學生的智慧在“問題”中生成

摘 要：蘇霍姆林斯基指出：“使你的學生看出和感到有不理解的東西，使他們面臨著問題. 如果你能做到這一點就是成功的一半.” 一節高質量的數學課常常是由好的數學問題啟發并激勵學生學習的思維過程. 學生的智慧在預設問題中生成，在提出問題中生成，在探究問題中生成，在解決問題中生成，在拓展問題中生成.

關鍵詞：數學教學；課堂“問題”；智慧生成；案例分析

現代教學論研究指出，產生學習的根本原因是問題. 沒有問題就難以誘發學生的求知欲；沒有問題，學生就不會思考，學習就可能表面化和形式化. 一節高質量的數學課常常是由好的數學問題啟發并激勵學生學習的思維過程. 正如蘇霍姆林斯基指出的：“使你的學生看出和感到有不理解的東西，使他們面臨著問題. 如果你能做到這一點就是成功的一半.” 筆者結合教學實踐及研究經歷，就“學生的智慧在‘問題’中生成”舉例說明，以期拋磚引玉.

[?] 智慧在預設問題中生成

問題引領教學是探究性學習的核心所在.在課堂教學中，教師不應急于把方法和原理告訴學生，而應精心預設問題，激發學生去思考，多給他們機會和時間暴露內心的想法. 使學生在思維探索中獲得知識，提高綜合分析能力和解決實際問題的能力.

案例1 “余弦定理”的教學片斷

為了調動學生的學習積極性，預設了下列問題讓學生自主討論解決：

問題1 正弦定理給出了三角形邊角的數量關系，正弦定理是怎樣證明的？正弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題？

問題2 在三角形中已知兩邊及夾角，怎樣求第三邊？

問題3 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別記為a，b，c.

（1）若A=90°，b=3，c=4，則a=______.

（2）若A=60°，b=3，c=4，則a=______.

（3）若A=150°，b=3，c=4，則a=______.

問題4 一般地，在△ABC中，已知b，c和A，怎樣求a？

問題5 你發現了什么結論？你能用文字語言與符號語言表述你的發現嗎？能給出證明嗎？

問題6 若已知三角形的三邊，如何求它的三個角？

問題7 在上述結論的證明方法中，何種證法更簡潔？

案例中，問題1提供了“先行組織者”，為學生發現并證明余弦定理提供了研究方法的指導. 問題2體現了目的性，問題3體現了直觀性，問題4、問題5及問題6體現了開放性，問題7體現了體驗性. 問題2和問題3從學生現有發展水平提出問題，通過這些問題達到一種新的發展水平，即潛在發展水平，再在此水平上提出問題4和問題5，引導學生達到另一個潛在發展水平，如此形成余弦定理的發現和證明的問題鏈，引領學生自主探究，獲得新知，加深了對數學的理解，使“數學思考”、“問題解決”目標與“知識技能”目標有機融合，發展了學生的智慧.

[?] 智慧在提出問題中生成

學生有了問題才會去探索，只有主動探索才會有創造. 通過提出有思維價值、能引發學生深入思考的問題，把凝結在知識背后的思維方法及思維發生發展的過程展現出來，同時提供與之相匹配的學習材料，著力引導學生參與到這些思維活動之中，讓學生自學、自探，得出結論，升華思維，生成智慧.

案例2 “函數概念”的教學片斷

南京師范大學附屬中學陶維林老師在教學“函數概念”一課時，先讓學生舉幾個函數的例子（因初中已學過“函數”），學生每舉出一個例子，他就追問舉例的學生：“你憑什么說自己舉的例子表示一個函數？其他同學也思考一下，他所舉的是函數的例子嗎？為什么？”然后根據學生所舉例子，引導他們明確分別用解析式、圖象、表格表示對應關系的函數. 由于學生所舉例子都是用解析式表示的，于是他接著問：“函數關系都是可以用解析式表示的嗎？”引導學生開闊思路，再舉一些用圖象、表格表示對應關系的函數. 陶老師自己也參與舉例，并讓學生來判斷他舉出的例子是否能夠表示一個函數，說明理由. 這樣，學生思維參與度高，始終保持一種持久、亢奮的學習狀態，取得了很好的教學效果.

