一道清華大學自主招生題的思考與研究

摘 要：本文探究的是一道2006年清華大學自主招生試題，筆者從兩個方面研究此題：在求最大值時，利用一個凸函數的命題，對這一類型的題目做了簡要證明，并做出推廣；在求最小值時，利用Holder不等式做出證明并給出推廣.

關鍵詞：最值；凸函數；Holder不等式

具體題目如下：已知a，b為非負數， M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.本文利用了均值不等式和構造法這兩種方法證明了該題.

[?] 最大值

命題1 假設f（x）是定義在實數域[a，b]上的凸函數，實數x1，x2∈[a，b]，且滿足x1+x2=C，其中2a≤C≤2b. 當且僅當（x1，x2）中至少有1個元素等于a或b，g2（x1，x2）=f（x1）+f（x2）達到最大值時.

證明：已知C∈[2a，2b]. 現證g2（x1，x2）≤f（a）+f（C-a），C≤a+b，

f（b）+f（C-b），C≥a+b. 若C≤a+b，則C-a≤b，因為x1，x2∈[a，C-a]，則存在參數0≤t≤1，使得x1=ta+（1-t）（C-a），x2=（1-t）a+t（C-a），由Jensen不等式，可得f（x1）≤tf（a）+（1-t）f（C-a）以及f（x2）≤（1-t）f（a）+tf（C-a），兩式相加，可得f（x1）+f（x2）≤f（a）+f（C-a）. 當C≥a+b時，用類似的方法可以證明，證畢.

例1 已知a，b為非負數， M=a4+b4，a+b=1，求M的最大值.

證明：構造函數f（x）=x4，f ″（x）=12x2≥0，由題意，a，b∈[0，1]，且a+b=1，根據命題1，當f（a）+f（b）取到最大值時，a中b至少取到一個0或1，則M的最大值為1.

推論1 已知a，b為非負數，M=（a+l）k+（b+l）k，a+b=m，M的最大值為（m+l）k，其中（k∈Z+，m∈R+，l≥0）.

證明：構造函數f（x）=（x+l）k，f ″（x）=k（k-1）（x+l）k-2≥0，由題意，a，b∈[0，m]，且a+b=m，根據命題1，當f（a）+f（b）取到最大值時，a中b至少取到一個0或m，則M的最大值為lk+（m+l）k.

推論2 已知a，b為非負數，a1，a2為非負常數， M=a1ak+a2bk，a+b=m，M的最大值為max{a1，a2}·mk，其中（m∈R+，k∈Z+）.

證明：不妨設a1=max{a1，a2}，則M=a1ak+a2bk≤a1ak+a1bk，則根據推論1，可知M≤a1mk，當且僅當a=m，b=0時等號成立，證畢.

命題2 假設f（x）是定義在實數域[a，b]上的凸函數，實數x1，x2，…xn∈[a，b]，且滿足xi=C，其中na≤C≤nb. 當且僅當x1，x2，…xn中至少有n-1個元素等于a或b，gn（x1，x2，…xn）=f（xi）達到最大值.

證明：由命題1可知，當n=2時成立，現用數學歸納法證明. 當n=k時，結論成立；則當n=k+1時，gk+1（x1，x2，…xk+1）=f（xi）=f（x1）+gk（x2，…xk+1）. 首先固定x1，當gk（x2，…xk+1）取到最大值時，其中至少有k-1個為a或b，不妨設x2，…xk均為a或b，那么gk（x2，x3，…xk+1）≤f（xk+1）+lf（a）+（k-1-l）f（b），其中0≤l≤k-1，則gk+1（x1，x2，…xn）=f（x1）+gk（x2，…xk+1）≤f（x1）+f（xk+1）+lf（a）+（k-l-1）f（b），其中xk+1=C-x1-la-（k-l-1）b. 再將x1視為自變量，應用命題1的結論，x1或xk+1中的有一個為a或b，則n=k+1時成立，所以對一切正整數n都成立，證畢.

例2 已知a，b，c∈[0，2]，且滿足a+b+c=5，M=a4+b4+c4，求M的最大值.

