提高數學能力學生需具備的幾種意識

數學的教學活動不在于為學生提供了、設計了或是解決了多少數學問題，而在于是否激發了學生的學習興趣、提高了學習能力，增強了創新意識。高中學生的數學能力是以扎實的基礎知識和基本技能為基礎的，教材中所規定的基本知識和基本技能，是繼續學習和發展的重要基礎和必備知識，因此，教師必須首先培養學生掌握扎實的數學基礎知識和基本技能，因為知識量越大，則聯想、類比、想象的空間就越廣，從而產生新思想、新方法的機會就越多。要提高學生數學能力，必須先培養學生形成以下幾種意識。

一、善于提問的意識

愛因斯坦曾經指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”美國著名數學家波利亞認為：“對自己提出問題是解決問題的開始。”因為從思維的形式看，提出一個問題是開放的思維形式，相比較而言，解決一個問題是收斂的思維形式。從數學學習來看，提出一個問題屬于數學研究的思維領域，而解決一個問題屬于數學解題的方法范疇。因此提出一個數學問題，特別是能夠提出一個內涵深刻、價值較高的數學問題，往往比解決一個數學問題難得多。

而現在的學生學習比較被動，滿足于上課聽講下課做題，缺少主動探究的動力，缺乏一種發現問題并有愿望解決它的意識。因此，在教學中，教師應注重鼓勵和引導學生提問題、特別是提有價值的問題。當然，一開始肯定是教師提問并做好示范指導，不斷要求學生也嘗試提問，在教師的不斷“逼迫”下，學生由開始時的被動的提問，慢慢變為積極主動的提問。學生在不斷經歷提問的過程中，問題意識會明顯增強，提問水平也會不斷提高，逐步變學生“不問”到“敢問、善問”，直到后來能提出有創造性的問題。不僅僅是在課上課后向教師提問解題的思維過程，可能的方法，需要注意的方面等，還應當讓學生學著向自己提問，引導學生從實際問題中抽象出數學問題，從問題中再發現問題，多考慮問題的逆命題，命題條件的加強與放寬，命題結論的加強與放寬，命題的泛化與特殊化等，讓學生在善于提問中提高自身的數學能力。

二、解題求簡的意識

“繁”與“簡”是在解題教學中經常發生沖突的一對矛盾。絕大部分題目的解答都不只一種方法，而不同的解法，會產生完全不同的效果，有人“山窮水復疑無路”，卻也有人“柳暗花明”到了“又一村”，不但解題方法精簡巧妙，對思維也有很大啟發。我們倡導學生廣開思路，再將各種不同的思路進行對比分析，擇優選擇，這樣有利于開闊視野，升華認知。數學上雖有很多題可用多種方法來解決，但我們最好還是能選擇最簡便的方法，因為簡便方法不僅簡潔明了，容易接受，省去繁瑣的過程，減少錯誤發生的可能，更可節省時間。可在具體解題時并不是所有學生都能很快想到最簡最佳的方法，即使有些簡單的題很多學生都能想到，仍然會有個別學生可能繞遠路了，也即簡題繁解。學生經常會出現因方法不當而造成解題煩瑣。究其原因，主要是缺乏與解題信息相關的眾多數學能力和意識。因此，如何減少這種煩瑣的解題過程，培養學生的求簡意識，是數學解題教學中一個十分重要的問題。

要培養學生的求簡意識，可以從以下幾個方面入手：①對概念的理解要深刻：求簡意識經常是建立在對概念深刻理解的基礎上的，只有深刻理解數學概念的本質，才能靈活運用它來簡化解題過程。②對思維的運用要靈活：有些數學問題正面求解比較困難，即使絞盡腦汁也難以奏效，這時教師若能引導學生使用逆向思維，反其道而求之，則往往可使問題迎刃而解。③對實質的把握要整體：有些數學問題，從表面上看需要局部求出各有關量，但實質上若從整體上去把握，處理這些量之間的關系，則思路更簡潔，解法更巧妙。④對問題的轉化要等價：用運動、變化、聯系、發展的觀點來看待問題，把問題轉化成我們熟悉的或者容易解決的新問題，以達到化繁為簡、化難為易的目的。⑤對數式的研究要借形：數形結合雖不能保證數學問題總能得到解決，但它在大多數情況下能夠使數學問題得到較好的解決，尤其是在復雜情況中能起到良好的直觀作用，給解題帶來意料不到的簡便。

