Duffing系統的電路設計與實現

摘 要：Duffing系統是非線性系統中常用的混沌模型之一，它具有非常豐富的動力學行為，也是眾多科學家熱衷探究Duffing方程的原因。本論文通過介紹Duffing系統的背景，利用Matlab軟件中Simulink模塊搭建方程進行仿真，并且利用Mutisim軟件進行電路設計與模擬，得到了理想的結果。

關鍵詞：Duffing系統;Matlab仿真;模擬電路仿真

引言

20世紀初，德國科學家Duffing在他的論文中描述了一個受到強迫振動的非線性系統引起的物理現象。這個系統的一般形式表示為：

（1）

式中，為外加強迫振動的振幅，為振動的頻率，為阻尼因子;對非線性硬性彈簧系統來說，、均為正;而非線性軟性彈簧系統，為正，為負。方程（1）中具有非常豐富的動力學行為，至今尚未被人們完全認識。

一、杜芬方程的背景介紹

1979年，Holmes將方程進一步修改，描述了在兩個永久磁鐵中的非均勻場中的支架梁的強迫振動，即Duffing-Holmes方程：

（2）

式中，阻尼因子、驅動力的頻率和幅值是可變參數。此方程可看成一個質點在雙勢阱中非線性振動行為的簡單數學模型。當系統的結構參數一定時，隨著驅動力幅值的增加其運動狀態經歷同宿軌道、分岔、混沌和大周期運動等各個狀態，成為研究混沌的常用模型之一[1，2]。

二、 Duffing系統的Matlab模型的建立

方程（2）中，除外加周期力振幅 是可變參數外，其余參數都取定值，=0.3，=-1，=1，=1.2，得到下面的方程：

（3）

根據式（3）提供的杜芬振子的理論數學模型，利用Matlab軟件中的Simulink模塊進行計算機仿真[3]，以模塊化設計思想為核心指導，對運算單元進行布局，設計模塊化的非線性動力學方程。杜芬方程的Simlink模型如圖1所示，仿真相圖結果如圖2所示。

改變 的取值，觀察隨著時間變化的曲線可知，當 lt;0.3時，方程的解是周期振蕩的，并且隨著 的增大，解的周期也成倍增加;當 =0.2時，振蕩周期;當 =0.28時，;當 =0.2867時，;由此可以大膽的猜想，如果 繼續增大， 應為，此時周期運動變為無窮大振蕩，也就是說不在是周期運動了，并且開始出現混沌現象。當 =0.32時，系統由倍周期分岔進入混沌狀態。

圖3可以觀察到，系統運動的曲線都是閉合的。在周期振蕩圖（圖3 （a）～（b））過程中，振蕩周期為，對應的相圖中就有n條走向相近的軌跡。圖3 （c）為混沌現象，它的運動軌跡看似雜亂無章。

上述過程，可以解釋為：受迫振蕩可以看成杜芬線性振子和外加周期力兩個運動系統的疊加。當 很小，線性振子系統與外加周期力的作用都很弱，系統就會處于周期振蕩狀態。當 增大，外加周期力將處于主導地位，系統將會處于混沌狀態。

三、 Duffing系統的電路模擬

根據杜芬系統的Simulink仿真框圖1，建立對應Multisim電路仿真模型[4]，確定所需要的元器件及其參數，可以得到理想的仿真效果。當=1.2， =0.32，杜芬系統的模擬仿真電路圖如圖4所示，仿真相圖如圖5所示：

圖5的仿真結果與圖2中杜芬系統的Simlink仿真相圖進行對比，輸出的相圖一致，表明該模擬電路符合要求。

參考文獻：

[1] Holmes P J，Rand D A. The difurcations of Duffings’ equatinn： an application of catastrophe theory [J].J Sound and Vibration，1976，44（2）：237-253.

[2]黃永念.非線性動力學引論[M].北京：北京大學出版社，2010.

[3] 楊素行.模擬電子技術基礎簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[4]賈紅艷.混沌與超混沌系統模型分析及模擬電路研究[D].天津：南開大學信息技術科學學院，2010.

作者簡介：王玉璞（1985-），女，河北石家莊人，碩士研究生，現就職于遼寧鐵道職業技術學院，專業教師。