高等數學在中學數學的應用

高等數學中的微積分的知識在中學數學的許多問題上能起到馭繁的作用，尤其在證明不等式、恒等式和研究函數的變化性態及作圖，不僅可以簡化解法，并能使問題的研究更為深入全面。

一、不等式的證明

在研究變化過程中變量之間的相互制約關系時，更多的是不等式的研究.中等數學中經常通過恒等變化、數學歸納法、二次型等方法解決，或運用已有的基本不等式的證明，為此先要進行恒等變形，這需要較高的技巧。

利用微積分的知識和方法，例如微分中值定理，函數的增減性，極值判定法，定積分的性質等。可簡化不等式的證明過程，降低技巧性。

歸納：從以上兩題可以知道在中學階段僅可通過恒等變形比較兩個函數的形式進行講解，操作麻煩，學生也很難接受，但學了高等數學之后，問題就變得簡單了。

二、恒等式的證明

學了高等數學后，可以發現許多問題的解決可以簡化。下面兩個例題都是運用了導數知識。

三、函數的變化性態及作圖

函數的圖象以其值、直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個函數的整體情況及其特性的時候，作用尤為明顯，例如兩個看起來很像的函數：，熟悉它們兩的圖象就知道中學數學的描點作圖是不完善的，有許多的不足之處，總會擔心點取的不夠多或點取的太多，例如函數的正確圖形應為1-1（下左）而描點法很可能畫出1-2（下右）的錯誤圖形：

利用導數作為工具，就可有效的對函數的增減性，極值點，凹凸性等重要性態和關鍵點作出準確的判斷，從而比較準確地作出函數的圖象，一般來說，描繪函數的圖象可以按以下的步驟進行：

（1）求函數的定義域.

（2）考察函數的奇偶性，周期性.

（3）求函數的某些特殊點，如與兩坐標的交點，不連續點，不可導點等.

（4）確定函數的單調區間，極值點，凸性區間及拐點.

（5）考察漸近線.

（6）根據討論最后畫出函數的圖象.

對于上述的（1），（2），（3）在中學就可以一一解決，在這里在重點的講一下如何求函數的單調性、極值點；凹凸性、拐點；漸近線、切線方程。

1.單調性、極值點

定理：函數單調性的判定法 設函數在上連續，在內可導.

歸納：由上面的討論可以對函數的圖像及變化性態有著更深一步的認識，運用以上知識不僅可以畫出一些中學數學中較特殊的函數圖像，而且甚至對不管有多復雜的函數圖像都能夠較準確地做出。

四、結語

伴隨著高等數學的產生與發展，它既為其它的學科提供了便利的計算工具和教學方法，又可以將中學數學中許許多多的問題簡單化.可想而知，它是多么的重要.所以希望廣大的學者一定要好好的學習它，并且得真正的行動起來。

參考文獻：

[1]張奠宙.現代數學與中學數學.上海出版社.1990.