誘導(dǎo)覆蓋粗糙模糊集

摘 要 在覆蓋近似空間與模糊集理論結(jié)合的研究中，已有的覆蓋粗糙模糊集模型存在三類問(wèn)題：一類是沒(méi)有從覆蓋族知識(shí)出發(fā)考慮元素的上、下近似隸屬度;二類是參考的對(duì)象與元素的相似度不高;三類是隸屬函數(shù)上、下界的差值過(guò)大，近似精度不高。對(duì)此，在由多種屬性形成的覆蓋族上，從與元素相似度最高的誘導(dǎo)覆蓋出發(fā)，定義了一種新的模型，并研究了該模型的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞 誘導(dǎo)覆蓋 粗糙模糊集 模糊精度

中圖分類號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.04.024

A New Type of Covering-based Rough Fuzzy Set Model

YE Ping

（School of Humanities and Adult Education， Zhejiang Hengdian College of Film amp; Television， Jinhua， Zhejiang "322118）

Abstract There are three kinds of problems in the study of covering-based rough sets combined with the fuzzy sets. First， the existing covering-based rough fuzzy set models did not consider the upper and lower approximation of fuzzy sets from the knowledge of covering family; Second， the similarity of the objects reference to the element was not high;Third， the difference between the upper and lower approximation of fuzzy sets was too large， so the approximation accuracy was low. Thus， by the covering family of several properties， a new model is proposed by inducing coverage which is the highest similarity set about the element.Then， some relative properties are discussed.

Key words inducing coverage; rough fuzzy set; fuzzy accuracy

0 引言

如何將覆蓋近似空間[1，3]與模糊集[2]理論結(jié)合起來(lái)進(jìn)行模糊分類是當(dāng)今模糊集與粗糙集結(jié)合的一個(gè)重要研究的課題。已有的四種覆蓋粗糙模糊集模型都是基于一個(gè)覆蓋的知識(shí)求一個(gè)元素隸屬度的上、下界，參考的對(duì)象來(lái)自元素的最小描述，而不是元素屬性最相似的集合，能提供的參考價(jià)值有限，且隸屬函數(shù)的上、下界差距過(guò)大，對(duì)決策沒(méi)有任何實(shí)際的意義。為此，本文從基于多個(gè)屬性的覆蓋族出發(fā)，利用元素的誘導(dǎo)覆蓋建立了一種新的覆蓋粗糙模糊集，體現(xiàn)出多個(gè)屬性對(duì)模糊決策的影響，參考的對(duì)象都是來(lái)自元素最相似的集合。又以模糊精度作為參考標(biāo)準(zhǔn)， 將新模型與已有模型進(jìn)行理論、實(shí)驗(yàn)對(duì)比。

1 基本概念

設(shè)為非空有限論域，為上的一個(gè)覆蓋，則稱有序?qū)Γǎ楦采w近似空間（covering approximation space，簡(jiǎn)稱CAS）[3]。

定義2.4[3，24] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間， 為中的一個(gè)對(duì)象，則在該近似空間中的全描述為（） = {∣}，簡(jiǎn)記為（）。

定義2.5[3，24] 設(shè)為覆蓋近似空間， 為中的一個(gè)對(duì)象，則在該近似空間中的最小描述為：

（） = {∣∧（∧ = ）}，

簡(jiǎn)記為：（），∪（） = ∪， （）。

定義2.6[3，24] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，任意，如果（），則稱為的一個(gè)鄰域。∪{∣（）}稱為的全鄰域，記為（）。∩{∣（）}稱為的近鄰域，記為（）。

定義2.7[2] 若對(duì)于非空論域中的任何元素，都有閉區(qū)間[0，1]的一個(gè)實(shí)數(shù)（）與之對(duì)應(yīng)，則稱在上定義了一個(gè)模糊集合： = {（）∣}

式中（）稱為的隸屬函數(shù)，（）稱為的隸屬度。

2 四種已有的覆蓋粗糙模糊集模型及其缺陷

為了論述方便，論文將文獻(xiàn)[5，6，7，8]所提出的模型分別稱為I型覆蓋粗糙模糊集模型，II型覆蓋粗糙模糊集模型，Ⅲ型覆蓋粗糙模糊集模型和Ⅳ型覆蓋粗糙模糊集模型。

2.1 四種模型的定義及其缺陷

定義3.1[5] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，則在（）上的I型覆蓋粗糙模糊集是一對(duì)模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

由定義3.1，對(duì)象隸屬度的最大值為，對(duì)象隸屬度的最小值為，但是這樣考慮的對(duì)象太多。

定義3.2[6] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，則在（）上的II型覆蓋粗糙模糊集是一對(duì)模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

與I型覆蓋粗糙模糊集模型相比，II型覆蓋粗糙模糊集模型將考慮的范圍縮小了，只考慮了的近鄰域中的元素。顯然，任何對(duì)象的全鄰域包含它的近鄰域。

定義3.3[7] 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，則在（，）上的Ⅲ型覆蓋粗糙模糊集是一對(duì)模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

