把握契機催發出知識、能力、學習情感生長點

摘 要：針對高中學生學習數學的一些現象，筆者從教師應該堅守課堂“陣地”這個角度切入，結合自身在教學中的一些做法，闡述了要把握好契機，全面催發出學生的知識生長、能力生長，乃至于數學學習情感的生長.

關鍵詞：把握契機；教材例題；習題解法；學習評價；知識生長；能力生長；學習情感生長

[?] 問題的提出

學生學習數學中經常出現一些現象：上課聽懂了，但自己做題的時候就錯；簡單的題目會模仿，稍微復雜點的就不知如何入手了；部分學生學習數學熱情不高，數學成績很糟糕，進而對數學很沒信心甚至于畏懼.

學生是否主動學習，學習方法是否科學，有無構建良好的知識體系等都是原因，但還有一個更重要的原因來源于教師. 由于教師在對教材的整體把握上存在較大差異，而班級學生人數太多，教師有很多精力也被分散在批改作業、管理學生上等等，諸多因素導致教師沒能深入鉆研教材、仔細研究教法，一些課的教學設計也較粗獷. 課堂上很多能讓學生知識生長、能力生長、數學情感生長的契機，由于教師的疏忽或者備課不充分，輕易“滑”過去了. 如果我們教師能把課堂這塊“陣地”堅守好，用心做好學生學習的引導者、組織者、合作者，在課堂上催發出學生的知識、能力、學習情感的生長點，學生學習數學的熱情將被積極調動起來，學好數學的信心也將得到大大的增強. 本文筆者結合自身的一些教學實踐，簡單談談自己的認識與理解.

[?] 實踐

1. 用好教材例題，把握契機，增加例題的信息承載厚度，催發出知識的生長點

例1 （蘇教版必修4 教材115頁例3）如圖1，三個相同的正方形相接，求證：α+β=.

課本的解答：首先通過兩角和的正切公式，計算出tan（α+β）=1的值. 然后由α，β∈0

，，得到α+β∈（0，π），從而得到α+β=.

筆者在講解完書上解答過程，強調了要計算α+β∈（0，π），才能得到α+β=. 然后提問：還可以怎么做？

學生（眾）：通過計算sin（α+β）或者cos（α+β）的值，來求α+β的大小.

教師：好的，大家動手試試.

5分鐘后，學生基本算好了.

結果呈現：通過計算cos（α+β）的學生，得到答案是α+β=；而通過計算sin（α+β）的學生，得到答案是α+β=或. 為此，學生感到很困惑，甚至對后者的做法產生了質疑.

教師：那是不是可以縮小α+β的取值范圍呢？

點評：如此一來，在教師的引導下，學生至少多收獲了兩點：

（1）還可以通過計算sin（α+β），cos（α+β）的值，來求α+β的大小.

（2）在某些情況下，必須給角的取值范圍重新界定.

由于教師把握了例題教學中的契機，增加了例題的信息承載厚度，學生無需多練多少題，就能接受到了更多的知識，達到解一題、通一片、提高一步的目的. 在某種程度上說，提高了教學效率，也減輕了學生的負擔.

2. 加強習題解法的探究，把握契機，引導學生構建良好的認知結構，催發出能力的生長點

例2 設a=（cos25°，sin25°），b=（sin20°，cos20°），若t是實數，且μ=a+tb，求

教師投影展示了學生1的解題過程：

教師：在計算a+tb時，也可以將a，b的坐標代入，得到μ=a+tb的坐標（含參數t），再用坐標表示出

教師：很好. 說明大家很有函數思想啊. 那么還有其他解法嗎？

這時看見有人舉手，筆者示意他站起來說.

學生2：老師，是不是可以用數形結合方法來做？

（更多的學生表示出了明顯的興趣）

教師笑著問：其他同學看可以嗎？

學生3：應該可以，因為向量是溝通“數”與“形”的“橋梁”，但怎么作圖呢？

（學生思考中……）

教師：條件對應的圖怎么作，所求的圖又怎樣作呢？

學生4自告奮勇上黑板，作圖如下：

學生4：作=a，=b，其中∠xOA=25°，∠xOB=20°. （不好意思地笑了一下）不過原本我做錯了，后來經下面的同學提醒，發現

相等，都為1，我修改了下.

（說明：原本學生4作的是圖2，修改后的圖即圖3）

教師：大家覺得圖還有問題嗎？

學生5：向量b畫錯了，應該∠xOB=70°. 按學生4作的圖，b的坐標應該是（cos20°，sin20°），而不是（sin20°，cos20°），而（sin20°，cos20°）即為（cos70°，sin70°）.

于是，教師把圖3修改成了正確的圖4.

這時，下面好多學生反應過來了，紛紛贊同.

教師：這個幾何背景熟悉嗎？角和坐標的關系？

學生6：我知道，幾何背景是任意三角函數的定義式：

設P（x，y）是角α的終邊上任意一點，則sinα=，cosα=（其中r=）.

當r=1，點P（x，y）即為角α的終邊與單位圓的交點.

此時sinα=y，cosα=x，即x=cosα，y=sinα，

所以P（cosα，sinα）.