[?] 智慧在探究問題中生成

教育家陶行知說：“創造力最能發揮的條件是民主.” 民主寬松、平等和諧的課堂氛圍，會讓學生在心理上感到安全，從而保持心理自由，以非常規的思維方式分析理解問題，充分地表現和發展自己的發散思維，而無須壓抑，不必擔心別人的笑話和諷刺，進而迸發出創新的潛能. 在教學中，教師應圍繞教學目標，創設民主寬松、平等和諧的課堂氛圍，提出問題，給學生參與操作、觀察、猜想、驗證等活動的機會，留下探究的空間，提供探究的“路標”，使學生在探究中學習，在探究中創新.

案例3 “數列”的教學片斷

教師：大家看教材（人教A版《數學》（必修5））第2章第34頁B組第1題：下圖中的3個正方形塊中，著色正方形的個數依次構成一個數列的前3項，請寫出這個數列的前5項和數列的通項公式. （通過實例引入數列概念時，舉例較多，學生對此題的認識和解答很好）

學生甲：（學生積極舉手）老師，觀察前3個圖形，容易得到它們的正方形數目分別是1、9、73.

教師：你是如何快速算出第3個圖形中正方形的總數的？

學生甲：我是將第3個圖形提出分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進行計算的：將其中最大的一個正方形拔到高處屬于第1層（塔頂）；再將周圍較大的8個正方形拔到較高位置屬于第2層；再將周圍較大的每個正方形周圍的最小的8個正方形拔到更高位置屬于第3層（塔底）. 這樣就可以得到a3=1+8+82=73.

教師：學生甲的思路和方法太精妙了！那么第4個、第5個圖形中的正方形數是多少？

學生甲：a4=1+8+82+83；a5=1+8+82+83+84.

教室里頓時響起掌聲！接著學生甲高興地總結出數列的通項公式是an=1+8+82+83+…+8n-1.

教師：學生甲的想法很好，能將二維平面圖形“升維”至三維空間圖形觀察，思維敏捷，奇思異想，以后大家要向學生甲學習.

（教師點評剛結束，學生乙舉手）

學生乙：我觀察學生甲歸納出的通項公式，有新的發現，第3個圖形中的正方形總數可以改寫為a3=82+8+1=111（8）=73，從而依次就有a4=83+82+8+1（個）=1111（8）；a5=84+83+82+8+1（個）=11111（8），這樣做就能依據學生甲歸納出的通項公式的結構特征，借助進位制的思想將通項公式具體地表示出來，即an=111…11（8），其中有n個“1”.

教師：學生乙很細心，將前面學過的算法記得很清楚，又能靈活應用，可喜可賀！本節課，大家對數列概念的形成和通項公式的歸納學得很好，尤其是學生甲、學生乙，他們對習題第34頁B組第1題的通項公式有獨到見解，非常精彩. 以后大家多探究、多交流、多合作，一定會有新的發現、新的收獲！

教材第34頁B組第1題，教學參考書中介紹用遞推公式得通項公式，而學生甲提出分層立體觀圖法，學生乙根據通項公式的結構特征，借助進位制的思想將通項公式具體地表示出來. 多么簡潔、簡單的表示，這正是數學要追求的形式美.如果沒有教師創設民主寬松、平等和諧的課堂氛圍，沒有教師的激勵、引導，其效果可想而知.

[?] 智慧在解決問題中生成

解決問題的價值不只是獲得問題的結論，更重要的是讓學生在解決問題的過程中獲得發展，形成自己解決問題的某些策略，同時在解決問題的過程中通過與他人的合作及交流，學生將獲得更多的解決問題的幫助和啟示.

案例4 一位教師的一個探究教學片斷：

探究問題1：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和該拋物線相交，設兩交點的縱坐標為y1，y2，問y1·y2是否為定值？

探究問題2：一條直線與拋物線y2=2px相交，兩交點的縱坐標為y1，y2，若y1·y2=-p2，問該直線是否經過拋物線的焦點？

學生分組探究，留給學生一定的探究時間，然后再討論交流，由一位中心發言人上講臺交流（問題1用直線與拋物線的聯立方程組來解決，y1·y2為定值-p2，問題2可利用斜率相等來證明三點共線），另一位同學還補充了其他方法，教師做小結.

接著教師說：“同學們想一想還有類似結論嗎？同學們以小組為單位，試著編一個問題，然后解決它.”

