故事數學：數學教學的有效資源

摘要：講述、創生數學故事進行數學教育教學，在當下未嘗不是一種行之有效的方法。理論探析和實踐探索發現，在數學教學中，教師對數學故事的講述和演繹，可以幫助學生提升學習興趣，加深對知識的理解，樹立辯證唯物史觀，激發愛國熱情，還可以啟思、勵志、悟美。數學教師應在適切的時機，通過不同的形式，尋找并植入適切的故事進行教育教學，做“故事數學”的追求者和熱情實踐者。

關鍵詞：數學故事;故事數學;教師;教學

中圖分類號：G424.1 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）07A-0102-05

作為衡量一個人學習能力的重要學科——數學，從小學到高中到大學，大多數學生對它情有獨鐘，投入了大量的時間與精力，然而并非人人都是成功者。在現實生活中，我們看到的是許多人害怕數學，遠離數學，據統計，有38%的中小學生害怕數學。有的學生討厭數學到了想放棄的地步，其實這絕不應該是數學自身的原因。有好多數學家早年曾被認為沒有數學天賦，卻在數學上有了成就，這說明也不是學生的天賦問題。顯然，是我們的數學教學出了問題。

如何教好數學？方法有很多，但一定繞不開讓學生喜歡數學這一理想路徑和價值追求。反觀現實，我們的數學教學就是講題、做題、教學內容就是公式、定理，課堂氣氛嚴肅而沉悶，思維難以活躍，學習難以深入，學生極易產生乏味感，特別是理科思維不好的學生，對它更是有一種畏懼感。數學故事是學生學習數學的有效課程資源，是點燃學生心靈的興趣之火，通過數學故事進行故事數學教學不失為一種讓學生喜歡數學、學好數學的良方。

一、“故事數學”的意蘊

“數學故事”是以現實生活為基礎，以數學課本內容為依據，以數字、運算、計量、代數、幾何、統計與概率、邏輯與推理等方面為主要內容的故事。所謂“故事數學”，即通過數學故事進行數學的教與學，是師生閱讀、講解、演繹發生在數學史上的、發生在數學家身上的、發生在教師和學生身邊的故事，進而激發學生的數學興趣，學習數學知識、培養數學能力、感悟數學思想、提高數學素養和道德品質的數學教學。“故事數學”是一種手段、一種路徑、一種方法，是用來進行數學教與學的資源、方法等一切關系的總和。

二、 “故事數學”的緣由

（一）理論探析

1.興趣觀

興趣是指一個人力求認識某種事物或從事某種活動的心理傾向。學習興趣是學生對學習活動或學習對象的一種積極認識或趨近的意識傾向。它是一種學習動機，是學習中最現實、最活躍的心理成分。當學生對某種學科發生興趣時，會心情愉快地學習，積極主動地獲取知識，否則，就會感到學習是一種負擔。

數學作為一門研究數量關系和空間形式的學科，具有嚴密的符號體系，獨特的公式結構，形象的圖像語言。因此，在中學數學的學習中，學生有畏懼心理的現象非常普遍。但是如果一個學生對數學感興趣，就可能激勵他積累各種數學知識，研究各種數學現象，為將來研究和從事數學方面的工作打基礎;就會促使他刻苦鉆研，并且進行創造性的思維，這樣不僅會使他的學習成績大大提高，而且會大大地改善學習方法，提高學習效率。[1]

事實上，在數千年的歷史中，與數學有關的無數故事紛紛上演，許許多多的美好事物蘊含在這些故事之中。數學并不只是由一些赤條條的定律組成的，數學也不只是由一些干癟的公式構造的，數學有無數美好的故事，有深厚豐富的內涵。運用故事進行數學教學，會使更多的學生喜歡數學。

2.課程觀

后現代主義課程觀主張“三S”教育，即強調以科學（science）、精神（spirit）和故事（story）為基本內容的教育。數學是科學，數學由人的精神孕育出來，數學的歷史是由無數的數學故事編織而成的，“三S”教育對于數學教育有較高的指導性和契合性，可能是最適合的。事實上，在實踐中我們發現那些數學教育教學效果好的教師，在很大程度上都是會講故事的教師。[2]

在數學里，有美不勝收的故事;在故事里，有美不勝收的數學。現實生活中，諸多的經典故事，異彩紛呈，妙趣橫生，耐人尋味。其中，有些故事本身也蘊含著豐富的數學思想內涵。面對如此的“故事金礦”，我們如何利用？關鍵在于教師，關鍵在于教師如何在以抽象思維為主的數學學科和學生的知識基礎之間搭建故事的橋梁。