并證明在全描述和最小描述下兩者是沒(méi)有區(qū)別的，即

是先求出最小描述的各集合中元素的最小隸屬度，然后取其中的最大值得到的;是先求出最小描述的各集合中元素的最大隸屬度，然后取其中的最小值得到的。

定義3.4[8] 設(shè)是一個(gè)論域，是論域上的一個(gè)覆蓋，，。定義關(guān)于的模糊覆蓋粗糙隸屬度為

定義3.5[8，26] 設(shè)是一個(gè)論域，是論域上的一個(gè)覆蓋，，則在（，）上的Ⅲ型覆蓋粗糙模糊集是一對(duì)模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

湯提出的模型利用最小描述并集中元素隸屬函數(shù)的綜合取平均值，得到元素的模糊覆蓋粗糙隸屬度，再與元素的隸屬函數(shù)比較，大的值為上近似隸屬函數(shù)，小的值為下近似隸屬函數(shù)。湯的模型即重新定義了一個(gè)元素的隸屬函數(shù)，這與我們利用覆蓋交叉的知識(shí)，擺脫隸屬函數(shù)主觀性影響，進(jìn)行模糊決策的思想本質(zhì)不同。

對(duì)于個(gè)體，上述四種模型在計(jì)算在模糊集下隸屬度的上、下近似時(shí)都基于一個(gè)屬性形成的覆蓋，依據(jù)的元素都來(lái)自于∪或者∩。這些并不是與最相似的集合，對(duì)和的計(jì)算沒(méi)有很大的參考意義，只會(huì)使決策更加模糊。實(shí)際問(wèn)題中，影響一個(gè)模糊決策的因素很多，不同因素的權(quán)值是不同的。在多個(gè)屬性下，根據(jù)覆蓋的知識(shí)來(lái)對(duì)在下隸屬度的上、下近似進(jìn)行計(jì)算，從屬性值最相似的集合出發(fā)才具有參考意義。如病人的癥狀有很多，如果單獨(dú)地考慮“發(fā)燒”或“頭痛”來(lái)進(jìn)行模糊決策顯然是不對(duì)的，應(yīng)該從病人所有的癥狀出發(fā)，樣本庫(kù)中與病人各癥狀最相似的樣本集合才會(huì)對(duì)決策提供依據(jù)，所以有必要提出一種新的模型。

3 基于誘導(dǎo)覆蓋的粗糙模糊集模型

3.1 關(guān)于新模型的相關(guān)定義

定義4.1[16] 設(shè) = {，，…，}是論域上的覆蓋，對(duì)于 ，我們定義 = ∩{：，}，則（） = {：}也是上的覆蓋。我們稱（）是的誘導(dǎo)覆蓋。

定義4.2[16] 設(shè) = {： = 1，…，}是的一個(gè)覆蓋族，對(duì)于每一個(gè)，設(shè) = ∩{：（），}，則（ ） = {：}也是的一個(gè)覆蓋。我們稱（ ）是 的誘導(dǎo)覆蓋。

基于誘導(dǎo)覆蓋的粗糙模糊集模型的構(gòu)造思想：

在多個(gè)屬性下，是與最相似的集合。在中，選擇對(duì)象隸屬度最大或者最小的值作為屬于模糊集上、下近似集的隸屬度。由此，我們得出如下定義：

定義4.3 設(shè)（，）為多元覆蓋近似空間， = {，，…，}為論域的一個(gè)覆蓋族，，則在（，）上的Ⅴ型覆蓋粗糙模糊集是一對(duì)模糊集，其隸屬函數(shù)定義如下：

，

。

定理 4.1 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，， 為的補(bǔ)集，則Ⅴ模型具有以下性質(zhì)：

（1）余正規(guī)性：;

（2）正規(guī)性：;

（3）上近似集的擴(kuò)張性與下近似集的收縮性：

;

（4）對(duì)偶性：，;

（5）單調(diào)性：，

;

（6），

。

，

。

3.2 V型覆蓋粗糙模糊集的模糊粗糙度

定義4.4 設(shè)（，）為多元覆蓋近似空間，，關(guān)于（，）的模糊精度為，模糊粗糙度為，

其中，。顯然，0≤（）≤1，0≤（）≤1。

定義4.5 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，，

若，則記為;

若，則記為;

若且，則記為≈。

定理4.2 設(shè)（，）為覆蓋近似空間，，，

（1）若≈，則（） = （）;

（2）若 ，則（∪） = （），（∩） = （）;

（3）若，則（∪）≤{（），（）};

（4）若，則（∩）≤{（），（）}。

證明：（1）（2）顯然。（3）若，有。

由定理4.1可知，，

，

所以，。

由，

可得（∪）≥（），因此（∪）≤（），

即（∪）≤（），同理可得（∪）≤（）。

所以，（∪）≤{（）， （）}。證畢。

（4）若，有。

由定理4.1可知，，

，

所以，。

由，

可得（∩）≥（），因此（∩）≤（），即（∩）≤（），同理可得（∩）≤（）。

所以，（∩）≤{（），（）}。

4 結(jié)論

本文通過(guò)分析四種已有的覆蓋粗糙模糊集模型缺陷，基于多個(gè)屬性形成的覆蓋族，從誘導(dǎo)覆蓋出發(fā)提出了一種新的模型。該模型充分利用元素最相似的集合對(duì)于元素模糊隸屬函數(shù)的參考價(jià)值，并討論了相關(guān)的性質(zhì)。

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