學生討論氣氛熱烈，互相合作，探究時間雖然有點長，但成果豐碩. 有一位小組代表上去匯報：

“我們組研究了問題3和問題4，如下：

問題3：過拋物線y2=2px對稱軸上一點A（a，0）的直線和拋物線相交，兩交點的縱坐標為y1，y2，問y1·y2是否為定值？

問題4：一條直線與拋物線y2=2px相交，兩交點的縱坐標為y1，y2，若y1y2=k（k為常數），問該直線是否恒過某一定點？

問題3和問題4解決的辦法是……”

另一個小組也不甘示弱，上去匯報：“我們小組探究過拋物線y2=2p（x-m）焦點的一條直線和該拋物線相交，兩交點的縱坐標為y1，y2，則y1·y2也是定值-p2；反之，若y1·y2=-p2，這條直線一定過拋物線y2=2p（x-m）的焦點，證明的方法是……”

同學們很有想法，教師便鼓勵他們繼續交流和深入探究.

案例中教師首先提出探究性問題，拋磚引玉，相當于搭了一個戲臺，然后由學生自導自演，其樂融融，收效頗豐，取得了意想不到的教學效果.

[?] 智慧在拓展問題中生成

在教學中，教師應讓學生參與實踐，通過學生的思維在實踐中自由發揮、大膽延伸、縱橫馳騁，讓學生根據自己的經驗去經歷一個嘗試探究的過程，這樣有利于每個學生能力的發展. 為此，教師應把課堂教學延伸到課外，通過研究性學習和選修課方式，給學生提供足夠的時間和空間，提供素材和設計解決問題的方案，讓學生有所思有所想，想而有感，思而有得.

案例5 “等比數列前n項求和公式”的教學片斷

在“等比數列前n項求和公式”的教學中，在充分了解學情的情況下，可視情選用以下思路對教材內容進行拓展：教材給出了“錯項相消法”，這個方法的第一步是在等式Sn=a+aq+aq2+…+aqn-1兩邊同乘上公比q，那么，是否可以在兩邊同除以公比q呢？是否可以在兩邊同乘上其他的式子，譬如1-q？或在右邊乘上1-q，再除以1-q？是否可用“裂項相消法”進行求和？如果太難想象了，集中注意力觀察式子qk=（qk-qk+1），能獲得什么啟發？是否可以將求Sn問題化歸為方程求解問題？看成是方程組Sn=a1+qSn-1，

Sn=Sn-1+a1qn-1的求解問題？因為Sn=a1+qSn-1，若設Sn-k=q（Sn-1-k），可解得k=，那么Sn-

就構成一個等比數列，求和問題轉化為求通項問題，能否求得Sn？如果將式子經過變形改寫為Sn=a+q（a+aq+aq2+…+aqn-1）-aqn=a+qSn-aqn，問題是否變得更簡單？如果采用qSn=（aq+aq2+…+aqn-1）+aqn=Sn-a+aqn這樣的方式是否同樣可行？因為{an}成等比數列，易知===…==q，是否可用等比定理求出Sn？選用這里的某些思路進行教學拓展，是以探究發現為主要的線索，它不僅可以讓學生對公式的結構有更清楚的認識和更牢固的記憶，還可以讓學生深入理解求和的方法技巧并從中獲取樂趣，可以讓學生的發散思維能力和不懈進取頑強探索的精神得到更好的培養. 若以大量例題、習題的講解為拓展，將這個公式的教學異化為解題教學，雖然也能增進理解，但培養的基本上是應試能力，而無益于創新能力的培養，也無益于學習興趣的培養和思想智慧的感悟.

課堂教學問題設計是一門學問，也是一門藝術，在教學中起著極其重要的作用. 筆者認為，在完成教學任務并實現教學目的的“作用點”上，在知識形成過程的“關鍵點”上，在運用數學思想方法產生解決問題策略的“關節點”上，在數學知識之間聯系的“聯結點”上，在數學問題變式的“發散點”上，在學生思維的“最近發展區”內，提出恰當的、對學生數學思維有適度啟發的問題就是好問題，這也是教學問題設計的基本原則. 通過有效教學問題的設計，既能開闊學生的視野，訓練學生的思維，又增強學習的實效性，對拉近師生關系，形成良好的教與學的氛圍，培養學生良好的學習習慣和積極的思維方式是大有裨益的.