（二）實踐探索

“故事數學”在實際教育教學中真的很有效嗎？表現如下：

1.可以激趣

1777年的一天，著名的數學家布豐忽發奇想，把許多賓朋邀請到家中，做了一個令人驚奇的試驗，他把事先畫好一條條等距離的平行線的白紙，鋪在桌面上，又拿出準備好的質量均勻而長度為平行線距離一半的小針，請客人把小針一根一根地隨便地扔在紙上，而他則在一旁專注觀察并記著數，投完后統一計數為：共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，布豐又做了一個簡單的除法，2212÷704=3.142然后宣布：“這就是圓周率的近似值”，所有的賓朋都驚呆了，這簡直是不可思議！這就是著名的布豐投針試驗。以這樣的故事來開啟概率學習的篇章，學生的求知欲一下子就被調動起來。

2.可以增知

將數學知識融于故事中，利用故事的鮮明特性，可以使學生在輕松愉快的氛圍中，在審美與理性分析的過程中，在思維碰撞的過程中內化新知，能使學生的智慧綻放出七彩的光芒，給學生的思維插上一對想象的翅膀。在數學故事的講授中，教師帶領學生體會概念的自然產生過程，知曉課本上定義的來源，激發學生的學習動機，使學生對于數學知識能“知其然”又能“知其所以然”，加深學生對概念的理解，并讓學生獲得數學探究的美好體驗。以“無理數”為例，關于無理數的發現，有這樣的一個故事，傳說中，希爾索斯發現正方形對角線與邊長為不可公度量，即兩者的長度之比不能表達為整數之比，從而否定了畢達哥拉斯學派的“萬物皆數”說，動搖了畢氏學派的哲學根基，因而被拋進大海處死。有的教師這樣告訴學生：希爾索斯因為發現無理數而失去生命，此事太沒有道理，所以它發現的那類數叫無理數。這個故事也許牽強附會，但是不影響學生對無理數的學習，其實像這樣的例子很多。比如“小數”是很小的數嗎？“虛數”是虛無縹緲的數嗎？“函數”是數嗎？為什么稱未知數為“元”？每個問題的背后都有許多故事，每個故事本身都蘊含著或多或少的數學知識。[3]

3.可以啟思

故事可以激起學生的求知欲，更能帶動學生的思考探索。高中數學等差數列的前n項和公式的推導，完全可以以高斯從1加到100的算法的故事中來予以啟發，引導，觸類旁通。“首末相加法”的數學方法，一經點破，學生會覺得實在簡單，樸素中見高雅，更覺可貴。

4.可以勵志

敘述數學家的困難、挫折和失敗，能使學生獲得真知灼見和探究問題的勇氣，并且不因失敗而氣餒。美國數學家米勒斷言，清晰地揭示歷史上著名數學家的挫折與失敗，比介紹他們的成功更能讓學生獲益。“哥德巴赫猜想”引無數數學愛好者“競折腰”，歷史上，這樣的故事很多，無不讓人產生心靈的震撼。

5.可以悟美

故事還可以傳遞美感。歐拉的故事有很多，歐拉公式eiπ+1=0是一個真正的經典。公式看上去一目了然，實際上卻深奧得難以置信。它包括五個最重要的數字常數——0（加法恒等元）、1（乘法恒等元）、e和π（兩個最具代表性的超越數）以及i（虛數單位）。另外公式還包括兩個最基本的算術運算——加法和次方。性質如此不同，出現的時間相距又那樣遙遠，這樣的5個數卻和諧處于一個式子之中，能夠給人一種距離美、統一美、和諧美的感覺，并且還能使學生從一個大跨度的歷史中看到數學的壯闊美。

6.可以激發愛國情懷

在人類幾千年的歷史中，我國的數學家做出了許多突出的貢獻，如祖沖之的圓周率、楊輝三角等南宋數學家秦九韶發現的新的算法“大衍求一術”比歐洲數學王子高斯的解法早了500年，齊梁時代的數學家祖沖之的兒子祖暅（公元5世紀）早就提出的“冪勢既同，則積不容異”的祖暅原理，而1653年才有西方意大利數學家卡瓦列利提出相同的定理。通過這些歷史典故，學生可以充分了解到中國古代數學對世界數學發展的貢獻，從而增強民族自豪感。[4]

