基于多元表征的兒童數學游戲設計

摘要：數學教育的根本目的是培養學生的數學思維，文章分析了當前兒童數學游戲設計忽視數學思維培養的問題及其原因，以兒童思維認知發展特點為基礎，結合“核心圖”游戲模型和多元表征理論，提出利于兒童數學思維發展的游戲設計模型，并從核心機制、規則、道具、角色等幾個方面設計了數學思維啟蒙游戲的實例。

關鍵字：兒童認知發展；多元表征；思維培養

【中圖分類號】G40-057【文獻標識碼】A【論文編號】1009—8097（2015）03—0101—08【DOI】10.3969/j.issn..1009-8097.2015.03.016

引言

數學是一門高度抽象的學科，不如音樂那般生動，也不似美術那般具體，對于認知發展水平有限的兒童來說，數學顯得格外單調乏味和難以理解。兒童處于直觀形象思維向抽象思維的過渡階段，也是數學概念初步形成的關鍵期。研究發現“兒童早期數學認知發展表現出相當穩定性，不少兒童的數學困難顯然早在幼年甚至3歲前就已開始出現，但并未得到應有的關注和幫助”。數學游戲作為一種直觀的感性材料，將數學呈現為兒童容易接受的“教育形態”，在兒童的具體形象思維與抽象概念的數學思維之間架起一座橋梁，避免了兒童時期的負面經歷從學前期就開始影響他們對數學的學習興趣、態度和能力。然而，目前兒童數學游戲市場魚龍混雜，產品質量良莠不齊，部分游戲品質較低。

兒童數學游戲相關的研究主要集中在四個方面：一是游戲對于數學教育的意義與反思，如“利用數字化游戲提高數學理解力研究”；二是相關技術在兒童數學游戲開發中的運用，如“基于Android平臺的數學教育游戲設計與開發等”；三是兒童數學游戲相關的理論研究，主要包括兒童認知發展理論、游戲化學習理論等；四是兒童數學游戲本體設計，但多數研究游離于游戲設計情境、角色、道具、故事背景等外部機制，并未觸及游戲核心機制和規則。此外，值得一提的是美國“基于認知發展的數學教育”項目，它是當前國際頗具影響力的促進項目，以兒童數學認知發展的概念體系為切入點進行兒童數學教育研究，也就是提倡將兒童認知發展規律研究與數學教育相結合，該觀點受到數學教育領域研究者的認同。本文針對3-9歲年齡段兒童設計數字化數學游戲，尤其指移動互聯網興起后的移動端兒童數學游戲，探索符合兒童認知發展規律的數字化游戲設計模式和方法。為了方便讀者更好地理解，文中提到的所有研究樣本和游戲實例都可以從蘋果官方App Store中下載體驗。

一 現有兒童數學游戲存在問題及原因分析

我國兒童數學游戲呈現“小學化”特點，兒童認知規律沒有得到充分尊重。存在以下問題：

1 忽略兒童數學思維認知發展規律

英國的帕梅拉·利貝克提出“兒童學習數學的過程經歷了體驗、語言、圖畫、符號等四個階段，兒童的數學思維也伴隨著這四個階段從具象到抽象循序漸進地發展”。然而，目前大部分兒童數學游戲忽略了這一兒童認知學習規律，譬如“樂樂的數學”、“小兔子學數數”等，這些游戲通過簡單的交互動畫引導兒童學習數數，在游戲GUI設計和配音方面考慮了兒童的審美需求，使用高飽和度、高明度的配色和歡快的配樂，在游戲娛樂性方面尚可。但在教育性方面，游戲直接跳過體驗、圖畫等階段，讓兒童學習數數，違背了上述兒童數學思維發展規律。

2 數學知識原理并未與游戲機制真正融合

部分游戲開發商缺乏對數學原理和兒童思維的深入研究，將玩家看成被動接受知識的容器，為兒童提供現成的數學結論或模型，讓其進行記憶和反復練習，其中不乏一些下載量較高的游戲，如“乘法達人”、“寶寶學數字”等?！俺朔ㄟ_人”是一款記憶乘法口訣的游戲，但它只是簡單地讓孩子通過反復記憶來死記硬背，并沒有引導兒童發現并理解“口訣”背后的乘法原理。此類游戲傾向于“將數學知識生硬地塞入成熟的娛樂游戲框架中”，雖然保證了教育游戲在表現形式上的娛樂性，但游戲核心機制設計并未和數學核心思想結合，游戲教學設計處于一種“知其然而不知所以然”的狀態，無法讓玩家了解數學知識背后蘊含的原理。此外，一味死記硬背，會打擊兒童學習數學的興趣，阻礙其數學思維的發展。

