高等數學課程中關于極值與最值的一個命題

摘 要：研究了高等數學課程中關于極值與最值的一個命題，通過舉例說明了在教學中對該命題的修改需要非常細心，并討論了該命題的修改方法。還通過舉例說明了不可將該命題簡單地推廣到多元函數的情況。

關鍵詞：高等數學；極值；最值；命題

高等數學是高等院校工科類各專業學生必修的一門重要基礎課，它是學習后續專業基礎課和專業課的重要工具。學習高等數學對于學生的思維能力、思維方法以及創新能力的培養都是非常重要的。函數的極值與最值是高等數學課程中與實際應用問題結合很密切的一部分內容。很多生產、生活中的實際問題都能通過建立數學模型轉化為求函數的最大值（或最小值）的問題，而求函數的最大值（或最小值）一般又需要會求函數的極大值（或極小值）。因此，學好極值與最值的求解方法對于學生今后的工作和生活都有重要意義。

目前大部分高校使用的高等數學教材是同濟大學數學系編寫的《高等數學》（第六版，以下簡稱為“教材”）。教材第三章第五節的內容是“函數的極值與最大值最小值”，在該節中有這樣一段話（見教材上冊第160頁）：

“f（x）在一個區間（有限或無限，開或閉）內可導且只有一個駐點x0，并且這個駐點x0是函數的極值點，那么，當f（x0）是極大值時，f（x0）就是f（x）在該區間上的最大值；當f（x0）是極小值時，f（x0）就是f（x）在該區間上的最小值。”

我們不妨將上一段的內容叫做命題A。如果將命題A當作一個定理來用，對于解決許多實際問題是比較方便的。本文將通過舉例來說明：對命題A進行推廣或修改都需要慎重。

一、命題的修改

如果將命題A稍做改變，可形成下面的命題B：“若連續函數f（x）在區間I內只有一個極值點x0，且f（x0）為極大（小）值，則f（x0）就是f（x）在區間I上的最大（小）值。”

曾有一個與高等數學教材配套的多媒體課件使用了命題B，但沒有對該命題進行證明。命題B比命題A敘述簡潔，且對函數f（x）的基本假設條件有所減弱[只要求f（x0）連續]，所以使用起來自然會更加方便。但命題B是不是成立呢？為了判斷命題B是否正確，請大家研究下面的例子：

例1.將區間I取為[-1，4]，當-1≤x≤1時，令f（x）=x2；當1

注意在區間[1，2]上并沒有函數f（x）的極值點，所以x=0是f（x）在區間I中唯一的極值點。但f（0）并不是函數f（x）在區間I上的最小值，f（x）的最小值顯然應該是f（4）=-1。

從上述例子可見：雖然將命題A修改為命題B是一個好的想法，但實際上命題B是有問題的。所以我們修改一個定理或命題一定要非常細心。

接下來自然會產生一個問題：如何將命題B修改為正確的命題？答案顯然不是唯一的。比如說，我們可以將命題B修改成如下的命題C：

“若連續函數f（x）在區間I內只有一個導數等于零或不可導的點x0，且f（x0）為極大（小）值，則f（x0）就是f（x）在區間I上的最大（小）值。”

用反證法不難證明命題C成立。其實我們也可以通過修改極大值和極小值的定義來使命題B變成正確的命題，具體做法是采用非嚴格不等號來給出極值的定義，即：“設函數f（x）在點x0的某領域U（x0）內有定義，如果對于U（x0）內的任一x，有f（x）≤f（x0）[或f（x）≥f（x0）]，那么就稱f（x0）是函數f（x）的一個極大值（或極小值）。”

在上述極值定義之下，用反證法容易證明命題B是成立的。大家也可以考慮對命題A是否還有更好的修改方法。

二、命題的推廣

下面我們再從另一個角度來考慮問題：能否將命題A推廣到多元函數的情況呢？以最簡單的二元函數為例，將命題A自然推廣后可得下面的命題D：

“設f（x，y）在一個開區域或閉區域（有界或無界）上具有一階偏導數，且只有一個駐點f（x0，y0），并且這個駐點是函數f（x，y）的極值點，則當f（x0，y0）是極大值時，f（x0，y0）就是f（x，y）在該區域上的最大值；當f（x0，y0）是極小值時，f（x0，y0）就是f（x，y）在該區域上的最小值。”

為了判斷命題D是否正確，我們來考慮下面的例子：

例2.令f（x，y）=（1+y2）（20-x2+3x2），將區域D取為：

這個例子表明命題D是不成立的。所以我們不能簡單地將命題A推廣到多元函數的情況。如何才能將命題A巧妙地推廣到多元函數的情況，使推廣后的命題具有應用價值，是一個值得深入思考的問題。

參考文獻：

同濟大學數學系.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

基金項目：國家自然科學基金項目（61179034）。

作者簡介：劉勝，男，1960年出生，北京林業大學理學院副教授，博士。

編輯 韓 曉