遞推數列求解通項公式的探究

數列在高考中占有非常重要的地位，它可以與函數、方程、不等式、解析幾何等知識相綜合，是函數思想的延續和拓展，高考對該部分的考查其中一方面是考查求遞推數列中的項，僅要求能由遞推關系寫出前幾項，難度不大，但在高考實際命題時常要求能構造相應的等差或等比數列求解通項。

遞推數列：數列的若干連續項之間的關系叫遞推關系，表達遞推關系式叫遞推公式;由遞推關系和初始條件給出的數列叫遞推數列。由兩個連續項之間的關系式：an+1=f（an）及一個初始條件a1確定的數列叫作一階遞推數列，由三個連續項之間的關系式an+2=f（an+1，an）及兩個初始條件a1，a2確定的數列叫二階遞推數列。以下是幾種形式的遞推數列求通項公式方法的探究。

一、等差、等比數列的公式（a，b是常數）

1.等差數列可表示為

2.等比數列可表示為

二、形如 an+1=an+f（n）（{f（n）}可求和）時， 常采用累加法求解

累加：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

例：已知數列{an}滿足an+1=an+3n+2，且a1=2，求an。

解：∵an+1-an=3n+2，

∴an-an-1=3n-1（n≥2），

∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+ a1= （n≥2）.

當n=1時，a1=2也符合上式，

∴an=n2+.

三、形如=f（n）（{f（n）}可求積）時， 常采用累積法求解

累積：an=a1··….

例：已知數列{an}滿足a1=1，an=an-1（n≥2），求an。

解：∵an=an-1（n≥2），

∴an-1=an-2，…，a2=a1.

以上（n-1）個式子相乘得

an=a1···…·==.

當n=1時，a1=1，上式也成立.

∴an=.

四、形如an=pan-1+m（p、m為常數，p≠1，m≠0）時，構造等比數列

例：已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2， 求an.

解：（1）∵an+1=3an+2，

∴an+1+1=3（an+1），∴=3，

∴數列{an+1}為等比數列，公比q=3，

又a1+1=2，∴an+1=2·3n-1，

∴an=2·3n-1-1.

五、形如an+1=can+pn+q（a，c，p，q為常數，c≠1），轉化為公比為c的一個等比數列。

例：已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+3n+1，求an。

解：an+1+p（n+1）+q=2（an+p·n+q）

an+1=2an+p·n-p+q

∴

∴an+1+3（n+1）+4=2（an+3n+4）

∴{an+3n+4}是以8為首項，2為公比的等比數列。

∴an+3n+4=8·2n-1

∴an=2n+2-3n-4

六、形如an+1=c·an+dn（c≠0，c≠1，d≠0的常數），可采用配湊方法，劃歸為等比數列

例：已知{an}，其中a1=1，an+1=2an-3n，求an.

解：等式兩邊同除以3n+1，得：

=·-

+1=·（+1）

∴{+1}是以為首項，為公比的等比數列。

+1=（）n-1

∴an=2n+1-3n.

七、形如an+1=（其中m，b，c均為非零常數）的遞推關系，采用配湊成倒數的方法，劃歸為等差或等比數列

例：已知數列{an}滿足a1=1，an+1=，求an。

解：等式兩邊同時取倒數，得

-=1

∴{}是以1為首項，1為公差的等差數列。

∴=n

an=.

八、形如an+1=kanp（k，p為常數，kgt;0）的遞推關系，采用等式兩邊取對數，轉化為等差或等比數列

例：已知a1（a1gt;0），an+1=·an2（a為正常數），求an。

解：等式兩邊取常用對數，得

lgan+1=2lgan-lga

lgan+1-lga=2（lgan-lga）

∴lgan-lga是以lga1-lga為首項，2為公比的等比數列。

∴lgan-lga=（lga1-lga）2n-1

∴lgan=lg（）2n-1+lga·（）2n-1

an=a12n-1·a1-2n-1

九、循環數列：形如an+1=（其中m，b，c，d均為非零常數）形式，可以考慮循環數列

例：在數列{an}中，an=，an=1-（n≥2，n∈N*），求a2008.

解：an=1-=

a1=，a2=-1，a3=2，a4=

∴T=3

∴a2008=a1=.

十、評注：遞推數列求解通項公式的形式

1.an+1=an+f（n）（{f（n）}可求和）時，常采用累加法。

2.=f（n）（{f（n）}可求積）時，常采用累積法。

3.an=pan-1+m（p、m為常數，p≠1，m≠0）時，構造等比數列。

4.an+1=can+pn+q（a，c，p，q為常數，c≠1）構造等比數列。

5.an+1=c·an+dn（c≠0，c≠1，d≠0的常數），構造等比數列。

6.an+1=（其中m，b，c均為非零常數），構造等差或等比數列。

7.an+1=kanp（k，p為常數，kgt;0），構造等差或等比數列。

8.循環數列：形如an+1=（其中m，b，c，d均為非零常數）形式，可以考慮循環數列。

學生在掌握了以上幾種類型后，對于遞推數列求解通項公式的問題基本就可以應對高考了。