對(duì)2014年山東理科數(shù)學(xué)第21題的深入探究

摘 要：通過對(duì)2014年山東理科數(shù)學(xué)大題的壓軸題的解答和進(jìn)一步探究，發(fā)現(xiàn)了試題命制的背景，得到了幾個(gè)一般性的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：山東理科第21題；幾何背景；一般化

[?] 試題呈現(xiàn)

2014年山東理科第21題：已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有

（Ⅰ） 求C的方程；

（Ⅱ） 若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，

（ⅰ） 證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

注：試題的具體解答略，試題的一般化見下文.

評(píng)注：此題是2014年山東理科數(shù)學(xué)大題的壓軸題，第Ⅰ題求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該沒多大問題；第Ⅱ題第ⅰ小問是一個(gè)證明題，這樣的設(shè)問方式在歷屆高考中也是很常見的，應(yīng)該說學(xué)生會(huì)感覺比較親切，入手還是容易的，但要過計(jì)算這一關(guān)；第Ⅱ題第ⅱ小問涉及求面積的最值問題，也有種似曾相識(shí)的感覺，給學(xué)生進(jìn)一步解決增強(qiáng)了信心，讓學(xué)生感到壓軸題不是可望而不可即的.

[?] 試題結(jié)論的一般化

筆者在具體求解第Ⅱ題第ⅰ小問時(shí)，就發(fā)現(xiàn)這個(gè)小問可能蘊(yùn)含一般性的結(jié)論，于是大膽猜想并提出如下問題：

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有

[?] 結(jié)束語(yǔ)

高考試題是大學(xué)教授、教研員、一線教師集體智慧的結(jié)晶，他們?cè)诿圃囶}時(shí)往往會(huì)關(guān)注試題的一些背景內(nèi)容，然后以這些背景為支撐開展命題工作，最后呈現(xiàn)在我們面前的是“隱去”了背景的試題，但這卻給我們進(jìn)一步探究提供了絕好的機(jī)會(huì). 所以，以揭示高考試題的背景為切入點(diǎn)是研究高考題的一種很好的方法. 只要我們一線教師敢于探究，愿意付出時(shí)間探究，最后肯定會(huì)有收獲. 筆者上面的探究正印證了著名數(shù)學(xué)家波利亞的一句話：沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無(wú)論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.