模型思想：內涵、價值及教學策略

摘要：“模型思想”是義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）提出的十個核心概念之一，具有重要的數(shù)學價值和教育價值。小學數(shù)學教學中滲透模型思想可以采用：從情境中抽象出數(shù)學問題、完整經歷數(shù)學模型的抽象過程、豐富歸納數(shù)學模型的思維過程、凸顯求解數(shù)學模型的應用價值等教學策略。

關鍵詞：模型思想;數(shù)學模型;教學策略;應用意識

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）07A-0073-04

“模型思想”是義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）提出的十個核心概念之一，也是新增加的一個核心概念。那么，什么是模型思想？其基本內涵是什么？又有怎樣的價值意義？小學數(shù)學教學中如何讓學生感悟并發(fā)展模型思想？對這些問題的思辨與求解，不僅對教師的教學觀念有著深刻的意義，而且對教師的教學行為將產生積極的影響。

一、 厘清：模型思想的基本內涵

何謂“模型”？“模型”不同于“模式”，一般來說，模式關心的是數(shù)學內部，是解決一類問題的方法;模型關心的是數(shù)學外部，是解決一類現(xiàn)實問題的方法。所以，我們把“能夠認識或者解決一類數(shù)學問題的方法稱為模式”[1];課程標準中所說的“模型”，即“強調模型的現(xiàn)實性，是用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界中的故事;強調在建立模型的過程中，讓學生感悟如何用數(shù)學的語言和方法描述一類現(xiàn)實生活中的問題”[2]。史寧中教授認為，模型有別于一般的數(shù)學算式，模型也有別于通常的數(shù)學應用，模型是能夠用來解決一類具有實際背景問題的數(shù)學方法。

何謂“模型思想”？課程標準中是這樣解釋的：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。”[3]我們從中可以看出，新課標不僅指出了模型思想的基本理念和作用，而且表明了數(shù)學的應用價值，明確了建立模型是數(shù)學應用和解決問題的核心。史寧中教授認為，數(shù)學思想歸納為三個方面的內容，可以用六個字表達：抽象、推理和模型。實際上，在新課標的十個核心概念中，“模型思想”是唯一一個以“思想”指稱的核心概念，這已經明示了“模型思想”是一種基本的數(shù)學思想。

二、審視：模型思想的價值意義

（一）數(shù)學價值分析

1.模型思想有利于促進學生的數(shù)學理解

小學生學習數(shù)學知識的過程，實際上就是由現(xiàn)象到本質、由直觀到抽象、由簡單到復雜的過程，在此過程中，學生通過反復建立和求解一系列模型，能夠更加透徹地理解數(shù)學知識并能自我生成數(shù)學知識，進而感悟數(shù)學思想，把握數(shù)學本質，發(fā)展理性精神。

2.模型思想有利于發(fā)展學生的思維能力

“數(shù)學是思維的體操”，數(shù)學教學是思維活動的教學。模型思想作為一種基本的數(shù)學思想，既是學生獲得數(shù)學知識的主觀手段，同時也是學生數(shù)學學習的思維方式和行為方式。學生在感悟模型思想的過程中，能夠促進思維能力逐步提升和思維水平動態(tài)發(fā)展。

3.模型思想有利于增強學生的應用意識

數(shù)學源于現(xiàn)實生活，寓于現(xiàn)實生活，并用于現(xiàn)實生活。從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學問題，直至建立并求解數(shù)學模型，可以讓學生進一步了解數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，感受數(shù)學知識的應用價值，增強應用數(shù)學的主動意識，增進對數(shù)學的理解。

4.模型思想有利于培養(yǎng)學生的積極情感

數(shù)學的本質特點決定了“數(shù)學學習只有深入到‘模型’‘建模’的意義層面，才是一種真正的學習”[4]。學生通過觀察、分析、抽象、概括等數(shù)學活動，建立模型，最后通過模型去“求出結果并討論結果的意義”，在此過程中，學生習得的有知識和技能，有思想和方法，也有經驗積累，數(shù)學學習的興趣、自信心等情感、態(tài)度與價值觀也得到有效培養(yǎng)。

