猜想老師準備的這個圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？（學生在下面紛紛回答說是1/3）

（3）請一位學生上臺做倒水實驗，讓全班學生看到操作結果“圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”。

3﹒第三次驗證

（1）師（拿出學生第一次驗證用的圓柱和第二次驗證用的圓錐）：它們等底等高嗎？（學生齊說“不”）

（2）師：圓錐的體積是圓柱體積的1/3嗎？（學生齊說“不是”）

（3）歸納結論：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3。

教學效果分析：以上教學片段中，學生在課前進行倒水實驗的過程中，也出現了“在圓錐形容器中裝滿水，往圓柱形容器中倒了3次沒有倒滿，再加了一些才倒滿的”現象。但B老師教學時不僅不回避學生實際操作時暴露出的問題，還特別放大了有些學生的錯誤，目的就是讓全班同學都體會到行為操作的精準會影響到最后的結論。另外，老師舍得花時間讓學生經歷三次層層遞進的驗證活動過程，通過行為操作、數學思維，學生真正在探索與交流中理解“圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”。在這樣的數學活動中，學生行為操作的技能是提升的，認知是清晰的，理解是深刻的。

【延伸思考】數學基本活動經驗獲得的基本路徑

王林先生在《我國目前數學活動經驗研究綜述》一文中指出：“數學基本活動經驗是學生個體在經歷數學活動的基礎上獲得的經驗，是學生經歷數學活動的過程與結果的有機統一體，既包括經歷數學活動所獲得的經驗本身，也包括經歷數學活動獲得經驗的過程。”因此，數學活動的開展是否有效、充分，直接影響活動經驗積累的質量。

第一，數學活動經驗的獲得，應讓學生的行為操作由粗略走向精細。

本數學活動環節的設計，依據教材內容和學生的學習基礎，讓學生經歷從“圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的1/2或者1/3”這一猜想到驗證的過程。但學生常常受到認知水平和操作能力的限制，如果他們在沒有教師指導的前提下開展操作活動，很可能會因操作過程的粗糙，導致操作結果不夠精確，影響數學結論的正確性。在A教師課堂的師生交流中可以看到，學生在課前做倒水實驗時，之所以對于歸納出的“圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”的結論不信服，是因為在裝水、倒水的過程中沒有注意操作要點。而B教師就關注到了這個細節。由此可見，操作過程中教師應該幫助學生糾正“大概、也許、差不多”這樣的粗略操作行為，讓學生獲得不同活動階段的經驗內容，促使他們從“經歷”走向“經驗”。

第二，數學活動經驗的積累，應讓學生的理解由淺表走向深刻。

同樣是由猜想到驗證的數學活動過程，A教師通過課前學生的一次自主驗證就歸納出結論，這個驗證過程是不充分、不科學的，因為歸納思想的認識依據在于同類事物的各種特殊情況中蘊藏著同一性和相似性，因此教學中僅憑一個特殊事例一般是不能推出結論的。而B教師卻讓學生分別使用“等底等高的小的圓柱、圓錐——等底等高的大的圓柱、圓錐——非等底等高的圓柱與圓錐”進行驗證，學生經歷了3次驗證過程。在這個過程中，教師組織學生對參與的數學活動進行了反思，通過學生的不斷自我領悟，將原先較低層次的活動經驗上升到后來的更高水平，逐步生成新的經驗。正是經歷了這樣的一個數學活動過程，學生對于結論的理解才更加深刻。

（楊穎芳，無錫市前洲中心小學，214000）

責任編輯：宣麗華