例題的重現(xiàn)與延伸

隨著高考改革的不斷深入，新課程開(kāi)發(fā)的力度也越來(lái)越強(qiáng)，各省對(duì)高考命題的研究也越來(lái)越深刻。尤其是獨(dú)立命題的省市，為了凸顯對(duì)新課程改革的成就，在高考命題上推陳出新，別出心裁；題目從立意到表現(xiàn)形式往往也讓人耳目一新，慢慢品來(lái)，別有一番風(fēng)味。在皖北協(xié)作區(qū)的高三聯(lián)考中，有一道選擇題讓筆者回味了很久，在此筆者談?wù)剬?duì)該題一些淺薄認(rèn)識(shí)，當(dāng)是自己對(duì)教學(xué)改革的一點(diǎn)反思吧。

例題重現(xiàn)

已知：函數(shù)f（x）=sinx+cosx則下列命題正確的是 。

①f（x）的最大值為2；

②f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱；

③f（x）的圖像與h（x）=2sin（x-）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；

④如果實(shí)數(shù)m使得方程f（x）=m在區(qū)間[0，2π]上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=；

⑤設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+2x，若g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，則θ=-。

該題①②命題主要考查的是三角函數(shù)的基本性質(zhì)，第③命題考查了兩個(gè)函數(shù)間的對(duì)稱關(guān)系，第④命題考查了函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法不難得出正確結(jié)論。第⑤命題的設(shè)計(jì)讓筆者眼前一亮，題目本身考查的是函數(shù)與方程間的關(guān)系，作為選擇題來(lái)說(shuō)，感覺(jué)似乎難度不大。但作為出題者的意圖，這題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法應(yīng)該值得進(jìn)一步探討與研究，這也應(yīng)該是在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)思維的很好典例。

雖然這道題不少學(xué)生選對(duì)了，但在問(wèn)到為什么第⑤命題正確時(shí)，很少有學(xué)生能給出令人滿意的答案，絕大多數(shù)都是直接把結(jié)論代入命題條件，發(fā)現(xiàn)條件成立，進(jìn)而認(rèn)為命題正確。讓其仔細(xì)想想，感覺(jué)這種方法好像又不太對(duì)頭，抓不住到底問(wèn)題出在哪里。于是，筆者給學(xué)生出了這樣兩個(gè)思考題：

⑴設(shè)f（x）=x2，若f（x）=1，則x=1；

⑵設(shè)g（x）=x3，若g（x）=1，則x=1。

問(wèn)：這兩個(gè)命題正確與否，為什么？?jī)蓚€(gè)函數(shù)的差異在哪？

經(jīng)過(guò)一番討論，學(xué)生給出正確的回答。第一個(gè)命題錯(cuò)誤，第二個(gè)命題正確。第一個(gè)命題錯(cuò)誤在于當(dāng)f（x）=1時(shí)，x也可以取-1。兩個(gè)函數(shù)區(qū)別：一個(gè)是非單調(diào)函數(shù)，一個(gè)是單調(diào)函數(shù)，對(duì)應(yīng)方程的解可以看成是函數(shù)圖像與直線y=1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；非單調(diào)函數(shù)f（x）=x2與直線y=1的交點(diǎn)有兩個(gè)，所以x=1不正確，而單調(diào)函數(shù)g（x）=x3與直線y=1的交點(diǎn)有且只有一個(gè)，所以x=1正確。學(xué)生的回答已接近筆者想要的結(jié)果，再回過(guò)來(lái)看原來(lái)的第⑤命題的判斷，已有學(xué)生能夠給出較為圓滿的答案：

因?yàn)間’（x）=2cos（x+）+2>=0，所以g（x）在R上單調(diào)遞增

設(shè)h（θ）=g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1），不難得到h（θ）在R上單調(diào)遞增

所以h（θ）圖像與直線y=-2π有且只有一個(gè)交點(diǎn)

又θ=-時(shí)，h（θ）=-2π成立

所以θ=-是方程h（θ）=-2π的唯一解

即：若g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，則θ=-。

例題延伸

回過(guò)頭來(lái)審視該題，出題者把函數(shù)的零點(diǎn)，方程的解與函數(shù)的單調(diào)性巧妙地結(jié)合在一起。若學(xué)生只知道機(jī)械地套用公式、性質(zhì)，盲目地推導(dǎo)計(jì)算求解，會(huì)把該題方向引入歧途，而無(wú)法得到一個(gè)正確的結(jié)果，因?yàn)楦咧须A段，這種超越方程是無(wú)法通過(guò)直接求解得到結(jié)果的。該題不僅考查了學(xué)生對(duì)教材基礎(chǔ)知識(shí)的理解掌握，更是對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的一次檢驗(yàn)。這讓筆者不由想起2013年安徽卷理科高考試題第10題：

若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且f（x1）=x1，則關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

解答如下：

f’（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，

由3（f（x））2+2af（x）+b=0，則有兩個(gè)f（x）使得等式成立，x1=f（x1），不妨設(shè)x2>x1=f（x1），其函數(shù)圖象如圖。圖中有3個(gè)交點(diǎn)，故選A。

該題在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的同時(shí)，又突出了對(duì)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查，需要一定的解題技巧。從該題中不難看出，高考數(shù)學(xué)考什么、如何考、怎樣才能更好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能，是命題者首要關(guān)注的問(wèn)題，這也必將對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)起著積極的導(dǎo)向作用和指導(dǎo)意義。

結(jié)束語(yǔ)

如今的高考命題越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力、綜合素質(zhì)的考查，注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，題型綜合性、開(kāi)放性增強(qiáng)，教師在授課的同時(shí)，更要關(guān)注高考改革的動(dòng)向，把握好新課程下命題的趨勢(shì)，課堂上不僅要傳授學(xué)生掌握知識(shí)的方法和技巧，更要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。也只有這樣，才能讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，能增強(qiáng)自身的學(xué)習(xí)能力，真正成為一個(gè)有思想、有素養(yǎng)、有競(jìng)爭(zhēng)力的高素質(zhì)人才。

（作者單位：安徽省阜陽(yáng)市第三中學(xué)）