7.可以樹立辯證史觀

數學教學的德育核心是培養學生的辯證唯物主義觀點，數學中的正與負、數和形、直與曲、常數與變量、有限與無限等反映了既對立又統一的辯證思想。數學第二次危機的故事讓人陷入無限沉思：牛頓在求出導數時，采取了先給x以增量0，應用二項式，從中減去以求得增量，并除以0以求出增量與x的增量之比，然后又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾規律的方法——先設x有增量，又讓其為0，也即假設x沒有增量。他論述了無窮小dx既等于零又不等于零，這是荒謬之論。這就是貝克萊悖論，微積分由此變得“神秘莫測”。無窮小的分析是否合理這個問題引發了數學第二次危機。對這個悖論的解釋歸根到底是人們對變量及有限和無限的認識上的缺憾。通過這個故事，我們就能把辯證唯物主義思想的根深深地扎在學生的心中。概率、頻率的故事教學使學生感知偶然中蘊涵著必然，體現了變與不變的辯證關系;隨機變量的故事，體現了動與靜的辯證統一，諸如此類，看似單一的數學故事，卻是對學生進行辨證史觀教育的良好素材。[5]

三、做“故事數學”的熱情實踐者

做個有故事的數學教師，進行一種故事數學式的教學，是一個別開生面、效果獨特的嘗試，也更應是教師們實踐中的應然追求。

（一）在適切的時機植入故事

進行故事數學教學并不意味著整個課堂都需要，也不意味著每一節課都要運用，應根據具體教學內容，教學具體情況等巧妙安排，以確保是否需要，效果最優。

1.課前植入，引人入勝

新一章的學習，通過故事引入，學生就會興趣盎然，從而積極去查找資料，探尋其中的奧秘。在極限教學之前，筆者演繹了這樣一個故事：先在黑板列出了這樣一個問題：1與0.9誰大誰小？許多同學都以為0.9lt;1，在學生們經歷一番討論而倍感困惑時筆者又給出一個題目：你能在0.9與1之間插入一個數嗎？學生們更是躍躍欲試，可就是無所適從，最后筆者又給出第三道題目：在■=0.3兩邊同時乘以3會得到什么樣的結果？學生的學習情緒一發不可收。以這樣的問題故事來開啟概率學習的篇章，長此以往，學生怎么可能不喜愛數學？

2.課中運用，妙趣橫生

有效的故事情境比精心設計的游戲導入更能調動學生的積極性，更能讓學生從一開始就進入最佳的學習狀態。如在“等量代換”的課始，教師可以選用“曹沖稱象”的故事，通過故事引發學生進行觀察、發現和思考：曹沖是怎么稱象的？為什么他能夠稱出又高又大的大象的重量？選取一個好的故事開端，可能就是一節課成功的一半。[6]

我們還可以利用故事的無意注意的特性，將故事穿插于數學教學之中。這有利于解除學生對數字的枯燥感和解題的煩躁感，使課堂充滿生命的活力。復習組合的內容之后、學習排列之前，筆者編了這樣一個故事：“有一個干部在某年個人小結時是這樣寫的：‘存在問題——好喝酒;分析原因——酒好喝;總結經驗——喝酒好;整改措施——酒喝好;努力方向——喝好酒’”。筆者將‘好、喝、酒’三個字進行不同的組合得到不同的含義和意境，說明排列和組合之間不同的意蘊，學生的興趣頓時高漲，所學內容迅速吸收。

心理學研究表明，下課前的5分鐘左右，注意力較易分散，此時數學故事能再度喚起學生主動學習的熱情。讓學生在故事中鞏固新知，使學生產生意猶未盡的感覺。在“簡易邏輯”復習課的最后，學生對“‘存在性’的否定”還是不太清楚，于是筆者適時講述了“馬克·吐溫”的故事：美國作家馬克·吐溫對美國有些議員的做法深感不滿，于是在一家報刊上寫了一篇抨擊的文章，文章的題目是“有些議員是狗娘養的！”，這個標題在美國引起軒然大波，議員們紛紛要求馬克·吐溫必須在同樣的報紙，同樣的位置，作出全面的否定，否則……于是，馬克·吐溫最終“屈服”了——不得不在同樣的報紙，同樣的位置，做了道歉，文章的題目是“有些議員不是狗娘養的！”。學生聽后哈哈大笑，在笑聲中悟出了“‘存在性’的否定”的涵義。

