數學學習：在具象與抽象之間

摘要：雖然兒童具有一些抽象思維能力，但仍離不開具體形象的支持。另外，兒童很難從具體問題中抽離出相關數學知識的內涵和本質。所以在小學數學教學中，教師既要幫助學生把抽象的知識具象化，便于其理解記憶;也需引導學生從實際問題中抽離出簡單的數學模型，從而理解問題的本質。以幾何圖形為基礎的模型的動態演示，可幫助學生搭建抽象和具象之間的橋梁。

關鍵詞：小學數學;教學具象;抽象;除法教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）07A-0094-04

作為研究數量關系和空間形式的科學，數學要走入兒童的世界，必須以他們熟知的日常生活為媒介。但是在實際教學中，數學教師常有意無意地將數學與生活割裂開來，兒童在成人編寫的數學世界里結識了數學家，卻在自己的世界里模糊了數學對“我”的意義。大多數不喜歡數學的學生，覺得數學太過“抽象”;有趣的是，喜歡數學的學生又會覺得數學其實很“簡單”。如何理解學生不同的認識？可以從“抽象”一詞的本意入手，“抽象”源于拉丁語“abstracio”，是排除、抽取的意思。現在人們對“抽象”的理解主要分為兩種：一是用來形容那種遠離具體經驗，不太容易理解的對象性質的程度;二是指從具體事物中舍棄非本質屬性而抽取本質屬性的過程和方法[1]。由此我們可以有一個簡單的認識：抽象成為學生數學學習的攔路虎是因為它脫離兒童的具體經驗，而抽象過程將那些非本質的干擾剔除，使得貌似紛雜的問題本質清晰，掌握本質就可以以不變應萬變，從而凸顯簡單。

在除法的教學中，困擾教師的主要有兩個問題：一是如何幫助學生理解豎式計算的意義，二是如何幫助學生解決情境問題。也就是說，一方面教師應該賦予豎式計算過程一定的實際意義，同時教師還需引導學生剝離實際問題中的干擾信息，形成數學問題。兩個問題都涉及抽象和具象之間的轉化，這一過程中，使用簡化模型（以幾何圖形為基礎）幫助學生建立聯系十分重要且有效。

一、借助動態模擬，使抽象變具體

三位數除以一位數是蘇教版（舊版）三年級下冊第一單元的教學內容，學完這課的內容，學生很可能存在這樣的現象，學生完全可以列豎式一步一步計算出得數，可是他們卻不知道豎式背后的意義，不能準確說出計算的算理。在教學536÷4的豎式計算時，怎樣讓學生更好地理解算理？教師可以借助具體的物，也就是學生們熟悉的小方塊展開教學。

【片段1】

師：536是怎么組成的？

生：由5個百、3個十和6個一組成的。

（教師出示圖片）

師：除以4表示什么意思？

生：把536平均分成4份。

師：我們來分一分，先分整百的，把5個百平均分成4份，每份有多少？

生：1個百。（課件演示）

師：分完以后還剩多少？

生：1個百。

師：這個百不夠分可以怎么辦？

生：1個百就是10個十，把1個百變成10個十。

師：和原來的3個十合起來一共是13個十，接著？

生：再把13個十平均分成4份，每份有3個十，還剩1個十。

師：這1個十又不夠分了，怎么辦？

生：1個十就是10個一，在和個位上的6個一合起來，一共是16個一。

動態模擬就是把靜態的數學知識通過演示、操作等手段使之動態化的過程。536÷4這道算式是一道抽象的算式，要讓學生經歷抽象化的過程，就要求“從原始的現實”開始教學，不能把數學教學與“死記硬背、套路、反復操練算法”等行為、內容相連。如何把算理講清楚，就需要教師把豎式計算的過程讓學生親眼所見，建構一個可視化的計算過程。在這個教學環節中，筆者借助于具體形象的“物”，用了學生非常熟悉的小方塊，通過課件一步步展示平均分的過程，使學生理解每一步豎式計算的意義。

