構成數學命題八個條件的淺析

我們研究一個數學命題，總要分析它在什么條件下才能成立。或者說，要使一個數學命題成立，必須具備什么條件。構成數學命題的條件有八種形式，它們實質上是數學命題的條件（前提）與結論之間的八種邏輯關系。如果不了解這些條件與命題之間的邏輯關系，就不可能透徹地理解數學定義的含義，也不可能深刻地認識定理的證明和解題過程。構成數學命題的八個條件既是基礎數學教學的重點，又是基礎數學教學的難點。本文試給出命題八個條件的一種言簡意賅的定義方式，并結合例題進行淺析，僅供讀者參考。

一、充分條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“由AB。”為真命題，那么稱已知命題的條件A是結論B成立的充分條件。

要證明已知命題的條件A是結論B成立的充分條件，只要進行由AB的論證即可。

例：已知命題“若兩個角是同位角，則這兩個角相等。”，求證該命題的條件是結論成立的充分條件。

證明：∵由“同位的兩個角”這一條件，可以推出（）“這兩個角相等”的結論，∴已知命題的條件是結論成立的充分條件。

必須注意的是，充分條件不是唯一的。

二、非充分條件

已知命題“若有條件A，則有結論B”。如果由條件A推不出結論B（由AB，說明原命題是假命題）成立，則稱已知命題的條件A是結論B成立的非充分條件（即條件A不是結論B成立的充分條件）。

例：已知命題“若兩個加數都是偶數，則它們的和是奇數。”，求證該命題的條件是結論成立的非充分條件。

證明：∵由條件“兩個加數都是偶數”推不出（）結論“它們的和是奇數”成立，∴原命題的條件是結論成立的非充分條件。

三、必要條件

由于一個命題與它的逆否命題同真同假，因此構成命題的必要條件定義通常采取以下兩種形式：

定義1。已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“沒有條件A，就推不出結論B（A無B）成立”為真命題，那么稱已知命題的條件A是結論B成立的必要條件。

因為命題“沒有條件A，就推不出結論B（無AB）成立”與命題“由結論B條件A”同真同假，所以對“必要條件”還可以進行如下定義。

定義2。已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“由結論B條件A（即結論B是條件A成立的充分條件）”，那么稱已知命題的條件A是結論B成立的必要條件。

根據上述兩種定義，判斷已知命題的條件A是結論B成立的必要條件，可采取如下兩種辦法：

（一）根據必要條件定義1，只要斷定沒有條件A就沒有結論B即可。

（二）根據必要條件定義2，由結論B 條件A，論證結論B是條件A成立的充分條件。由于用這種辦法證明簡便易行，所以常被人們所采用。具體說來，要證明“條件A是結論B成立的必要條件”只要證明“結論B是條件A成立的充分條件”即可。同理可知，要證明條件A是結論B成立的充分條件，只要證明結論B是條件A成立的必要條件就行了。

例：已知命題“若兩個三角形的三條邊對應相等，則這兩個三角形全等。”求證該命題的條件是結論成立的必要條件。

證明1：∵沒有“兩個三角形的三條邊對應相等”這一條件，就推不出（）“兩個三角形全等”成立的結論。∴該命題的條件是結論成立的必要條件。

證明2：∵由“兩個三角形全等”推出（）“三邊對應相等”，即已知命題的結論是條件的充分條件，∴已知命題的條件是結論成立的必要條件。

四、非必要條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“沒有條件A，也可能推出結論B”是真命題（等價于真命題“由結論B條件A”），則稱已知命題的條件A是結論B成立的非必要條件（即條件A不是結論B成立的必要條件）。

例：已知命題“若兩個加數都是奇數，則它們的和是偶數。”，求證該命題的條件是結論成立的非必要條件。

證明1：∵沒有該命題的條件“兩個加數都是奇數”，也可能推出（）“它們的和是偶數”成立的結論，例如兩個偶數的和便是偶數，∴已知命題的條件是結論成立的非必要條件。

證明2：∵由該命題的結論“兩個數的和是偶數” 推不出（）條件“這兩個加數都是奇數”是真命題（和是偶數的兩個數可能是偶數），∴已知命題的條件是結論成立的非必要條件。

五、充分非必要條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“由AB”是真命題（充分性），且“無A可能 B。”也是真命題（非必要性），那么稱已知命題的條件A是結論B成立的充分非必要條件。

定義中的“由AB”是說，條件A是B成立的充分條件。“無A可能B”是說，條件A是結論B成立的非必要條件。

一般而言，要判斷條件A是結論B成立的充分非必要條件，依據充分不必要條件的定義，從兩個方面著手即可。

例：已知命題“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等。”，求證該命題的條件是結論成立的充分非必要條件。