學生如果養成了求簡意識，就能自覺地去分析題目中的條件和特征，捕捉題目中的重要信息，多角度、多層次地去探索解題思路，簡化解題過程。

三、融會貫通的意識

近年來的數學高考的一個顯著的特點就是在“知識的交匯處命題”，當然，“交匯”不僅僅指的是知識與技能，而且也應包括思維品質、意志品質等多種因素的交匯。試卷中許多試題十分注重能力的考查，既注意了章內知識的縱向發展，又注意了不同章節知識之間的綜合交匯，以考查綜合處理問題的能力，突出對重點內容、核心考點的考查，如：導數與函數、數列、不等式、三角、立幾、解幾等主干知識每年都是多次考查。對這些主干知識應該加大復習力度，在訓練的同時，要進行數學知識的歸納和解題方法的總結。除此之外，把握縱橫聯系，構建知識網絡，比如關注三角與向量、解析幾何與向量、數列與解析幾何、數列與不等式、概率與方程、函數導數與不等式、函數與數列、立體幾何與方程等各個知識點的融合。知識技能只有構建成網絡系統，并時刻處于待命狀態，才能發揮出它的整體功能，在解決問題時才能以整個系統為后盾，進行自然、自動、迅速、有效的檢索，提取相關的知識和技能，從而更好地解題。

課本中的某些例題、習題，并不是孤立的，而是前后聯系、密切相關的，有時其他學科的知識也和數學有著千絲萬縷的聯系，我們要學會去發現、研究和展示這些知識的內在聯系，這樣做不僅有助于自己深刻理解課本知識，有利于強化知識重點，更重要的是能有效地促進自己數學知識網絡和方法體系的構建，使知識和能力產生良性遷移，達到觸類旁通的效果。因此應該切實領會教材中的基本解題思想和方法，注重通性通法。應立足課本，激活已學過的各個知識點;經常回歸教材，回顧基本概念、性質、公式、定理等;要有計劃地對基礎知識進行必要的分類整合;要重視并著重加強通性通法的訓練和運用，要把知識點與方法對號入座，不要盲目追求解題技巧。

高考數學題的命題不僅僅是以知識為中心，更是以問題為中心設計的。題目的設計思想常常定位在知識與知識之間的聯系，代數、幾何、三角的相互滲透，以及各類知識與技能的綜合應用上。這就要求我們在教學中應該強調知識的系統性和完整性，并且學會歸納總結知識點和常用的基本方法，了解數學各部分知識之間的聯系與轉化。一份綜合試卷中知識點多，注重綜合交叉，重視內在融合。因此我們在平時練習時應有選擇的、有意識的、有機的將各個知識點組合起來，讓學生能夠從一種多元的視角，融會貫通，發展綜合能力。

因此，通過探究課本典型例題、習題的內在聯系，讓我們在深刻理解課本知識的同時，更有效地形成知識網絡與方法體系。構建網絡系統，是貫穿于整個教學和學習始終的一項系統工程，不可能一蹴而就，其中的重點內容更需要在不斷地應用、歸納、整合、反思中反復強化。

四、優化思維的意識

數學是訓練學生思維的體操，數學思維是以數和形為思維對象，以數學語言為載體，以認識和發展數學規律為目的的一種思維活動，是由形象思維、演繹思維、類比思維、直覺思維和函數思維等思維成分構成的一個綜合體。高中數學學習相對于初中來說有著質的飛躍。而數學知識體系的綜合性特點要求學生必須具備一定的基礎知識和基本技能，其思維品質要有一定的廣度和深度。高中數學教學的關鍵就是讓學生在解決具體數學問題時學會思考，會由未知向已知、復雜向簡單轉化，從而快速準確地解題。

我們經常會碰到這樣的問題：課上講題時學生理解得很“明白”，可到考試時學生自己解題就往往會處出現思維短路，教師分析完畢，學生又“恍然大悟”。學生存在的問題不是解答結果本身太難以致學生無法理解，而是學生無法找到通向結果的思路。思路不暢說明思維不完善。思維方法一直是高考考查的重點，有時即使是填空題，也需要考生以簡縮思維，直覺猜想，歸納驗證等思維方法才能解決。而學生在思維方面還不夠完善，知識點之間縱向橫向的聯系，能力的交叉融合較為欠缺，不善于將復雜問題轉化為簡單問題，不習慣從陌生問題中分離出熟悉的問題。