教師：很好，所以A、B分別為角25°、70°的終邊與單位圓的交點，其坐標分別為（cos25°，sin25°）和（cos70°，sin70°），亦即，的坐標.

教師：本道題的幾何背景是單位圓、向量及任意角的三角函數定義的綜合，將它們結合起來考查分析問題、解決問題、綜合運用知識的能力，是今后高考命題的方向. 所以，本道題研究幾何方法，還是很有價值的. 另外，向量是溝通三角、幾何、函數的工具，應好好感受.

教師：那么接下來呢？

μ

的最小值怎么求呢？

學生7（插話）：首先要把μ=a+tb在圖中作出來啊.

教師：那你試一試.

學生7上黑板畫好，解釋：作=t，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線即為μ=a+tb.

學生8：他作的是t>0時的μ，但t還可以小于0或者等于0. 作=t，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線即為t<0時的μ. 另外，當t=0時的μ=a，此時

教師：我們把關鍵部分圖象抽出來，如圖6. 觀察哪些是定量，哪些是變量.

幾分鐘后，學生9舉手發言.

學生9：向量已知，大小未知，但方向與平行，隨著變化而變化.還有∠BOA=70°-25°=45°.

教師：也就是說點B、C為動點，但動中有定嗎？

學生10：動點C在與平行的過點O的直線l上.

教師：能觀察出

點評：教師要鼓勵學生善于觀察比較、抽象概括、大膽猜想、勇于實踐，引導學生自主構建良好的知識體系，強化學生的數學應用意識，引導學生換個角度來思考問題，把問題的面想得更寬廣些，方法的觸角伸得更遠些，催發出數學能力的生長.

3. 重視學生學習過程評價，把握契機，催發學生學習情感的生長點

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筆者剛剛講解完，下面有一個學生舉手，以下是他的解題過程：

，則以a，b為鄰邊作平行四邊形為正方形，所以和向量a+b所在的直線為對角線. 經分析，所求的c即為與a+b平行的單位向量.

剛展示完，下面爆發了雷鳴般的掌聲，大家很振奮……

教師：非常好！因為要求的單位向量在a，b夾角的角平分線或其方向延長線上，他發現以a，b為鄰邊的平行四邊形為正方形，a，b夾角的角平分線即為和向量a+b所在的直線，充分利用了向量的幾何意義，由此得到很巧妙的方法，大大減少了計算量. 我們要像他學習，善于觀察、比較、發現，多角度、多層次的分析問題，尋求多種解題思路.

事后表明，該學生對數學的興趣更濃，在后面的學習中表現更突出，在隨后的一次階段性考試中，一躍從班上30幾名進入前10名.

點評：美國著名數學史學家M·克萊因（M.Klein）一針見血地指出：“數學教育的最大缺陷之一正是缺乏情感的投入.” 因此，現代數學教學方法特別重視情感的投入. 教師若能在課堂上把握契機，重視對學生學習過程中的評價，賞識學生，讓學生在輕松愉快的情境中學習，定能催發出學習情感的生長點.

[?] 幾點反思

1. 充分挖掘教材的功能

新課程改革有一個很明顯的特點就是改“教教材”為“用教材教”. 然而，有些教師顯然是對教材中的例、習題的功能認識不足或者重視不夠，他們不太愛用教材，平日熱衷于題海戰術，學生學習負擔很重，而且效果也不是很理想.殊不知教材本身就是個寶藏，課本中的例、習題是專家嚴格篩選配置的，里面蘊含了豐富的數學思想、方法，具有很高的學習研究價值.

教師應在充分理解教材編寫者意圖的基礎上，對教材進行深入理解、挖掘，并進行加工；加工成可操作或可探究的問題，引導學生在解決問題的過程中進行資料收集、實驗觀察、猜想證明、類比推理，獲取新知識，并能將知識按照內部聯系進行有效整合，順應到自己的認知結構中，知識聯系更全面、解題能力更突出，從而促進數學素質的延伸與開發.

2. 做好習題教學中的選題工作

本文中例2的最大特點就是“切口小，視角新”. “切口小”體現在該題就是一道求可變向量模的最小值的題目，方法一強化了函數的思想. “視角新”主要體現在方法二（數形結合方法）的幾何背景的建構，對于學生來說很新穎. 教師引導學生換個新的角度解決問題，將知識前后串聯起來，構建出學生知識、能力的生長點. “切口小，視角新”的設計理念，符合華羅庚教授提出的“從另外一個角度進行復習”的經驗，既能對原有知識內容進一步梳理和強化，又能在教師引導下進行“再創造”，帶著學生螺旋上升，促使學生從多角度思考問題生發出更多的認知，優化自己的解題思路，促進學生良好的知識結構的自我構建.

總之，教師應該堅守好課堂“陣地”，做個善于研究、勇于創新的教育實踐者：加強對教材、大綱的研究，充分挖掘教材的功能；重視過程教學，引導學生自主構建良好的知識體系；重視學習過程評價，關注學生的學習情感；全面催發出學生的知識、能力、學習情感的生長點，讓更多的學生得到更好的發展.