（二）教育價值分析

1.模型思想有利于課程目標的整體實現(xiàn)

模型思想滲透于數(shù)學課程內容的各個領域之中，突出模型思想有利于學生更好理解和掌握所學內容。同時，模型思想體現(xiàn)在教學中是一個綜合的活動，它與符號意識、幾何直觀、推理能力、應用意識、創(chuàng)新意識等課程目標點都密切相關。數(shù)學課程目標是一個“密切聯(lián)系、相互交融的有機整體”，模型思想的滲透對課程目標的整體實現(xiàn)具有重要的支撐作用。

2.模型思想有利于促進學生的終身發(fā)展

數(shù)學知識是定型的、靜態(tài)的，而數(shù)學思想則是發(fā)展的、動態(tài)的;數(shù)學知識的記憶是暫時的，數(shù)學思想與方法的掌握是永久的。模型思想作為一種數(shù)學思想，不僅會對學生的后續(xù)學習產生持續(xù)影響，而且會隱性地影響學生從事數(shù)學以外活動時的思維方式和行為方式，促進終身發(fā)展。

三、 探尋：模型思想的教學策略

從廣義的角度來看，小學數(shù)學中概念、法則、公式、性質、規(guī)律、數(shù)量關系等都是數(shù)學模型。小學生數(shù)學學習的過程，實際上就是對一系列數(shù)學模型的理解、把握和運用的過程。一般來說，建立數(shù)學模型的過程可以分為三步：“一是提出問題并用精確語言表達;二是分析數(shù)量關系并進行數(shù)學抽象;三是求解并解決實際問題。”[5]因此，在教學中，教師要“循序漸進地引導學生經歷從簡到繁、從具體到抽象、從易到難的過程，逐步積累經驗，在充分認識數(shù)學模型價值的基礎上，掌握建立數(shù)學模型的一般方法”[6]，初步形成模型思想，自覺運用數(shù)學模型解決現(xiàn)實問題。

（一）從情境中抽象出數(shù)學問題

模型思想包括建立模型和求解模型兩個部分，其中建立模型思想的起點是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出信息，對問題進行必要的簡化。從認知水平與思維發(fā)展來看，小學生處于以具體運算為主并向形式運算過渡的階段，這決定了他們能夠在與現(xiàn)實生活中的具體事物相互聯(lián)系的情況下進行邏輯運算。也就是說，模型思想與小學生的數(shù)學學習特點存在“天然的契合點”。因此，在教學中，教師要根據(jù)學生的認知水平和生活經驗，引導學生對現(xiàn)實生活中的問題或者現(xiàn)象進行感知與理解，重視生活問題的抽象概括和數(shù)學化的過程，使“生活問題”上升為“數(shù)學問題”，為模型思想的初步滲透和建立奠定思維基礎。

例如，三年級上冊“長方形和正方形的周長的計算”一課，蘇教版教材創(chuàng)設了這樣的情境：“籃球場長是28米，寬是15米。籃球場的周長是多少米？”教學時，教師應該結合情境圖讓學生思辨：“籃球場是什么形狀的？長28米和寬15米分別是哪一部分的長度？籃球場的周長指的是什么？求籃球場的周長就是求什么圖形的周長？”當學生明確了這些問題以后，“求籃球場的周長”的生活問題就轉化成了“求長方形的周長”的數(shù)學問題。這樣，不僅能讓學生借助積累的經驗感受到情境中所隱含的數(shù)學問題，而且能有效激發(fā)學生進一步探究的欲望與需求，初步滲透了數(shù)學模型意識。因此，教師在教學中滲透模型思想，首先需要準確把握從現(xiàn)實的“生活原型”到抽象的“數(shù)學模型”的過渡過程。

（二）完整經歷數(shù)學模型的抽象過程

學生對模型思想的感悟過程，不僅僅是一個“形式學習”的過程，更多的是經歷、體驗、探索數(shù)學知識產生的過程，同時還是經歷“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”的過程。教師要引導學生從實際生活原型或具體問題情境出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析、抽象、概括等數(shù)學活動，去掉數(shù)學問題中非本質的東西，用數(shù)學語言或數(shù)學符號表述、提煉出數(shù)學模型。

