高中數形結合數學思想的探索

【摘 要】數形結合的思想是高中數學主要的數學思想之一，也是高考的出題方向。數形結合思想是貫穿高中課程的主線，它的實質是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的圖形結合起來，它包括以形助數和以數輔形兩個方面，并且滲透到各個章節(jié)的每一個角落。

【關鍵詞】數形結合 以數解形 以形助數 思想方法

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）26-0106-03

數學是研究數量關系和空間形式的學科，“數”與“形”及它們的聯系與轉化是數學研究永恒的主題。從“數”“形”兩個方面對數學問題進行分析，既注重“數”的嚴謹性，又充分發(fā)揮“形”的直觀性。“以數解形，以形助數”，也是高考中必考的思想方法，高中數學教材中處處都蘊涵著數形結合的思想。

一 數形結合的思想方法對高中數學教學有著重要的作用

數學思想與數學方法兩者有明顯的區(qū)別與聯系。數學思想是我們對數學知識的本質認識，它在認識活動中被反復運用，是從具體的數學內容以及對數學的認識過程中提煉出來的數學觀點，是學習數學和用數學解決問題的思想。數學思想同時還應包括關于數學概念、理論、方法和對數學形態(tài)的產生與發(fā)展規(guī)律的認識。數學方法是我們進行數學活動和實施數學思想的技術手段，也是數學思想的反映。因此，數學方法是外顯的，數學思想是內隱的。數學思想比數學方法深刻，數學方法在實際運用中往往層次越低操作性就越強。

可見，數學思想和數學方法兩者相關性很強，我們在分析解決數學問題時，重點強調指導思想稱為數學思想，重點強調操作過程稱為數學方法。在高中數學教材中，高中數學知識較為抽象，就必須從更高層次使用和學習數學思想方法。在高中數學教學的過程中，“數形結合”教學模式的有效使用，能夠使很多高中數學問題簡單化和直觀化。

首先，數學中最基本的兩個概念“數和形”，在滿足一定的數學條件下兩者可以進行相互轉化。所以，“數和形”兩者的結合在解決實際數學問題中存在一定的連續(xù)性，在高中數學教學的過程中“數形結合”教學模式的有效使用，能很好地找到解題的思路，從而將復雜的數學問題簡單化。

其次，由于高中學生對“數和形”兩者的結合理解不夠深刻，不僅造成高中學生的數學思維僵化，而且造成了高中學生在解決實際數學問題時，不注重轉換思維方式，只會根據數學題目和問題死板地思考問題。從而導致學生缺乏隨機應變的解決問題的能力，導致學生只會處理一些比較直觀簡單的數學問題，而對那些比較抽象的數學問題，學生往往就無能為力。

最后，由于高中學生的數學基礎知識掌握程度不一樣，這就造成他們的數學思維存在一定的差異性，這樣就導致學生對同一個數學問題的認識和理解不盡相同，從而影響其解題方式，進一步就會導致學生的數學思維陷入僵化的狀態(tài)，嚴重影響學生解決實際數學問題能力的培養(yǎng)。但是，采用數形結合的數學思想方法教學，能夠有效地改變這一現狀。

由上可知，數形結合思想方法的教學模式的運用，

對高中數學教學有著極其重要的推動作用。

二 教師應如何把握高中教材數形結合的數學思想方法及內容

數形結合的思想是高中數學主要的數學思想之一，也是高考的出題方向。數形結合思想是貫穿高中課程的主線，它的實質是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的圖形結合起來，它包括“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，它滲透到各個章節(jié)的每一個角落。直觀的感受讓我們形成了對事物的感性認識，為我們加深理解定義概念和性質打下了基礎，很多探索性的研究都是從圖形開始的，數形結合的數學思想方法是研究數學問題的一個非常重要的思想方法。