證明：構造凸函數f（x）=x4. 不妨設a≤b≤c，根據命題2，可得當M取到最大值時，當且僅當a=b=0或b=c=2時成立，顯然a=b=0不符合條件，所以max（M）=24+24+14=33.

推論3 設a1，a2，…，an∈[0，2a]（a>0），M=a+a+…+a，且a1+a2+…an=na，則max（M）=2na2， n為偶數，

2（n+1）a2， n為奇數 .

證明：構造凸函數f（x）=x2，根據命題2，可得，當且僅當有k0個數等于2a，n-1-k0個數等于0時，M可以達到最大值，由于a1，a2，…，an∈[0，2a]，所以na-2k0a≤2a，且2k0a≤na?≤k0≤，M=4k0a2+（na-2k0a）2. 若n為偶數，分析可得k0=時，max（M）=2na2；若n為奇數，分析可得k0=時，則max（M）=2（n+1）a2.

例3 設a1，a2，…，a1999∈[-2，2]，M=a+a+…a，且a1+a2+…a1999=0，求M的最大值.

證明：根據命題2，則至少有k0個2和（1999-k0-1）個-2時，M可達到最大值，根據題意，2k0+（1999-k0-1）（-2）≤2?2k0-1998≤1，可得k0=999，則最后一個數為0，所以max（M）=1998·22=7992.

由于例3中的區間[-2，2]中有負數，而f（x）=x2在這個區間上仍然屬于凸函數，如果重新定義這個函數和它所屬的區間，那么將會得到更加一般的結論.

推論4 設a1，a2，…，an∈[-a，a]（a>0），M=（a1+l）2k+（a2+l）2k+…（an+l）2k，且a1+a2+…an=0，則max（M）=n（a+l）2k， n為偶數，

（n-1）（a+l）2k， n為奇數，其中k∈Z+，l∈R+.

證明：當n為偶數時，max（M）=n（a+l）2k，當且僅當有a1，a2，…an中有個a和-a等號成立；當n為奇數時，根據命題2，則至少有k0個a和（n-k0-1）個-a時，M可達到最大值，根據題意， k0a+（n-k0-1）（-a）≤a?2k0+1-n≤1，可得k0=，，，n為奇數，只有k0=為整數，所以max（M）=（n-1）·（a+l）2k，證畢.

注意，其中k為偶數，才可以保證所構造的函數f（x）=（x+l）2k在[-a，a]為凸函數.

[?] 最小值

引理1 （Holder不等式）對于m個正數序列（a11，a12，…，a1n），（a21，a22，…，a2n），…，（am1，am2，…，amn），有

aij

≥

，當且僅當這m個序列對應成比例時等號成立.

特別的，當m=n=3時，有（a3+b3+c3）·（x3+y3+z3）（t3+u3+v3）≥（axt+byu+czv）3.

例4 已知a，b為非負數， M=a4+b4，a+b=1，求M的最小值.

證明：由Holder不等式，（a4+b4）（1+1）3≥（a+b）4=1，所以M≥，當且僅當a=b=時等號成立.

推論5 a1，a2，…，an為非負數，M=（a1+l）k+（a2+l）k+…（an+l）k，且a1+a2+…an=m，則M的最小值為，其中k∈Z+，l∈R+.

證明：由Holder不等式M·（1+1+…1）k-1≥（a1+a2+…+an+nl）k=（m+nl）k，所以M的最小值為，當且僅當a1=a2=…=an=時等號成立.

例5 已知a，b，c∈R+，++=1，M=a2+8b2+27c2，求M的最小值.

證明：由Holder不等式，（a2+8b2+27c2）·

++

≥（1+2+3）3=216，所以u=a2+8b2+27c2的最小值為216，當且僅當a=6，b=3，c=2時等號成立.

推論6 a1，a2，…，an∈R+，l1，l，…ln為非負常數，k∈Z+，++…+=m， M=l1a+la+…+lna，則M的最小值為.

證明：由Holder不等式M·

++…+

≥（）k，所以M的最小值為，當且僅當l1a=l2a= …=lna時等號成立.

當然，此類型題目的最小值也可以利用琴生不等式證明，這里便不再贅述.