用增補變量法求二維連續隨機變量函數的計算技巧

【摘 要】二維連續隨機變量函數的密度函數的計算是概率論教學中的一個重點，更是一個難點，其中增補變量法是一個簡潔明了易掌握的方法，但學生不能準確確定聯合密度函數的積分區域，本文針對這個問題給出了確定積分區域的方法。

【關鍵詞】連續隨機變量 密度函數 增補變量法

【中圖分類號】O211.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）10-0014-02

一 引言

求二維隨機變量函數的密度函數是概率論中的一個重要內容，由于變量分布的差異性，如何求又是一個難題，一般沒有統一的公式可循。一般教材中介紹了常用的方法，即先求分布函數，然后對分布函數求導就得密度函數，但計算比較麻煩，學生掌握困難很大。變量變換法和增補變量法相對于常用方法而言，計算過程更加簡捷。其中變量變換法許多學者都有研究，而增補變量法甚少提及，總結多年教學經驗發現，學生難以掌握這部分內容的精髓，運用起來容易犯錯，特別表現在確定被積函數的積分區域上，本文針對這個問題理清了一個簡單通用的確定方法。

二 增補變量法

增補變量法實質上是變量變換法的一種應用：為了求出二維連續隨機變量（X，Y）的函數Z=g（X，Y）的密度函數，增補一個新的隨機變量V=h（X，Y）。先用變量變換法求出（Z，V）的聯合密度函數pZV（z，v），再對pZV（z，v）關于v積分，從而得到關于Z的邊際密度函數pZ（z）。

問題：（1）如何增補新隨機變量？（2）如何確定p（z，v）中v的積分區域？

由例題可以看出，只要掌握了增補變量和確定積分區域的技巧，增補變量法是一個極易掌握而且便于計算的方法。

增補變量法將比較難求的多維連續隨機變量函數的密度函數，轉化為求變換后的兩個變量的聯合密度函數，然后利用聯合密度函數與邊際密度函數之間的關系，積分求出要求的變量的密度函數。相對于常用方法，可簡化運算。

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〔責任編輯：龐遠燕〕