高中教材知識一：主要內容為初步認識集合和函數。集合中的數軸和韋恩圖都能形象直觀地表現圖像，幫助理解集合的定義和性質，以及利用圖形完成某些子交并補集的運算；是函數就能畫出函數圖像，由函數的圖像直觀地反應它的各種概念和性質，如可以通過圖像反映函數的三要素，觀察出它的單調性、奇偶性、周期性等很多內容；我們對諸如一次函數、二次函數、指數函數和對數函數、冪函數等的研究都離不開圖形，函數解析式和圖像是兩種函數的表達方式，也正說明了數形結合的數學思想，也體現了它的重要性。

高中教材知識二：主要內容為初步認識立體幾何和解析幾何。我們知道立體幾何是研究空間的幾何體，理所當然離不開圖像；而解析幾何完成了一個“數與形”的完美結合，它是通過坐標法來研究幾何性質的一門學科。我們可以用代數方法來研究直線和圓，它是“數與形”結合的思想方法之集中體現。

高中教材知識三：主要內容為初步認識算法和概率統計。算法章節(jié)中的程序框圖也是一種圖形，這種程序框圖直觀明了，它為我們能順利完成編程提供了依據；概率統計中的圖形，即幾何概型，它更是一個典型的代表，變量的相關性主要研究線性的問題，當然和直線圖形是離不開的，因為形的引入，才使得我們的理解變得更加簡單直觀。

高中教材知識四：主要內容為三角函數與平面向量。我們從三角函數的定義和性質可知，角就是一種圖形；平面向量的概念指既有大小和方向的量，真正體現了“數與形”的兩個特征，向量在三角、函數、解析幾何、立體幾何（空間向量）中有著重要的作用，向量是一種數學工具，是溝通數與形的橋梁，正是它將幾何和代數結合起來。

高中教材知識五：主要內容為解三角形、數列和不等式。其中解三角形就是將三角函數和三角形結合起來，借助圖形，使兩者完美統一；數列是一種特殊的函數，我們完全可以通過圖形來進一步研究它的性質，如等差數列通項公式的一次函數直線特征、求和公式的二次函數拋物線特征、等比數列的指數函數特征等；不等式中，可以通過圖形來加深理解均值不等式等內容，在線性規(guī)劃中，圖形的重要性更是不言而喻。

以上僅僅就五個必修模塊做了分析，在選修系列各個模塊中都有涉及到數形結合數學思想，足以證明它的重要性，教師要把握好高中數學教材中“數形結合”內容，同時要引導學生要借助圖形的生動性和直觀性來分析題目；還要借助數的精確性和規(guī)范嚴密性來找到解題思路。

“數形結合”的思想方法是高中數學課程的一條主線，它貫穿于整個高中數學的知識體系。教師要在教學中，向學生滲透一些基本的數學思想方法，提高學生的數學思維水平，來培養(yǎng)學生分析數學問題和解決數學問題的能力。這對數學知識的掌握是非常重要的，但真正對學生以后的學習、生活和工作起著重要作用的，并使學生終身受益的是數形結合的數學思想方法。

三 在教學中滲透數形結合的數學思想方法應遵循的原則

第一，滲透性原則：教師在教學過程中，要密切結合教材，不斷地、一點一滴地再現有關數形結合數學思想方法，逐步地加深學生對數學思想方法的認識。因為數學思想方法是融合在數學知識、方法之中的，所以采用滲透方式要不失時機地抓住機會。

第二，漸進性原則：教師在教學過程中，要結合兩個實際，即教材實際和學生實際，不同的教材內容有不同的要求，不同的學生也有不同的要求，要講究層次，不能超越，要反復多次，一小步一小步地漸進。

第三，發(fā)展性原則：教師在教學過程中，要讓學生通過一個階段的學習，在原有的基礎上有所提高，要求學生從“學會”變成“會學”，同時在思維能力方面要有所發(fā)展。

