動中有靜，變中有定

解析幾何其本質是用代數的方法研究幾何圖形的性質，即通過引進直角坐標系，建立點與坐標、曲線和方程的對應關系，將幾何問題轉化為代數問題，從而用代數方法研究幾何問題。解析幾何充分體現了數形結合的數學思想，是教學中滲透數形結合思想的有效載體。有了這個強有力的工具，我們就可以通過建立曲線的方程來研究曲線的幾何性質。南開大學的顧沛教授在講授《數學文化》中指出：從變化的數學模型中研究不變的性質是數學研究的方向之一。這個觀點對于高中實際教學有著普遍的指導意義。同時對理解高考數學試題的考察導向也有指導作用。高中解析幾何內容因為其思維復雜、計算繁瑣等特點，讓學生懼怕。所以很多省份高考將解析幾何題作為考察學生數學能力和素養的重要題型。解析幾何中“動”與“靜”、“變”與“定”的相互轉化互存共生，運動中有相對靜止的現象，變化中也蘊含著大量的不變性質。所以探究平面解析幾何中曲線不變的幾何性質可以考察學生的探究意識和探究能力，是眾多高考命題專家命制平面解析幾何題的考察重點和熱點。變化中的不變性質同時也正是曲線內在美、和諧美的魅力所在。本文旨在通過一些例題淺談如何利用曲線的方程來探究曲線過定點這個不變性質。

一、直線過定點問題

點評：解法一是從特殊到一般的探究方法，先通過兩條特殊直線，找到交點（即定點），然后再證明這點在所有直線上。這種從特殊到一般的思想是處理定點問題的一種有效探究性方法，其優越性體現在為定點的確定指明了方向。解法二是從不定方程的角度反客為主，利用參數的任意性來獲得方程恒成立的代數條件從而確定定點的坐標，這種方法是處理曲線過定點的常用方法。

變式1：已知直線L：（m+1）x?（4m?1）y?5=0。求證：不論實數m為何值，直線L恒過第一象限。

二、圓過定點問題

點評：處理圓過定點問題和直線過定點類似，關鍵是要從圓的方程中分離出參變量，對圓的方程變形成以參變量作為未知數的方程，利用參變量的任意性來確定變量的取值，從而確定圓過定點坐標。