但是，實際的教學中我們不能止于此，當學生通過動態模擬表達了思考過程后，為了更好地提升學生思維能力，還要進一步對運算的過程概括總結，讓學生用數學語言把動態模擬的過程再表達出來。“從全神貫注于現實的事物上升到觀念的水平，這才是真正的抽象能力。”[2]數學教學不僅要教學生學會數學思考，還要讓他們學會用數學語言去描述、提煉、概括數學思想方法，去解釋數學現象及數學實際問題。引導學生全面透徹地思考問題、不斷提升思維的寬度和廣度。

二、利用圖像直觀，形成思維導圖

教師在教學中常常有這樣的困惑，該講的都講了，算式也一步一步告訴學生了，為什么學生還是不懂？為什么學生看不懂一張表格表達的意義？這都是我們教學中的缺失。

“我們自身在當今都已處于視覺處于現實主導形式的社會”[3]，學生看文字信息，覺得“太累”，尤其對抽象的文字，唯恐避之不及。文字的教育價值和圖像的教育價值在很多方面不僅可以互補，還可以互相轉化，“文字與圖像的相同之處在于，都是通過視覺影響人，這正是教育的基本途徑：通過視覺的方式傳遞經驗，影響和改變人”[4]。

直觀是相對于抽象概括而言的。利用直觀可以使抽象的數學學習變得容易、有形、有趣。下面這個片段就是教師利用圖像直觀把冗長的文字表達濃縮成一張圖，圖里暗含著思考方法，一張圖可以解決類似的很多問題。

【片段2】

在教學兩步連除解

決實際問題這節課的時候，學生想出了三種解決的方法，為了使學生加深對這種題型的理解，最后課件隱去實物圖，呈現出一個簡化的示意圖（如下圖）

師：回想剛才解題的過程，我們用這個大的長方形表示一共有224本書。

師（指一橫排）：橫著看，一行表示什么意思？

生1：表示一大層有多少本書？

師：我們可以先算出一大層有多少本。那豎著看呢？（師指一豎排）

生2：表示可以先算出一個書架有多少本。

師：除了橫著看，豎著看，還可以怎么看？表示先算什么？

生3：還可以整體看，先算出一共有多少層。

師：有道理。

師：看，我們解決一個問題方法是多樣的，我們可以從不同的角度去解決同一個問題。

在這個片斷中，為了更好地培養數形結合的能力，借助長方形圖示，學生看圖解釋每一步算式的含義，同時溝通三種方法的聯系，學生可以橫著看，先求出兩個書架一層有多少本？也可以豎著看，先求出一個書架有多少本書？還可以從整體上看，先求出兩個書架一共有多少層？這樣就從帶有情境性的題目中抽離出來，直觀地闡釋了題中出現的每一個數量之間的關系。更為重要的是，學生在輕松解決問題的過程中也能體會圖像直觀的價值，逐漸養成借助示意圖來表征數學問題情景的成分和結構的能力，達到對數學問題結構的理解，進而為解題者提供一些未經解釋或只要通過形式轉換就可以被察覺和使用的信息，促進問題的解決。按照建構主義的觀點，“知識不是被看做對外在世界的特征的某種真實的摹寫，而是個體的建構。知識的獲得即學習不是把‘真理的金子’移交給個體，而是由個體自己去建構的。學習者不是被看成知識的被動接受者，而是知識的主動建構者”[5]。教師要通過各種方法幫助學生形成自我建構，把他們頭腦中零碎的、凌亂的數學知識串成一條美麗的珍珠項鏈，這樣學生在遇到不同的數學問題時，就不會抓耳撓腮、左顧右盼，他們一定會循著頭腦里那張思維導圖、那張美麗的網，有理有據、井井有條地去找尋他們想要的答案。

但是，語言是思維的工具，我們還應該從圖像中回到抽象的語境，在圖像和文字之間建立聯系，如果學生只會把文字翻譯成圖像，而不會把圖像變成文字，那就是“偽圖像人”，圖像不能取代細致嚴密的文字表達，所以我們不能只是一味滿足學生對于圖像的興趣，而忽視了嚴密的精確的語言表達。