例如，正比例是刻畫某一現(xiàn)實背景中兩種相關聯(lián)的量的變化規(guī)律的數(shù)學模型，其背后蘊含的數(shù)學思想是函數(shù)思想。用函數(shù)表示數(shù)量關系和變化規(guī)律，不僅能體現(xiàn)函數(shù)思想的應用價值，而且也有助于學生形成模型思想。因此，教學“正比例的意義”時，教師要讓學生從各種運動變化的具體實例中理解變化對應的思想，感受“變化”之中的“不變”，把握這種規(guī)律的重要性，引導學生完整經歷函數(shù)模型的抽象過程：

首先，以表格的形式呈現(xiàn)一輛汽車在公路上行駛的時間和路程的幾組數(shù)值，引導學生觀察表中的數(shù)據(jù)，說一說表中列出的是哪兩種量，這兩種量都有什么特點，是怎樣變化的，有怎樣的聯(lián)系。其次，啟發(fā)學生寫出幾組相對應的路程和時間的比并求出比值，觀察有什么發(fā)現(xiàn)。第三，思考這個比值表示什么，能否用一個式子來表示這幾個量之間的關系，引導學生抽象出數(shù)量關系式，并揭示正比例的概念。第四，繼續(xù)呈現(xiàn)一些典型實例，引導學生按照上述步驟進行思考，并判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例。在此基礎上，歸納概括正比例的共同特點并用字母式子表示正比例關系;然后讓學生列舉生活中還有哪些成正比例的量，加深理解。最后，結合練習引導學生總結判斷兩個量是否成正比例的操作和推理步驟，同時提供一些反例讓學生進行辨析，從而正確建立起正比例的數(shù)學模型。

這樣，教師結合生活中的典型事例，引導學生經歷從具體到抽象的學習過程，逐步把感性認識上升為理性認識，既加深了對過去學過的數(shù)量關系的理解，又學會了從變量的角度認識兩種量之間的關系，感受了函數(shù)的思想方法。學生在完整經歷數(shù)學模型的抽象過程中，不僅習得了數(shù)學學習技能與方法，而且積累了數(shù)學學習經驗。

（三）豐富歸納數(shù)學模型的思維過程

模型思想的形成是一個綜合性的過程，也是學生數(shù)學各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。全面分析數(shù)學問題中的數(shù)量關系，探索解決問題的方法并解決問題，在回顧反思中建立數(shù)學模型，是形成模型思想的核心。“數(shù)學模型的抽象提煉不只限于對某一個問題的分析與歸納，它更應該是在對同類事件的共同特征進行分析研究的基礎上，歸納提煉而成。”[7]因此，教師在引導學生歸納數(shù)學模型時，應該拉長學生思維“爬坡”的過程，通過豐富的數(shù)學活動發(fā)展數(shù)學思考，充實數(shù)學思維過程。

例如，“長方形的面積計算”作為一種數(shù)學模型，其研究重點應該放在探索算法、形成公式上，通過豐富的學習活動發(fā)展學生的思維，培養(yǎng)解決問題的能力，使學生體驗到數(shù)學學習充滿著“研究”與“創(chuàng)造”，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結論的確定性。因此，教師教學時可以設計如下三個探索活動：第一個活動，用若干個1平方厘米的正方形擺出3個大小不同的長方形。每次操作后在表格中記錄下長方形的長、寬，所用正方形的個數(shù)以及長方形的面積。通過擺圖形和記錄數(shù)據(jù)，使學生初步體會長方形的長、寬的數(shù)量與所需正方形個數(shù)的關系，間接感受長、寬的數(shù)量與面積有關系。第二個活動，用1平方厘米的正方形測量兩個長方形的面積。先是利用圖示啟發(fā)學生只沿著第一個長方形的長和寬各擺一排正方形，就可以看出這個長方形的長與寬;推算出擺滿這個長方形一共需要多少個正方形，就可以得到這個長方形的面積。然后讓學生對第二個長方形展開獨立測量活動，沿著長方形的長擺出一排正方形，看出長方形的長是幾厘米;沿著長方形的寬擺出一列正方形，看出長方形的寬是幾厘米，再推算出這個長方形的面積是多少平方厘米，使學生進一步體會長方形的長、寬的數(shù)量與面積的關系。第三個活動，說出長7厘米、寬2厘米的長方形的面積。學生根據(jù)前兩次活動的經驗自主完成長方形的面積推算。