3.課外運用，回味無窮

2002年8月，世界數學大會在北京召開。3000多位世界第一流的數學家，聚在這誕生過張衡與祖沖之的國度，談笑、交流、與公眾對話，在這次大會的活動中，陳省身教授為大小觀眾們題詞，都是四個字：“數學好玩”。其實數學原本就不是枯燥的符號，它與現實生活緊密聯系，并為人們的生活和實踐活動服務。在數學教學中，我們要走出教材，走出教室，融進生活，融進活動。“故事數學”更多地實施在課外，教師在培養學生的計算和解題能力時，往往布置大量的重復的習題，久而久之，學生會對數學產生反感。試想把枯燥無味的作業改用看故事、編故事的形式來完成，學生肯定不會把作業看成負擔，而看成是一種樂趣。這樣學生不僅學得主動，且學得輕松、愉快。作業的形式應是多樣的，它可以是找數學故事，編數學故事，還可以把數學故事寫進數學日記、數學小論文，編進數學小報等，讓數學回復它的本來面目，學生就會驚訝于它的美麗、它的神奇莫測、它的包羅萬象、它的“好玩”。

（二）在適切的地方尋找故事

1.從數學史中尋找

現行的數學教材包含著豐富的故事，如高中數學教材章節后面的“探究·拓展”、“鏈接”、“閱讀”等部分中都有，如蘇格蘭數學家納皮爾的對數發明、藝術家的透視法、斐波那契數列、向量源自力學、法國數學家布豐的投針試驗以及中國古代數學中秦九昭的“三斜求積”、韓信點兵、田忌賽馬、勾股定理、楊輝三角、雞兔同籠、劉徽割圓等等成果相繼進入高中數學教科書必修本中。在教學中適時地、自然地利用它們對學生進行故事教育，會達到事半功倍的效果。大數學家兼物理學家阿基米德，他的墓碑上刻的是一個圓柱體和它的內切球，后人在荒草湮沒的故冢堆中，探訪阿基米德，靠的就是這個幾何圖形的標記，因為他的墓碑上，沒有任何文字說明，球的體積和表面積是它的外切圓柱體積和表面積的三分之二的這一功績都是人們不能忘卻的。在歷史的長河中有許許多多的關于數學或數學家的故事，它們是取之不盡、用之不竭的源泉。

2.從生活中尋找

生活中，處處有數學，時時有數學，學生在用中學，學中用，就會覺得數學很有味道。不過河，就能知道河對岸的塔有多高，對學生來說，這樣的問題多么具有挑戰性，當通過研究，發現這其實這就是一個簡單的解三角形問題的時候，又會感覺是多么有趣。又比如，在公比大于2的正項等比數列{an}中，前幾項和為Sn，則angt;Sn-1，顯然，如果我們通過比數字大小來決定總的勝負，那么數學學得好的人就很容易取勝。最短路程問題、用料最省問題、效益最大化問題……生活中到處充滿著數學的故事，充滿著數學的思維邏輯。教師通過故事進行數學教學，學生在生活中運用數學，就會發現數學的魅力，學得有意思，學習成績就會逐漸提高。

3.創生數學故事

三角幾何共八角，三角三角，幾何幾何？”，當這樣的問題拋給學生以后，學生可能既好奇又興奮卻不知所云。教師不必急于解釋，要舍得給學生一些時間，當學生終于悟出其中奧妙之后，可能終生難忘，這就是我們教師留下的故事。如果教師當時就解釋道：三角和幾何兩本書一共8角錢，三角這本書三角錢，幾何這本書價值多少錢呢？學生就會感到寡然無味，因為僅僅作為一道數學題目，連一年級小學生都會做。因此，教師要善于制造故事，讓學生在故事中成長，在故事中不知不覺地把數學學好。

課內、課外，都可以演繹不同的故事，故事中，教師是導演，學生是主演。通過主演，學生體驗學習和創造的過程，培養正確的數學觀;通過故事，教師進行數學教育教學，做一名有故事的教師，讓每一節課都散發故事的芳香，這是一個多么美好的前景！

參考文獻：

[1]肖林元.如何高效學數學[M].北京：機械工業出版社，2014：18-19.

[2]張楚廷.數學·數學史·數學教育[J].課程·教材·法，2012（6）.

[3]劉權華.最是那“冰清玉潔數學美”[J].教育研究與評論，2014（6）.

[4]劉權華.學科情感培養：數學教學的關鍵[J].江蘇教育研究，2014（5B）.

[5]李德生.把數學故事滲透到高等數學課堂里[J].語數外學習，2012（9）.

[6]樓孟娣.故事——讓數學課堂更精彩[J].中國校外教育，2011（1）.

責任編輯：石萍