證明：∵由“兩個角是對頂角”能推出（）“這兩個角相等”，∴充分性成立；又∵由“沒有兩個角是對頂角”，即由“非對頂角的兩個角（如等腰三角形的兩個底角）”也可能推出（）“這兩個角相等”，∴非必要性成立。綜上所述，已知命題的條件是結論成立的充分非必要條件。

六、必要非充分條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“沒有條件A，就沒有結論B（無AB）。”是真命題（必要性成立），且“由條件A推不出結論B （由AB）。”也是真命題（非充分性成立，說明原命題是假命題），那么稱已知命題的條件A是結論B成立的必要非充分條件。

定義中的“沒有條件A，就沒有結論B”是說，A是B成立的必要條件。“由A推不出B”是說A是B成立的非充分條件。

根據定義，判斷條件A是結論B成立的必要非充分條件要從兩方面著手：一是判斷條件A是結論B成立的必要條件；二是判斷條件A是結論B成立的非充分條件。

例：已知命題“一組對邊平行的四邊形是平行四邊形。”，求證該命題的條件是結論成立的必要非充分條件。

證明：∵沒有該命題的條件“一組對邊平行的四邊形”，就推不出（）“該四邊形是平行四邊形”成立的結論，∴必要性成立。又∵由“一組對邊平行的四邊形”這一條件推不出（）“該四邊形是平行四邊形（如梯形）”成立的結論，∴非充分性成立。綜上所述，已知命題的條件是結論成立的必要非充分條件。

七、充分必要條件

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“由AB。”是真命題；且“由BA。”也是真命題，那么稱已知命題的條件A是結論B成立的充分必要條件。

定義中的“由AB”是說，條件A是結論B成立的充分條件；“由BA”是說，結論B是條件A成立的充分條件，亦即條件A是結論B成立的必要條件。

由充分必要條件的定義不難看出：對于一個真命題而言，如果一個命題的條件A是結論B成立的充分必要條件，那么這個命題的結論B也是條件A成立的充分必要條件。也就是說條件A 與結論B互

為充要條件，可記為“AB”。

例：已知命題“如果（b≠0，d≠0），那么ad=bc。”求證“（b≠0，d≠0）”是“ad=bc”的充分必要條件。

證明：∵由（b≠0，d≠0）能推出（）ad=bc，∴充分性成立；又∵由ad=bc （b≠0，d≠0） 能推出（），∴必要性成立。因此，“（b≠0，d≠0）”是“ad=bc”的充分必要條件。

如果一個定理的條件是結論成立的充分必要條件的話，那么它可以作為下定義的性質給與該定理的結論相同的概念下定義。

例如：由于“一個三角形的三條邊相等”和“一個三角形的三個角相等”都是“這個三角形是等邊三角形”的充分必要條件，因此等邊三角形的定義方法有兩種：一是“三條邊相等的三角形是等邊三角形”，二是“三個角相等的三角形是等邊三角形”。由此可知，一個概念可以有不同的定義，但它們都是等價的。

八、非充分必要條件（簡稱為非充要條件）

已知命題“若有條件A，則有結論B。”，如果“由條件A推不出結論B（由AB）。”是真命題（非充分性，說明已知命題是假命題），且“無條件A，可能推出結論B（無A可能B）。”也是真命題（非必要性），那么稱原命題的條件A是結論B成立的非充分必要條件。

定義中的“由條件A推不出結論B”是說，條件A是結論B成立的非充分條件；“無A可能”是說，條件A是結論B成立的非必要條件。

例1：已知命題“對角線互相垂直平分的四邊形是矩形。”，求證該命題的條件是結論成立的非充分必要條件。

證明：∵由條件 “對角線互相垂直平分的四邊形”推不出（）結論“矩形”成立，如菱形不是矩形，∴條件是結論成立的非充分條件（非充分性成立）。又∵由沒有條件“對角線互相垂直平分的四邊形”也可能推出（）該四邊形是 “矩形”的結論，∴條件是結論成立的非必要條件（非必要性成立）。因此，已知命題的條件是結論成立的非充分必要條件。

值得注重的是，以數學命題條件的名稱中是否含有“非充分”三字劃分，數學命題的八個條件可以分成兩類：含有“非充分”三字的一類中包括非充分條件、必要非充分條件和非充分必要條件，它們各自的命題都是假命題；不含有“非充分”三字的另一類中包括充分條件、必要條件、非必要條件、充分非必要條件和充分必要條件，它們各自的命題都是真命題。