垂直于弦的直徑

垂直于弦的直徑是人教版九年級《數學》上冊第二十四章第二節的教學內容，簡稱為垂徑定理，它是在學生學習了軸對稱圖形、等腰三角形、直角三角形和圓的有關概念的基礎上進行教學的. 垂徑定理是圓眾多知識中的一個重要的性質，利用垂徑定理可以簡化線段的計算、線段相等的證明以及弧相等的證明，等等.

垂徑定理的內容是：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧，其中主要涉及三個量，分別為：直徑、弦和弦心距. 根據這個定理，我們可以得到兩個推論，推論一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧；推論二：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分這條弦所對的弧.

有關垂徑定理的應用，主要有以下幾個方面：

一、利用定理求解圓的半徑

例1 如圖1所示，在圓O中，圓心到弦AB的距離OD為4 cm，且弦AB = 10 cm，求圓O的半徑.

解 如圖所示：在圓O中連接OA，所以，△AOD為直角三角形. 又因為弦AB = 10，所以，根據垂徑定理可得：AD = BD = 5 cm .

即在Rt△AOD中，由勾股定理可得：

OA2 = OD2 + AD2 = 42 + 52 = 41，

可得OA = ■（cm）.

即求得圓O的半徑r = ■（cm）.

評注：在利用垂徑定理解題時，主要有三種類型的題目：

① 已知弦長和弦心距，求圓的半徑，正如例1所示.

② 已知弦長和圓的半徑，求弦心距的長度.

③ 已知圓的半徑和弦心距，求圓的弦長.

在這三種情況下，無論出現哪種題型，我們主要是首先利用垂徑定理，得到平分弦，然后再利用在直角三角形中地勾股定理，即可求解問題. 在某些情況下，有的問題是這三種情況的綜合，所以，在求解這類題目的時候，一定要嚴格細心地觀察題目，最后利用所學知識進行求解.

二、利用定理求解面積

例2 如圖2所示，在圓O和圓Q中，其中圓Q中長為16 cm的弦AB平行于直徑CD且與圓O相切，求圓Q的面積減去圓O的面積.

解 觀察題目可知，連接QB = R，分別從點O和點Q向弦AB作垂線，垂足分別為點P和點M，又因為AB∥CD，所以，r = OP = QM.

根據垂徑定理可知，AM = BM = ■AB = 8 cm，在Rt△QBM中，根據勾股定理可得MB2 = QB2 - QM2 = QB2 - OP2.

又因為所求的面積S為：

S = π（R2 - r2） = π（QB2 - OP2） = π（QB2 - QM2）

=πMB2 = 82π = 64π，

故所求的面積S為64π.

評注：本題主要是借助切線與半徑的垂直關系以及垂徑與弦的垂直關系，把兩個圓的半徑轉化到同一個直角三角形中，然后簡潔地求出所要求得面積. 以此題為例，講了一種利用垂徑定理求解其他關于面積、周長等問題，解決這類問題的前提是熟練地掌握垂徑定理以及和本題有關的知識，然后綜合兩者清晰分析出解決此問題的方法，最后進行求解.

三、利用垂徑定理進行探究性研究

例3 如圖3所示，AB是圓O的弦，其中OC，OD為它的弦，并且它們分別交弦AB于E，F兩點，有AE = BF. 現在請你找出線段OE與OF 的數量關系，并給出證明.

解 OE和OF的關系為：OE = OF，

具體證明過程如下：

過圓心O向弦AB作垂線，垂足為點M，則由垂徑定理可知AM = MB，又因為題目中所給條件AE = BF，所以有

EM = AM - AE = MB - BF = MF （1）

成立.

又因為△EMO和△FMO都為直角三角形，所以，根據勾股定理可知，在Rt△EMO中，OE2 = OM2 + EM2.

同理可得OF2 = OM2 + FM2.

根據（1）式可得OE = OF. 故結論得證.

評注：在本例中，題目中所給的條件是線段間的等量關系，以及相關的圖形信息，最終要求我們去探究線段之間的數量關系. 在求解這樣的問題時，我們往往需要作輔助線，然后構造出垂徑定理的相關條件及結果，最后利用勾股定理等等理論探究出OF和OE之間的數量關系. 這種類型的題目充分地展現了垂徑定理在解決探究性問題中的作用，這應該引起我們重視及關注.

四、利用垂徑定理確定圓心

例4 如圖4所示，要把破殘的圓片復制完整，已知弧上三點A，B，C.

（1）用尺規作圖法，找出弧BAC所在圓的圓心O；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）設△ABC為等腰三角形，底邊BC = 10 cm，腰AB = 6 cm，求圓片的半徑R；（結果保留根號）

（3）若在（2）題中的R滿足n < R < m（m，n為正整數），試估算m和n的值.

解 （1）作法：作AB，AC的垂直平分線，標出圓心O.

如圖（5）所示.

（2）（3）略.

綜上可知，垂徑定理在初中階段的用處是十分廣泛的，其地位也是十分重要的，它的重要性不僅僅表現在圓的領域中求解半徑、弦心距和弦的長，更重要的是在于和其他知識相結合，以及和現實生活相結合，這樣更能夠體現出“學以致用”的教學理念.