教師在教學中要十分重視思維的訓練，數學思維力求近似到一種非條件反射，比如吃飯自然就要拿筷子和碗，而不需刻意去記著吃飯就要有筷子有碗。解題方法和規律的概括凝結著數學思想方法，也對學生思維提出較高的要求，具體應該有。

（一）謹防陷阱漏洞，訓練思維的嚴密性

考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤，周到細致的考慮問題的各種可能情況，謹防各種漏洞。不漏條件，不看錯題，充分利用題設，注意條件和結論的變形和引申，使條件與結論產生必然的聯系。

（二）鼓勵大膽質疑，訓練思維的批判性

在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信、不唯上、不唯書、不迷信權威，敢于向人們司空見慣或認為完滿無缺的事物提出懷疑。在解決問題時能打破“自我框框”，想出新穎獨特解法，能及時反思，不斷地驗證所擬定的假設，能評價解題思路的正誤與優劣。

（三）倡導一題多解，訓練思維的廣闊性

通過一題多解訓練，可使學生認真觀察、多方聯想、恰當轉化，在一定程度上開闊學生的解題思路，克服思維單一、狹窄，提高數學思維的廣闊性。

（四）加強變式訓練，訓練思維的變通性

為了使學生的原有認知結構得到延伸和擴展，在教學中教師還要圍繞難點、重點或疑點，從不同角度，善于引導學生運用一題多變，把一些題的已知條件和結論作適當的改變，加以引申、推廣，得出新的題目，使學生不但學會了一道題的解法，而且學會了一組題、一類題的解法，這樣有利于學生對基礎知識的縱橫聯系和溝通，鞏固所學知識，在數學教學中恰當地適時地運用一題多問、一題多變、多角度、多方向的思考，使學生能舉一反三，能以不變應萬變，更容易誘發和培養學生的創新思維的能力。

（五）突破常規解法，訓練思維的獨創性

運用非常規解法，如直覺猜想、數形結合、特殊值等方法，可以將結果較快地猜想或推算出來，然后再進行驗證。

（六）運用矛盾沖突，訓練思維的辯證性

“對”與“錯”是數學教學中最常見的一對矛盾沖突，教師可將學生的錯誤當作一種教學資源，抓住契機，巧妙地利用“對”與“錯”的矛盾沖突，進行深入的討論、爭論、辨析、尋根、糾正，對辨誤糾錯的教學活動也可以成為優化學生思維品質的良機。

五、回顧學習的意識

美國數學家波利亞說過：“掌握數學就是意味著善于解題。”他把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧四個步驟，在這四個步驟中，回顧這一重要環節常被忽視。學生不善于回顧反思，缺乏解題后對解題方法、數學思維的概括，致使掌握知識的系統性較弱、結構性較差，解題能力得不到提高。為了提高學生的數學學習效率，必須培養學生的回顧反思意識，使他們有時間、有機會對自己的解題過程進行重新審視。主要可以從以下幾個方面來回顧：1.回顧解題思路：此題已知哪些條件，求解什么，條件與求解的關系如何，考查的是哪些知識點，有效突破口是什么，思路有沒有問題等。2.回顧解題過程：解題過程中遇到了什么問題，為何求解這么艱難，有沒有隱含的條件忽略了等。3.回顧解題方法：此類題的常規方法和特殊方法一般有哪些，選取的方法對嗎，有沒有其他方法，是不是最佳最簡方法等。4.回顧出錯原因：對知識理解是否有偏差，或由于思維受阻無法繼續，或用了繁瑣的方法以致走進死胡同，或沒有找到可以等價替換的式子以致走了彎路，或中間分情況討論時漏掉某一環節，或是重復計算等。

解題的目的并不單純為了求得問題的結果，而是通過解題能培養學生獨立思考的精神，提高學生分析問題解決問題的能力，并能夠從相關的題中注意歸納總結，找出規律，舉一反三。而這恰恰主要通過回顧解題的教學來實現。因此在數學教學中要十分重視解題的回顧，教師應經常與學生一起對解題的過程和方法進行細致分析，對解題的主要思想、關鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，以使學生真正提升自己。

學生的邏輯能力、思辨能力、歸納能力等不是一下就能提高的，需要教師不斷地引導鍛煉，除了上面所提及的幾種意識，還有其他方面，限于篇幅，不一一贅述。總之，教師應該結合學生自身特點，引導學生尋找最佳學習方法，學生才能更好地學好數學。

參考文獻：

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[4]潘文娟.數學解題與學生反思意識的培養[J].數學教學通訊：教師版，2012.

（責編 田彩霞）