3 家長認知誤導

研究者對幼兒園大班和學前班幼兒數學知識和能力述評的測查結果表明“學前末期兒童已經較好地具備了小學初期數學知識，但學前兒童學習數學的思維能力發展明顯不足”。我國很多兒童表現出超人的數學運算能力：例如美國小學生需要通過掰手指計算的乘法，我國很多學齡前兒童就可以熟練背誦乘法口訣；再如，在中國低年級小學生眼里十分簡單的基本算術，日本文部科學省組織的全國學力調查顯示“六年級學生的正確率只有82.1%”。然而，這些驕人成績往往是大量的作業訓練和死記硬背的結果，一些家長甚至老師并沒有認識到了解數學原理和方法對兒童思維發展的重要性，認為孩子可以提高做題速度和正確率、提升應試水平即可，為兒童買單大量“出題機”數學游戲。受家長消費需求和市場導向，游戲商設計開發大量基于“出題機”內核的兒童數學游戲，家長為兒童買單這些游戲，如此周而復始、循環往復。

根據以上三點分析可知，兒童數學游戲產生問題的根源在于游戲開發商和家長忽略了兒童認知發展規律以及對兒童數學思維的培養。然而，新課程改革提倡數學教育是思維活動的教育，數學教學的最終目標是“學會數學的思維，發展學生的思維能力與解問題的能力”。因此，數學游戲設計應該結合兒童的數學認知發展特點，培養兒童數學思維，而非單純提高其解題技巧。

二 兒童數學認知發展特點

3～9歲的兒童處于數學概念初步形成和發展的關鍵期，也是直觀形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。此年齡段兒童數學認知的具體特征如下：

1 學齡前兒童——象征性思維為主

研究表明“學齡前兒童（3～6歲）的思維具有感性、具象性等特點，這一時期的兒童并不能進行真正的邏輯思維”。3～4歲的幼兒主要依靠頭腦中的表象和具體實物的聯想展開思維；5～6歲的兒童的形象思維占主導地位，但已經初步出現抽象邏輯思維。因此，“學齡前兒童的數學認知主要表現為數學意識的感性具象的形式，理性邏輯的形式較弱”。

2 小學低年級兒童——初具邏輯性

小學低年級兒童（7～9歲）的數學認知水平處于皮亞杰提出的“具體運算階段”，兒童認識到客體盡管在外形上發生變化，但其特有的屬性不變。此階段的兒童已經可以進行一定程度的邏輯推理，但需要借助具體形象或實際經驗的支持。比如在理解“相遇問題”時，需要借助“兩輛汽車相遇”的具體場景。因此，低年級兒童的思維特征傾向于具體、直覺地理解抽象關系，需要借助具體形象感知理解抽象關系。

由此可見，3～9歲兒童的數學思維都具有很大成分的具體形象性，區別在于不同年齡段的兒童對于具體形象的依賴程度有所差異：“學齡前兒童完全依賴具體表象展開數學邏輯思維；小學低年級兒童開始擺脫了具象的束縛獲得邏輯性，但此年齡段的兒童并未掌握抽象的邏輯思維結構，其邏輯性依然依賴于具體經驗”。因此，本文根據兒童無法脫離具體形象理解抽象的數學概念這一認知特點，結合“核心圖”模型和多元表征理論，嘗試建構兒童數學游戲設計模型。

三 兒童數學游戲設計模型

1 “核心圖”結構模型

“核心圖”（Core Diagram）是由獨立游戲開發者Charmie Kim總結提出的游戲結構模型，如圖1a所示，設計流程由里及外：核心機制，游戲的核心框架，也是游戲中學習次數最頻繁的操作；“游戲規則、設計配樂、故事背景等次級機制圍繞核心層層相裹”。以游戲“憤怒的小鳥”為例，如圖1b所示，該游戲的核心機制是“彈射”，也是玩家使用頻率最高的操作；游戲規則是“在規定次數內除掉小豬”，道具功能是“各類小鳥的攻擊方式相異；不同小豬的防御力不等”；GUI設計主要包括：角色（小豬、小鳥），道具，場景等；故事背景：小豬偷鳥蛋，小鳥復仇。

2 多元表征

（1）表征與多元表征

表征，心理學解釋為“將一種事、物、想法或知識重新表示出來，因此存在一個‘表征’實體，也必定存在一個‘被表征’實體，兩個實體之間存在一種映射關系”。表征分為外部表征和內部表征，外部表征包括敘事性表征（抽象符號）和描繪性表征（具體圖像），外部表征可以轉義成內部表征；內部表征指學習者頭腦中無法直接觀察的心理表征。數學學習中，表征是指培養兒童能運用表征的手段來表達數學的概念、解決問題和解釋數學現象；多元表征指一個數學對象可以有多重表征形式，如布魯納提出“從思維發展的角度將數學表征分為扮演形式的活動性表征、肖像形式的圖像學表征和符號形式的符號性表征”。

