加強高中數學建模，豐富數學教學內涵

摘 要：高中數學教學必須高度重視數學建模. 數學建模需要弄清兩個關鍵概念：一是數學模型；二是數學建模.數學建模要防止經驗化、膚淺化，要防止在不理解何為數學建模的情況下空泛地談數學建模. 從數學模型的概念理解，到數學建模的一般過程，是理解數學建模的必要步驟. 需要強調的是，要充分認識到數學建模的復雜性與挑戰性，依靠學生原有的認知基礎去實施數學建模，并通過一定的專題訓練，這是培養學生數學建模能力的重要途徑.

關鍵詞：高中數學；數學模型；數學建模

數學建模是高中數學教學的核心要素之一，關于這一點，基本上沒有什么不同的觀點. 然而這并不等于高中數學教學的實際中數學建模就進行得很好，課程改革十多年來形成的一個重要認識就是，當一個重要的數學概念被人們不斷地重復的時候，可能這個概念的本質含義已經被人們忽視了. 數學建模也是如此，在多個不同層次的教研活動當中，筆者不斷聽同行們提到數學建模，但有趣的是不同的人在不同的情境下所說的數學建模似乎有著不同的含義.說得嚴重一點，數學建模也像個框了，什么都可以往里裝.基于這樣的實際，筆者以為在高中數學教學中需要堅持數學建模的本來含義，然后去加強培養學生數學建模的能力，才能真正豐富高中數學教學的內涵，才能真正推動高中數學的有效教學. 筆者此文嘗試對數學建模做出自己的理解與判斷.

[?] 從數學模型到數學建模

有人說，有數學應用的地方就有數學建模！這一論斷可以給高中數學教學尤其是數學建模能力的培養有著很大的啟發.說實話，筆者理解數學建模時常常想到的就是這樣的一句話. 由這一論斷可知，數學建模主要是指向數學應用的，也就是說在數學應用的過程中數學建模才體現出了它強大的作用. 這里有兩個核心概念需要界定：一是數學模型；二是數學建模. 顯然，建模是一個動態的過程，而模型是一個相對靜態的概念.

先來看數學模型.什么是數學模型呢？一般認為，當人們需要從數、量的角度解決某個實際問題時，往往需要通過調查、分析的手段了解研究對象的數學信息，然后進行數學抽象與簡化，并尋找其中內在的數學規律，然后用數學語言來描述這個規律，以形成一個數學模型. 其實，對于教師來說，這一描述更多的是一種概念性敘述，而數學教師對于數學模型的默會知識一般是比較豐富的，只是需要強調的是，數學模型是有著嚴格的定義的，其必須面向數學應用，其必須經過數學抽象的過程，其最終體現為用數學信息去描述實際問題. 數學模型還有一種更為簡潔的描述：用數學語言（包括數學公式）描述或模仿實際問題中的數量關系、空間形式的數學架構.

那什么是數學建模呢？顯而易見，建立數學模型的過程，就稱之為數學建模.數學建模是一個充滿著數學智慧的過程，從建模的順序角度來看，其過程一般是這樣的：實際情境——提出問題——數學模型——數學結果——結果檢驗——結果運用. 其中在結果檢驗之后如果發現存在問題，這個時候就不能走向結果運用，而應當回到實際情境，重新去提出問題并重新建立數學模型（這相當于一個循環語句）. 從這一流程來看，數學建模可以簡述為“用數學知識模擬現實的過程”.

總結以上闡述可以發現，數學建模是數學應用領域的. 這意味著數學新知建立過程中是需要慎談數學建模的（當然也可能存在數學建模的過程，即在新知識建立過程中借助于已有的知識來為新知提供基礎的過程）；也意味著數學建模的核心是將實際問題數學化，涉及數學抽象以輔助模型建立等. 下面將詳細論述.

[?] 數學建模的過程與例析

嚴格來說，數學建模需要經歷一個嚴密的過程. 這個過程往往分為多個步驟，下面結合具體實例來說明.

實例：某物體做簡諧振動，點O為其平衡位置，取向右為正方向. 已知振幅為5厘米，周期為4秒，從右邊距離平衡位置最大距離處開始計時. （1）求物體相對于平衡位置的位移與時間的函數關系；（2）求經過12秒后物體所在的位置及運動方向. （三角函數知識的應用問題）

第一步：模型準備. 這一步的關鍵在于了解數學問題（應用）的背景，尋找其實際意義及其中的有用信息. 該實例中的問題背景是一個簡諧振動，這是學生在物理學習中熟悉的內容（本問題屬于跨學科的數學應用問題）. 其中有用的信息可以根據學習經驗去猜想與判斷，像平衡位置、正方向、振幅、周期等、計時位置等，一般都會成為有用信息.