第四，學生參與原則：教師在教學過程中，必須要求學生在教學過程中充分發(fā)揮他們的主體作用，遵循認識規(guī)律，運用他們自己的器官（五官、手、腦），通過他們自己的學習活動，去探索數形結合數學思想方法的真諦。

數學思想方法是教師在啟發(fā)學生思維的過程中慢慢積累和形成的。所以，教師在教學過程中，要強調學生解決問題以后的“反思”，因為在這個過程中總結提煉出來的數學思想方法，對學生來說才是容易體會、容易接受的。同時，教師在教學過程中，要注意滲透的長期性，數學思想方法的滲透不是一朝一夕就能見效的，而是要有一個循序漸進和反復訓練的過程，只有經過這樣的一個過程，才能使學生真正地有所領悟。正如華羅庚先生說的：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。

四 數形結合例題剖析

“數”與“形”及它們的聯系與轉化是數學研究永恒的主題。從“數”“形”兩個方面對數學問題進行分析，既注重“數”的嚴謹性，又充分發(fā)揮“形”的直觀性。“數”就是方程、函數、不等式及表達式，代數中的一切內容；“形”就是圖形、圖像、曲線等。數形結合就是抓住數與形之間本質上的聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形。高中數學教材中處處都蘊涵著數形結合的思想，下面舉例說明：

數形結合例題一：

如果奇函數f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數且最小值是5，那么f（x）的[-7，-3]上是____。

A.增函數且最小值為-5 B.增函數且最大值為-5

C.減函數且最小值為-5 D.減函數且最大值為-5

“數形結合”例題二：

如果角θ是第二象限的角，且滿足cosθ -sin θ= ，那么角θ 是_____。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角

可見，數形結合的數學思想方法，包含以形助數和以數輔形兩個方面。即借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，比如：函數的性質借助函數的圖像來直觀地說明；或者是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的屬性，比如：曲線的幾何性質用曲線的方程來精確地闡明。因此，應用數形結合來解題時要注意兩點：（1）注意數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題應是等價的；（2）注意利用“數”的精確性和“形”的全面性，才能得出正確的結論。

五 數形結合的方法是提高高中數學課堂教學效率的重要法寶

第一，數形結合的教學方式，有利于引導學生對初中和高中的數學知識進行銜接和過渡。教師在高中數學教學的過程中，要針對學生的實際數學知識水平來制訂課堂教學方法，而數形結合的教學方式正好符合這一要求。

第二，數形結合的教學方式，有利于培養(yǎng)學生形象思維和學習數學的興趣。由于高中數學的符號化、形式化和抽象性之特點，這給學生學習數學帶來了很大的困難，導致學生對數學的學習不感興趣。教師在對高中數學教學的過程中，要有效合理地應用數形結合的教學方法，以提高學生對高中數學的學習興趣。通過數形結合的方式使得高中數學中很多問題變得更加簡單和形象，使得學生容易理解和掌握，同時又能激發(fā)學生學習高中數學的興趣。

第三，數形結合的教學方式，有利于提高學生分析數學問題和解決數學問題的能力。教師在對高中數學教學的過程中，使用“數形結合”的教學方式，有助于學生分析數學問題和解決數學問題能力的提高。主要體現在能夠在很大程度上幫助學生發(fā)現和分析數學問題，進而幫助學生解決數學問題，從而幫助學生更好地把握數學問題的本質。但是，學生要真正掌握數形結合思想的精髓，不是一朝一夕就能做到的，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，同時要有一個循序漸進和反復訓練的過程。只有這樣，學生運用數形結合才能不斷深化提高。

總之，“數形結合”的思想方法是高中數學課程的一條主線，它貫穿于整個高中數學的知識體系。教師在高中數學教學的過程中，要向學生滲透數形結合的思想方法，同時還要提高學生對數形結合的認識，來培養(yǎng)學生分析數學問題和解決數學問題的能力。

參考文獻

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〔責任編輯：龐遠燕〕