（2）兒童數學游戲中的多元表征

數學游戲中的多元表征符號本質上是學習對象，數量符號、算術符號、運算步驟等抽象元素屬于敘事性表征；游戲形象、道具和游戲操作等具象元素屬于描繪性表征。這些表征符號與其被表征的數學知識之間具有一定的關聯性，學習者的任務就是在這些外部表征和內部抽象表征系統之間建立必要的映射，并從游戲操作過程中抽象出數學系統。我們將這個學習過程稱為“表征的概念化”，“游戲形象和數學符號間形成映射、游戲操作與運算過程間形成類比，引導學習者抽象出內部數學邏輯思想”。

筆者將兒童通過游戲表征學習數學系統的過程稱為“表征概念化”，也就是將外部游戲表征系統概念化、抽象成為內部數學思維系統，詳細流程如圖2所示，根據兒童具象化思維特征，首先建立與敘事性表征符號（抽象數學符號）具有映射關系的描繪性表征符號（具象游戲形象）；設計與數學運算原理具有類比、映射關系的游戲規則和機制；然后，引導兒童按照該規則、步驟控制游戲形象，逐步建立游戲操作模式；兒童通過反復感知、操作游戲規則的行為產生“直覺喚醒”，將外部表征系統轉換、轉譯成內部表征系統（運算原理和邏輯思想）。如此，完成整個“表征概念化”游戲學習過程。由此可見，多元描繪性表征系統能夠幫助兒童從多元具體形式中抽象數學問題的內在結構和原理，并轉譯成內部數學符號系統，從而開發兒童數學思維。因此，在兒童數學游戲設計中，應該倡導“多元表征”的設計理念。

3 多元具體化游戲設計模型

英國數學教育家Dienes最早提出“數學學習的‘多元具體化原則’，他認為兒童可以通過玩數學游戲學到數學知識、發現數學結構，這些游戲的對象就是數學學習對象的具體化表征形象，游戲的規則蘊含了數學規律或關系”。那么，“多元具體化原則”如何運用于兒童數學游戲設計中？根據“核心圖”結構，游戲設計流程經歷核心機制設計、規則設計、角色道具設計和背景故事設計四個環節，其中故事背景根據角色設計確定，因此我們只探討核心機制、規則和角色道具設計三個部分。具體設計模型如圖3所示：

（1）核心機制映射數學思維，游戲規則等效數學方法

“核心圖”結構指出“核心機制和規則是在游戲中發生最頻繁交互行為”，玩家操作和學習頻率最高的部分；操作性學習理論指出“學習者在手動操作中，進行積極的數學思維活動，從而實現外部操作規則向內部數學思維的轉化”。因此，核心機制和規則的設定應該通過對運算方法的類比分析進行設計，并與運算程序“結構等效”（Falk Seeger，a stmcturally equivalent‘presentation’）。如此，兒童才能借助外部操作動作類比、抽象出其中的數學思維。例如“乘法分配律”知識點的核心思想是“劃歸”，數學方法是“提取公因式”，那么將核心機制與規則的設計映射為“提取某個相同角色”，并將這一操作作為游戲規則，為操作其他游戲角色提供參照。

（2）游戲道具類比運算符號

游戲道具是指游戲中具有特殊功能的裝備，能夠對游戲角色產生特定作用，這一特點與運算符在計算過程中的功能不謀而合。因此，類比運算符的功能設計游戲道具和裝備，兒童通過使用道具掌握道具的計算功能，然后以“道具升級”方式將游戲道具轉變成數學運算符。本文研究的運算符號主要指：加、減、乘、除、括號等，以加法為例：與“+”對應的道具功能需要被映射成聯合兩個游戲角色的操作，待兒童理解該道具的計算功能后，再將道具的外形過渡為“+”。

（3）游戲角色表示數量符號

游戲角色是玩家的操作對象，數字、字母等數量符號是運算的對象。設計游戲時，用角色表示數量符號，能夠提升數學游戲的“親和力”，讓兒童在接觸數學游戲時覺得這僅僅是一款純粹的娛樂游戲。游戲角色設計從描繪性表征過渡到敘事性表征，游戲角色表征形象的設計風格從具體的卡通造型過渡到半抽象的圖形再到完全抽象的數字。前部分關卡的角色設計結合故事背景，采用具體形象作為角色；后部分關卡的角色設計逐步過渡到抽象的圖形、字母和數字。