第二步：模型假設與建立. 根據模型準備經過假設的過程并建立模型，這一步需要用到一些重要的數學工具（公式定理等），最終目標是建立一個合理的數學結構，即數學模型. 根據實例中的信息可以發現，簡諧振動可以讓學生生成一個基本的函數關系即簡諧振動方程：x=Acos（ωt+φ），其中除了x和t之外，A表示振幅，ω是振動頻率，φ是初相位. 而這些信息的提取需要學生在物理數學知識的學習中形成良好的記憶，同時又需要將該方程與原來的實例信息進行對應，如振動頻率與實例中的周期對應，初相位與計時位置對應等. 這一步是數學建模的核心步驟，在本實例中應當說模型的建立一般不會出現太大的問題，因此在后面的模型檢驗中就不需要花費太多的精力，如果遇到更為復雜的應用問題，不像本實例這樣一目了然，比如說本實例中可以將一些具體的數據省略，或者讓簡諧振動變得更隱蔽一些，那在模型假設與建立時就需要更多的精力與智慧.

第三步：模型求解與分析. 這一步的關鍵是將實例中的信息（參數）代入模型當中去. 關于這一點，上述步驟中已經有所描述，此處不再贅述.

第四步：模型檢驗. 即將模型的分析結果與實際情形進行比較，以此判斷模型建立的合理性. 檢驗的重要途徑是看根據目前建立的模型所得到的結果是否具有實例角度的實際意義，如果吻合度好，則說明模型建立成功，否則失敗，一旦模型建立失敗，就進入循環的階段. 如本實例中，由于學生有一定的物理與數學知識基礎，因此在模型假設與建立階段就有較大的信心，畢竟實例說明了是“簡諧振動”，因此基本可以判斷模型是正確的. 事實上如果題目不說明是簡諧振動，而說是一個振動且不計能量損耗，那學生的判斷就需要多走幾個步驟了.

第五步：模型應用. 這是一個與具體實例相關的步驟，一般沒有固定的描述.在本實例中，模型應用主要體現在對第二問的回答上，事實上第二問可以無限延伸，任何一個時刻時物體的位置都可以由建立的數學模型計算出來.

以上是數學模型及其建立的一般過程. 需要強調的是，數學建模不只是一個利用數學知識生成數學模型的過程，嚴格來說它還是一種數學思想方法，是學生將學得的數學知識學以致用的一個重要的工具. 盡管實際數學應用的過程中并不刻意追求以上步驟的完整性，但基于這樣的思路去培養學生的建模能力卻是必要的.

另外，需要注意的是，數學模型的建立往往不是一個純粹的數學問題，其與實際生活的關系，與其他學科的關系，都是需要數學教師高度關注的，而關注的具體方式就是充分地了解學生的原有認知基礎. 也就是說，數學建模實際上是一個綜合性的過程，不是僅憑數學知識的建立就能完成的，生活應用性、跨學科性是其本質特征.

[?] 數學建模的教學與反思

在多年的高中數學教學中，筆者發現數學建模的教學有著重要的作用.如上所說，數學建模具有綜合性，因此其能夠促進學生對數學知識的綜合運用能力. 但實際教學中的挑戰也是非常明顯的，當下學生的數學學習有一個明顯的不足，那就是學生對知識之間的聯系認識不足，往往滿足于利用剛剛所學的知識解決眼前的問題，這對于數學建模來說提出了很大的挑戰. 如何從學生的記憶系統中提取出有效的信息以完成數學模型的建立，是一個很大的問題；此外，強大的應試壓力讓學生更多地滿足于一般的數學習題的解答，對數學建模的積極性有時不太高（當然，其中數學建模的復雜性也影響了學生的興趣）.

反思這些現象，筆者以為高中數學教學中的建模工作更加具有重要性與必要性. 無論是從應試的角度來看，還是從學生的數學素養提高的角度來看，數學建模本身就是數學綜合能力的體現，也是衡量數學教師教學水平的重要指標. 我們認為，只有當自己所教的學生能夠用所學的數學知識有效地解決實際問題時，數學教學才是成功的. 因此，無論是數學新知建立的過程，還是數學應用的過程，都需要在原有知識基礎上讓學生生成建模的意識，并在數學知識應用的過程中生成能力.

值得一提的是，在數學應用問題的解決過程中，通過一些專題訓練來提高學生的建模能力是值得嘗試的策略. 筆者的教學經驗表明，學生在專題訓練的過程中，建模的意識會比較強，建模的目標也比較明確，在緊張的復習時間中抽出時間進行專題訓練，可能是一件事半功倍的事情.