三、還原生活原型，促進認知建構

數學源于生活，與生活有著密切的聯系。數學教學需要將問題置身于生活情境中，將數學知識還原成生活原型，有助于學生理解問題和把握實質。

【片段3】

在練習中，“想想做做”有這樣一題（如圖所示）：

一般情況下，學生對于“每日3次，每次2片”這樣的詞匯描述不太理解，盡管會依葫蘆畫瓢列出算式，但是無法說清解題思路或者無法用語言解釋清楚對算式的理解。于是，筆者對這道題進行了改編，為了使學生更加直觀地理解題目的意思，呈現了藥片的實物圖，并且把150片藥這樣的大樣本變成了30片藥這樣的小樣本進行了研究，于是，先呈現了下面的內容：

當學生讀懂題目，寫出前兩種解法30÷2=15（次）15÷3=5（天）和2×3=6（片）30÷6=5（天）。

師：還有別的方法嗎？

生：我是用30÷3=10，再用10÷2=5（天）。

師：30÷3=10是什么意思？后面應該寫什么單位名稱？

生：表示一共吃了多少次？（其他學生發出疑惑的表情）哦，不對，應該是每日吃幾片，也不對……

師（微笑著）：沒關系，每日吃三次，我們可以這樣理解，假設這些藥片分成早上、中午、晚上三次吃完，（出示圖一）30÷3=10（片）就可以表示早上一共要吃10片，早上、中午、晚上吃的是一樣多的。這樣我們只要算出早上的藥用幾天吃完就可以了。（出示圖二）

在這個片段中，學生對于純文字敘述“每日吃3次，每次吃2片”不理解，對于第三種解法，也許是習慣性地作出直覺的猜測，學生卻無法解釋具體算式的意義。這時，我們需要把這樣的數學內容還原到兒童的生活中去，要把藥片的實物圖呈現出來，借助直觀圖，借助生活模型，還原數學的本質，讓學生理解題目的意思。荷蘭的數學家、教育家弗賴登塔爾所倡導的現實主義數學教育思想指導下的課程，其基本特征有兩點：第一，它是現實的，即注重情境的作用，從學生熟悉的現實生活開始和結束，作為教育內容的數學和現實生活中的數學始終緊密聯系在一起。第二，它是實現的，即現實數學教育與數學的“再發現”緊密相連，這里的“再發現”就是數學化[6]。人們在認識和理解抽象數學概念的過程中往往要使用視覺形象來表征數學問題，以便更加直觀、清晰地了解知識與現實世界的關系，達到理解和接受抽象的數學內容和方法的目的。因此，數學教學要充分發揮利用幾何直觀還原生活原型的作用，教科書雖然為數學教學提供了數學語言及豐富的圖畫，教師應把教科書中的圖畫轉化為具體實物或圖形，將語言轉化為具體材料，注意引導學生利用直觀把文字敘述的題目變成幾何直觀，不必急于給出解決問題的方法。要相信，小學生能在他們的認知水平上涌現出許多令人贊嘆的觀察。

兒童的數學學習就是要立足當下、親近生活，讓兒童享受幸福的童年，更是要指向未來、發現生活，點燃兒童的精彩人生。我們希冀不斷地從數學、生活、兒童的思辨中提升研究品質，讓兒童的數學學習發生在生活的具象與數學的抽象之間。

參考文獻：

[1]張勝利，孔凡哲.數學抽象在數學教學中的應用[J].教育探索，2012（1）.

[2][美]杜威.我們怎樣思維·經驗與教育[M].北京：人民教育出版社，2005：186.

[3][斯]阿萊斯·艾爾雅維茨.圖像時代[M].長春：吉林人民出版社，2003：5.

[4]葉瀾.教育學原理[M].北京：人民教育出版社，2007：81.

[5]蔣述東，劉洪文.建構主義理論與課堂教學的新理念[J].重慶教育學院學報，2005（2）.

[6]戚邵斌.弗賴登塔爾數學教育思想的哲學基礎[J].武漢教育學院學報，1999（6）.

責任編輯：石萍