基于知識發生，促進思維發展

摘 要：高中數學教學在促進學生發展方面的作用，首先體現在知識與能力兩個方面，而后者又與思維發展有著密切的關系. 豐富數學知識的發生過程，可以有效地促進學生的思維發展，這應當成為高中數學教學的基本價值取向. 在思維發展的過程中關注學生的思維方式，并讓學生形成良好的數學態度，是高中數學有效教學的應有之義.

關鍵詞：知識發生；思維發展；數學態度；數學教學

高中數學教學從促進學生發展的角度來看，其實重心還是落在知識與能力的兩個方面，其中知識當然是指數學知識，而能力則主要是指學生的數學思維能力. 這樣的教學理解與目標定位與課程標準的三維目標其實并不矛盾——只談知識與能力，是不是就不談情感態度與價值觀呢？筆者的意思當然并不是如此，之所以這樣界定，原因在于已有的研究成果表明，學習者對某學科的學習所持有的態度與價值觀，往往影響到在該學科學習中的思維方式. 而課程標準之所以將情感態度價值觀單獨列為一維教學目標，某種程度上講只是從形式上將其凸顯出來而已.

基于以上理解，本文嘗試從以下三個方面，探討如何基于數學知識的發生，去促進學生的思維發展.

[?] 知識發生，關鍵在于把握學生的學習思路

傳統的數學教學中，數學知識的發生往往取決教師的教學設計，這本來是沒有問題的. 但實際教學中往往在這個環節的問題比較大，一個重要的原因就在于教師的教學設計往往只是依據數學知識發展的脈絡來進行的，前面教到某個知識，下面要教哪個知識，往往似乎是約定俗成的. 這也沒有問題，因為數學知識（這里僅指基于教材編寫順序的數學知識，其與數學發展史其實有著很大的差異）有著其自身的邏輯性，教材編寫與教學順序必須符合這種邏輯性.問題在于，這樣的邏輯性如果忽視了學生的學習思路，那其在實際教學中就有可能出現問題.我們先來看一個例子.

在“等差數列的前n項和”的教學引入中，常常會設置高斯計算1+2+3+…+100=？的問題情境.就情境而言，這是一個很好的素材，即使是高中學生也會興趣盎然. 但由于現在的高中學生的信息來源豐富，這一故事對于學生來說，從知識發性的角度來看，已經不具有明顯的挑戰性，很多學生在聽到這個問題之后都能將高斯當時的思路回憶出來.因此，要想真正打動學生，將學生的思維激活，關鍵還需要對此故事進行一定的加工，而加工的主要依據又應當是學生的學習思路.

教學經驗表明，在本知識的教學過程中，學生遇到的較大困難是對求和公式Sn=得出過程的理解，也就是說學生可以運用本公式去順利地對等差數列進行求和，但對于此公式是如何得來的則常常處于一知半解的狀態. 且需要注意的是，如果教師不注意對學生的學習過程進行調查，往往還不容易發現這一特點. 在注意到這一點之后，筆者嘗試豐富本知識的發生過程，這一過程主要是圍繞這樣的幾個問題進行的：其一，高斯方法的特點是什么？這一問題不將目標聚焦于具體方法，而是引導學生去分析方法的特點，可以豐富知識的發生過程；其二，能否順利地算出1+3+5+…+99的結果？這是一個變式性質的問題，旨在訓練學生的應變能力；其三，能否算出1+2+3+…+n的結果？這一問題可以促進學生的思維從特殊向一般的轉變，也是本教學的核心環節.

在這個過程中，等差數列前n項和求和公式這一知識發生是豐富而非單薄的，高斯方法的特點在于尋找首尾數據之和相等，一般只適用于有限的數列求和. 在梳理出這一特點之后進行變式訓練，一方面可以強化學生已經形成的認識，另一方面還可以為下面的問題解決提供一個心理失衡的情境.第三個問題的提出，則是基于前面的問題解決方法，但又有新的問題存在，如不確定n的奇偶等，在這一問題解決的過程中，知識可以說呈現出一種累積性的生成過程，學生的知識建構也可以說是步步為營的，因而學習結果也將是扎實的.

