組合數學在生活中的應用

[摘 要]組合數學它在生活中的應用方面還有基礎理論的方面都發揮著它越來越重要的作用。 它不但在基礎數學的研究中具有重要的地位，而且，在其他學科之中也有著非常重要的應用。比如在信息科學，物理學，生物學中等。伴隨著組合數學在基礎理論的方面以及生活應用方面的作用越發明顯，因此需要我們要對其進行更加深層次的研究。

[關鍵詞]組合數學；哥尼斯堡七橋問題

一、引言

隨著電子計算機的發展普及，組合數學這門古老的學科逐漸煥發出了蓬勃的生機。它是一門研究內容豐富，應用廣泛的學科。同時它也是一門比較講究方法技巧的學科。它的魅力在于能夠找到巧妙的解法去完善并解決一個組合數學的問題。計算機強大的計算能力也為尋求組合數學問題的巧妙解法提出了無限的可能，同時也反過來有效地推動了計算科學的發展。

組合數學在國外已較快發展，而且在很多大學已經設立組合數學與優化理論的專業去培養專門的人才，我國對組合數學的研究也具有一定的基礎，特別是圖論研究與區組設計等方面已經取得了一定的成果。

組合數學的發展很顯然已經改變了傳統數學中的分析和代數所占統治地位的局面，它奠定了本世紀計算機革命的基礎。因此我們需要對它進行更加深入的理論探討與實踐。基于這種思想，我希望借以簡單的闡述能引起人們對它更深層次的理解，并能夠將它靈活應用到生活中。

二、組合數學的基本內容

隨著電子計算機的發展，組合數學已然成為一門新興的具有邊緣性跟綜合性的學科。但是組合數學到底說的是什么，界內仍有許多種看法。但是大家公認的一點就是：組合數學主要研究的是事物之間的安排中，所涉及到的有關數學的問題。它也是研究任意一組離散型事物的按照一定的規則安排或者配置的數學。當指定的規則比較簡單時，計算一切可能發生的安排或者配置的方法的數量，就是它研究的主要問題。現代的組合數學大概有兩個主要的特點：其一，它廣泛應用了抽象的數學工具跟矩陣工具，使問題的要求和處理方法表現出了極大的普遍性；其二，為了適應電子計算機科學的發展，它更注重對方法的可行性與程序化問題進行了研究。這也就使它又派生出了算法組合學，組合算法等新出的分支學科。

組合數學中最早其實是同數論與概率論交織在一起的。上個世紀五十年代以來，尤其是電子計算機的發展，使組合數學成為了一支有生命力的新興的數學分支。

和傳統的數學課程相比，組合數學研究的主要問題是一些離散型事物之間，所存在的某些數學層面的關系。它包括計數性問題，存在性問題，優化問題以及構造性問題等。內容主要是計數跟枚舉。組合數學中，研究最多的是計數問題。它通常出現在所有的數學體系之中。計算機通常需要研究算法的有關內容，也就必須找出算法所需要的存儲單元跟運算量。也就是分析算法的空間復雜性與時間復雜性。

三、組合數學的基本解題方法

組合數學它是離散數學的一個分支，內容零散且思想方法繁多，對于長期接受了連續數學學習的我來說，常會感到很難以抓住要領，無從下手。尤其是針對新穎繁多的各種組合方法往往會感到有些茫然。組合數學的方法也很多，比如加乘法則跟抽屜法則，母函數法跟逐步淘汰法等。了解了這些方法，會有助于培養我們的組合思維。

四、應用舉例

組合數學又是十分貼近我們的生活的。因此，它在生活中非常常見。比如，求a個球隊參加的比賽中，每隊只與其他隊各比賽一次的總比賽的場數。又比如，一個人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜運到河對岸。而當人不在的時候，狼會吃羊，羊會吃大白菜，而這個人的船每趟卻只能運其中的一只。問這個人怎么做才可以都運過河。 中國郵差的問題：由中國組合數學家管梅谷教授提出的。郵遞員要穿過城市內的每一條路至少一次，問怎樣行走會使走過的路程最短？這不是一個完全的問題，存在多項式的復雜度的算法：先求出的度為奇數的點，再用匹配的算法算出這些點間的連接方式，最后再用歐拉路徑算法求出解。河洛圖：我國古代河洛圖上記載的三階幻方，是把從一到九這九個數按照三行三列的方式排列。使每行每列以及兩條對角線上面的三個數的和都是十五。組合數學中有許多這樣巧妙的設計。 裝箱的問題：當你裝一個箱子的時候，要使箱子盡可能的裝滿不是一件容易的事情。你往往需要做一些調整。從理論上講，裝箱的問題是一個比較難的組合數學的問題，即使用電子計算機也不是容易解決的。鋪地磚的問題：我們知道如果用形狀相同的方型磚可以把一個地面鋪滿（不去考慮邊緣的情況）。但是如果用不同的形狀而且又不是方型的磚去鋪一個地面，能否也會鋪滿呢？這不僅是一個跟實際相關的問題，也涉及到了很深的組合數學的問題。

總之，組合數學是無處不在的，它主要的應用就是在各種復雜的關系中找出一個最優的方案。所以，組合數學也完全可以看成是一門量化了的關系學，一門量化的運籌學，或者一門量化的管理學。

五、游戲中的組合數學

哥尼斯堡七橋問題：18世紀初，在東普魯士有一個這樣的問題：一條河上有兩個島，城市中的四個部分可以用七座橋連接起來。那么是否可以經過每個橋并且每個橋只走一次呢？

在18世紀的中期，歐拉成功論證了這個問題。答案是合適的方案是沒有的，不可能每座橋走且僅走一次。歐拉把這個問題形象地簡化成了同一個平面上面線和點的組合問題。他把每座橋看成是一條線，每座橋所連接的地方看作是一個點。這樣從某一點出發最后再回到這一點的問題，就可以轉化成為一個一筆畫出的問題。

歐拉采用了概念映像的方法去解決這個問題。也就是抽象分析法。將橋看作幾何線，將交叉的地方看作幾何點，也就是關于上述點跟線的一筆畫的問題。歐拉的這種方法其實就是組合數學中后來說的關系映像反演法的最早體現。

六、結語

以上只是介紹了組合數學在我們生活中的應用的一小部分，希望此論文可以激起我們對于組合數學的關注度，學會在生活中運用組合數學去解決具體問題。讓組合數學這一富有生命力的數學分支，涉及到生活中的各個領域。為中國的快速發展做出自己的貢獻。