四 兒童數學思維啟蒙游戲“動物狂歡節\"設計實例

1 游戲總體介紹

“動物狂歡節”是一款培養3—9歲兒童的數學思維的游戲，選取的知識點是人教版小學四年級下冊的乘法分配律的逆運算，即a×b+a×c=a×（b+c），游戲目標是培養兒童的劃歸思維。游戲以動物狂歡節為故事背景，分為四個場景：海洋動物、天空鳥類、草叢昆蟲和叢林走獸，玩家通過拖拽動物卡片到“傳遞門”，將所有動物送至狂歡節現場。

2 設計分析

具體的設計分析主要從核心機制、規則、道具以及角色這四個方面展開：

（1）核心機制與規則

根據上文總結的設計模型，圍繞數學知識點以及相關原理和思想，展開游戲的核心機制設計；圍繞數學公式和方法展開游戲規則設計。

游戲前3個場景傳授“化歸”思維，第4場景培養“系數”概念。圖3的舉例部分已經提出“劃歸”思想和“提取公因式”方法的游戲操作規則設計是“提取相同的角色”，具體設計如下：圖4a所示，首先拖拽相同的動物卡片至“傳遞門”；圖4b所示，此時會產生魔法光環；然后如圖4c和圖4d所示，依次將剩余的兩個動物卡片拖入魔法環內，如此，本關卡中的所有動物就能通過“傳遞門”到達狂歡節現場。

游戲第4場景培養“系數”概念，系數指單項式中的數字因數，例如，代數式“3y”中常量3是系數，它表示一個常量3與變量y的乘積，等于y+y+y，也就是“3個y相加”，系數的數學思想可以通俗地解釋為“有多少個變量相加”。因此，第4場景的核心機制和游戲規則依據“有多少個變量相加”設計為“多少個小動物相加”，具體操作如下：如圖5a所示，首先界面中顯示兩只猩猩；然后，如圖5b所示，游戲規則設定從其中一張猩猩卡片后拖出黑點卡片“1點”；接下來，如圖5c所示，將另一只猩猩卡片拖拽到第一張猩猩卡片上；操作完成后，如圖5d所示，此時的黑點卡片中黑點的數量從“1點”變成了“2點”。根據索菲安和戴維道夫的觀點“兒童數學思維的起源不是數數、也不是通過目測獲得的對數的感知理解，而是在于數量的比較”。兒童在上述游戲操作中將觀察到相同的卡片合并后，黑點卡片中點數發生了改變，當拖拽增加一只猩猩時，黑點數量也相應地增加一個。反復進行此操作后，兒童便能理解黑點的數量就代表“多少只猩猩相加”的數量，從而抽象出“系數”這一數學概念。

（2）道具功能設計

游戲道具功能設計依據知識點中的運算符號，乘法分配率中主要涉及加法、乘法和括號等。因此，本游戲通過道具升級的方式，逐步引入上述運算符和結合符，具體設計如圖6所示。

（3）角色設計

游戲角色本質上是數量符號的表征，乘法分配律中的數量符號包括數字、字母和單項式?？紤]到兒童數學思維發展的具象特點，游戲角色設計為卡通動物卡片，然后逐步引入數字、符號等抽象數量符號?！皠游锟駳g節”的游戲角色設計從具體的卡通造型過渡到半抽象的圖形、數字，再到完全抽象的數字，如圖7所示，整個游戲的形象表征經歷了從描繪性表征到敘事性表征的轉變，循序漸進地引導兒童接受抽象的數字和數量符號。

具體設計如下圖所示，草叢場景的初步關卡，如圖8a所示，游戲初期關卡的角色設計是四張具體的昆蟲卡片，兒童在反復操作中學會“提取相同卡片”的游戲規則；隨后關卡，如圖8b所示，將“公因式”卡片“螞蟻”換成半抽象的字母b；接下來的關卡，如圖8c所示，將不同卡片分別置換成“三點”和“兩點”系數卡片；最后關卡，如圖8d所示，將半抽象的系數卡片完全置換成抽象的數字系數卡片。

從“動物狂歡節”游戲設計的過程中，我們可以更加具體地理解如何使用游戲表征設計模型來設計一款兒童數學游戲。

五 結語

兒童數學游戲重在啟發兒童數學思維，提升實際問題解決能力。具象表征作為一種幫助兒童理解數學邏輯的認知工具，應該巧妙地運用于游戲設計中。文章結合多元表征理論，探討兒童數學游戲設計模式，針對一定的知識系統和表征結構，從核心機制、規則、道具以及角色這四個方面優化游戲設計流程。新媒體和各類移動端的數字化游戲為數學教育提供了嶄新的空間，本文力圖建構兒童數學游戲表征設計模型，為科學地設計數學游戲提供可以依循的途徑與方法。