[?] 思維發展，關鍵在于把握數學知識的脈絡

事實證明，通過這三個問題的討論，學生的思維能力也會得到充分的培養. 筆者注意到，在圍繞這三個問題進行討論的過程中，幾乎所有的學生注意力都高度集中，即使那些基礎薄弱的學生，由于第一個問題相對簡單，而第二個問題雖然具有一定的挑戰性，但畢竟沒有完全脫離第一個問題的解決方法. 第三個問題的解決雖然用時相對較多，但學生的思維卻始終是圍繞如何尋找求和的一般方法（公式）來進行的. 尤其是在得到了求和公式之后，部分學生似乎意猶未盡，他們還在琢磨這一公式的特點. 有一位數學基礎很好的學生說，這一公式似乎可以與梯形的面積公式結合起來. 這一想法立刻吸引了筆者和其他學生的注意，因為在此之前還很少有聽到這樣的說法. 該學生解釋說，等差數列前n項和的求和公式與梯形的面積公式差不多：將Sn看做是梯形的面積公式，將數列的首項和末項分別看作梯形的上底和下底，然后只要知道有多少項，就知道了梯形的高是多少，結果會發現求和公式與面積公式是一樣的. 筆者立即意識到這是一種數學思維中的遷移：將純粹數列的知識遷移到了形的知識之上，且學生尋找的形可以有效地成為新知識的基礎. 筆者表揚了學生的這種發散性思維，于是又有學生開始在下面嘀咕：怎么會這么巧呢？這其中有沒有什么必然的聯系呢？……這些問題與課堂教學距離較遠，因而沒有即時解決，但學生的這些問題已經足以表明，他們的思維處于高度活躍的狀態，顯然，在這樣的情境當中，他們的思維能力能夠得到充分的培養.

應當說在筆者的實踐當中，與此類似的現象還有不少，而分析歸納這些現象背后共同的東西可以發現，學生的思維發展并不是一個空洞的過程，應當說離開了具體的數學知識的發生，學生的思維發展就是一句空話. 但也只有當數學知識的發生符合學生的思維特點時，學生的思維能力才能得到充分的提升. 問題在于，怎樣才能知道數學知識的發生過程是否符合學生的思維特點呢？筆者以為這需要教師把握好數學知識的脈絡. 當然，與此同時也不能忽視對高中學生數學學習過程中認知特點的研究.

在上面所舉的教學事例中，筆者注意到學生已經具有的知識基礎（對高斯故事的了解），注意到前面已經建立起來的等差數列的通項公式等，這樣的基礎分析，可以讓教師的教學設計有一個知識發生的依據. 在此基礎上，筆者估計到學生必然能夠在總結高斯方法特點的基礎上去對變式后的問題進行有效地解決，而這樣的成就感又會成為第三個問題解決的強烈動機. 于是，學生的思維在從特殊到一般的轉換中，會充分調動已有的知識來解決新的問題，并試圖完成教師所提出的尋找一般等差數列的求和公式的要求.

筆者以為，這樣的教學預設是符合高中學生的數學學習特點的，也是符合本知識生成的脈絡的. 一般來說，數學教學中學生的思維能否得到培養，直接的依據就是看教師提出的問題學生能否高效解決，而筆者課堂上學生生成的尋找新知識依存的梯形基礎，則成為學生思維發展的有效注解. 而后來的有關習題解答與測試也表明，學生對本知識的理解與運用是熟練的，這可以反證本教學策略是有效的. 這里需要強調的是，數學知識的脈絡并不完全體現在紙面上的數學知識點之間的框架圖上，更多的應當以一種思維導圖的方式來分析數學知識的脈絡. 結合學生的數學知識基礎與思維特點，以學生的已有為出發點，以教學目標為落腳點，然后教師努力尋找兩點之間可能的發生途徑，就會發現學生的思路往往有著多種的可能，如果教師對每種可能性都予以關注與分析，那對數學知識脈絡的把握與對學生學習情況的預設，就會達到一個較高的水平.

[?] 數學態度，需要教師把握學生的思維方式

強調數學知識的學習與數學思維的發展，并不是忽視學生的數學學習態度. 只是態度往往是一個概括意義較強的概念，具體到數學學習中來，需要努力發現其與學生的數學思維之間的關系，從而以科學的思維促進學生生成科學的數學態度，并以科學的數學態度反過來促進更好的數學思維，這樣才能讓兩者產生互相促進的作用.

筆者以為，良好的數學態度的形成，關鍵在于教師把握學生的思維方式.數學是一門基礎學科，數學思維往往具有一種基礎性的作用. 經過粗略的梳理，筆者發現當下高中學生的數學思維呈現出一種開放的特點，他們并不完全拘泥甚至還有些不太習慣高度抽象的邏輯思考（極少數的數學尖子生除外，這需要因材施教），在高中數學學習中更多時候他們表現出聯系特點較為明顯的思維方式（譬如上面所提到的等差數列求和公式學習中竟然想到了梯形面積，事實上還有學生想到了三角形面積）. 這樣的特點對于數學學習來說有利有弊，好處在于發散性強，思維空間大，缺點在于有時忽視邏輯性，容易讓數學知識的建構失去思維的動力. 但不管如何，分析并把握學生的思維特點對于高中數學教學來說是十分重要的，從第三維教學目標的角度來看，這影響到學生的數學學習態度.