旋轉在幾何計算與證明中的妙用

【摘要】 旋轉是指一個圖形繞某個點按某個方向轉動一定的角度，旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，旋轉是數學中很常用的一種全等變換，即旋轉前后的兩個圖形是全等圖形，且旋轉前后對應點與旋轉中心連線的夾角相等，都等于旋轉角. 利用旋轉可以將復雜的計算簡單化，讓數學難點輕易解答.

【關鍵詞】 旋轉；幾何計算與證明；妙用

利用旋轉變換改變圖形的位置，再借助旋轉的性質，可以將復雜的幾何計算與證明變得迎刃而解，它充分發揮了“變分散為集中”的思想，使某些數學問題較好地找到解決的思路和方法，且達到事半功倍的效果. 下面就以幾個實例讓你體會旋轉的妙用，希望你能從中受到啟發.

例1 正△ABC中，P為其內部一點，且PB ∶ PA ∶ PC = 3 ∶ 4 ∶ 5，求∠APB的大小.

分析 PB ∶ PA ∶ PC = 3 ∶ 4 ∶ 5，則PA，PB，PC三邊可構成直角三角形，由此可想能否通過旋轉，將PA，PB，PC轉換到一個三角形中，可能此題就找到了切入點，而△ABC為正三角形，為旋轉提供了先決條件，可想將△ABP繞A逆時針旋轉60°至△ACP′，則∠APB = ∠AP′C， AP = AP′， CP′ = BP，連接PP′， △APP′為正三角形，PA = P′A = PP′，則CP′ ∶ P′P ∶ PC = 3 ∶ 4 ∶ 5， △PCP′為直角三角形，∠PP′C = 90°，故∠AP′C = 60° + 90° = 150° = ∠APB.

例2 正方形ABCD中，M，N分別在邊BC，CD上運動，∠MAN = 45°.試證：MN = BM + ND.

分析 要證MN = BM + ND，可想BM，ND能否轉換到一條直線上，若將△ABM繞A點逆時針旋轉90°，△ABM至△ADM′位置，∠ADM′ = ∠ABM = 90°，顯然D M′在CD延長線上，BM + ND = NM′，現需證MN = M′N即可，連接MN，不難發現△AMN ≌ △AM′N，此題得解.

例3 任意△ABC，在BC邊同側分別以AB，BC，AC為邊作等邊△ABD，△BCE， △ACF，連接DE，EF，試判斷四邊形ADEF的形狀，說明△ABC對四邊形ADEF形狀的影響.

分析 當圖形出現有公共點的不同正三角形時，圖中一定蘊含有全等三角形且它們一定可以通過旋轉重合. 在此題中以△ABC為基本圖形將其繞C點順時針旋轉60°即可得到△ECF，從而EF = BA = DA.而將△ABC繞B點逆時針旋轉60°即得△DBE，則有DE = AC = AF，進而很易作出判斷四邊形ADEF是有兩組對邊分別相等的四邊形，它是平行四邊形. 而當△ABC中，AB = AC時，即有AD = AF，四邊形ADEF為菱形，若∠BAC = 150°時，∠DAF = 90°，四邊形ADEF為矩形，兩者同時成立則四邊形ADEF為正方形. 而當∠BAC = 60°時，D， A ，F三點共線，四邊形ADEF不存在.

例4 正三角形ABC內接于⊙O，D是劣弧BC上任意一點，AD = 8，求四邊形ABDC的面積.

分析 四邊形ABDC的形狀隨著D點位置的變化而改變，且題中條件單一，該如何思考呢？可想由題中出現的正三角形條件怎么用得上，由此不難想到旋轉. 利用旋轉變換將△ADC繞A點順時針旋轉60°到△AEB的位置，則△AED是正三角形，因為∠ADB = ∠ACB = 60°，故E，B，D在一條線上，四邊形ABDC的面積即轉換為正△AED的面積，求出邊長為8的正三角形面積即得四邊形ABDC的面積. 以上四例的解答，均借助了旋轉，而此四例的共同特點則是題中分別涉及了正三角形、正方形，有些題目中也可能出現的是等腰三角形或等腰直角三角形，它往往為我們提供了圖形旋轉的基本條件，這也是旋轉變換會涉及的一些基本圖形. 旋轉變換思想在幾何中有著廣泛的應用，這種數學思想體現了思維的多向性，也是學習幾何的一個可循的規律. 平時多注意培養學生用旋轉變換思想解題，也可減少幾何計算與證明的一些難點，使學生體會幾何添加輔助線的一些可循性規律. 我們需要合理地啟發引導學生，將所學的知識融會貫通，活學巧用，對有些圖形巧用旋轉變換，不僅可以減少解題的盲目性，還可以使解題的速度和質量大大提高. 利用旋轉變換思想解題是解決圖形問題的一個思維亮點，希望本文關于旋轉的妙用可以給學生以啟迪和借鑒.