通過上述這些活動，學生較好地理解了“長與沿長邊可以擺的面積單位個數(shù)，寬與沿寬邊可以擺的面積單位的行數(shù)，每行擺幾個及可以擺這樣的幾行與長方形面積”之間的對應關系，“長方形的面積=長×寬”的數(shù)學模型的建立水到渠成。在長方形面積計算公式模型求解的過程中，學生不僅明晰了解決問題的思路，獲得數(shù)學結論，更重要的是在分析、綜合、比較、抽象、概括等思維活動中體會了模型思想，培養(yǎng)了數(shù)學思維能力。

（四）凸顯求解數(shù)學模型的應用價值

求解模型是通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。它是模型思想的重要組成部分，其本質是將已驗證成立的數(shù)學模型遷移應用到相關問題情境中，解決生活實際問題。正如荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾所指出的那樣：“數(shù)學來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實。”所以，當學生建立數(shù)學模型以后，教師應該幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實，及時引導學生在實際應用中解決新問題、同化新知識、拓展新認知，使數(shù)學模型成為溝通實際問題與數(shù)學知識的橋梁，從而幫助學生進一步提升數(shù)學模型的應用水平，積累模型經驗，形成初步的模型思想。

從某種意義上來講，模型思想就是將一個問題的解決，拓展為一類問題的解決。在凸顯求解數(shù)學模型應用價值的過程中，教師要重點做好兩方面的工作：一方面，通過一些基本習題強化學生對數(shù)學模型的基礎理解。這個環(huán)節(jié)是引導學生將數(shù)學模型推廣到一般情況中去，從較普遍的意義上理解數(shù)學模型，從而掌握相應的規(guī)律性知識。另一方面，通過一些變式練習拓展學生對數(shù)學模型的深度理解。這是檢驗學生對數(shù)學模型本質內涵是否真正理解與掌握的重要方式，它有利于學生在應用模型解決問題的過程中，提高靈活解構數(shù)學模型的能力。因此，當學生能主動運用數(shù)學模型來解答生活實際中的問題時，不但可以使他們充分體會到數(shù)學模型的實際應用價值，而且可以進一步培養(yǎng)他們應用數(shù)學的意識和綜合應用數(shù)學解決問題的能力。

模型思想是學生獲得進一步學習和探索能力的重要途徑，引導學生探索模型的過程是幫助學生積累數(shù)學活動經驗的有效方法。在小學階段，模型思想的主要教學形態(tài)是“滲透”，因此，教師要站在整體的高度綜合考慮，有機結合教學內容，采用“教者有意、學者無心”的方式，引導學生由淺入深、由表及里地認識數(shù)學模型，感悟模型思想。當然，模型思想的建立是一個循序漸進的過程，一方面需要教師在課堂教學中有意識地滲透，另一方面需要學生在數(shù)學學習過程中不斷反思、揣摩與領悟。只有這樣，學生對模型思想的認識和對數(shù)學的理解才能從“量的積累”達到“質的飛躍”。

參考文獻：

[1][2]史寧中.基本概念與運算法則：小學數(shù)學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：6.41.

[3]義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：7.

[4]許衛(wèi)兵.磨·模·魔——小學數(shù)學教學中滲透模型思想的思考[J].課程·教材·教法，2012（1）.

[5][7]費嶺峰.數(shù)學模型思想及其教學策略初探[J].小學教學研究，2013（2）.

[6]楊承軍.義務教育階段滲透數(shù)學模型思想的意義與策略探究[J].教育評論，2014（4）.

責任編輯：石萍