淺談中學數學解題策略

摘 要：在現實的數學學習中，我們遇到各種各樣的數學問題。例如：近些年出現的探索題、開放題、研究題、建模題、設計題、存在型問題、游戲趣味問題等等。這些問題內容豐富多彩，形式千變萬化而且立意新穎，思維靈活，處置方法也各不相同，獨具特色。具有參考性，探索性，創造性。其考查目的已不是停留在知識和技能方面。而且，提出了思維能力的要求，應把新題看作一個研究過程，并從中總結發現規律性的東西，再運用您的發現繼續探索解決新問題。

關鍵詞：解題方法 思維方法 數學思想方法 解題實踐

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（b）-0218-02

古人云：授人以魚，只供一飯之需，授人以漁，則一生受用無窮。因此，學生在加強數學基礎知識學習和基本技能訓練的同時，學習一點方法論是十分必要的。該文通過基礎知識，思維方法，數學思想方法等方面與數學解題策略的形成的聯系加以闡述。

問題是數學的心臟，解題是數學的核心。因此學習數學首先要解決方法的問題，方法是手段是工具，解決問題是目的是歸宿。解決任何一個數學問題都要點明一定的方法。方法正確，恰當巧妙，就容易使問題得到圓滿有效地解決；方法錯誤，失當或笨拙，就會影響解題的效果，甚至裹足不前，解題之所以如此重要，最根本的原因就是解題所采用的方法及其內蘊的思想是學習的靈魂，是數學知識轉化為認識客體的中介，解題方法是人類在解題實踐中積累起來的寶貴財富。那么，解題方法是怎樣形成的？影響獲得解題方法的因素是什么？如何提高自己的解題能力？怎樣處理數學學習中的困難問題？該文將做深入細致的探索，力爭給您一個滿意的回答。

1 基礎知識是獲得解題方法的能源

正如所知，平面幾何中的概念，定理，公理，以及由它們衍生出來的計算法則，推理程序和作圖技法等，都屬于基礎知識的范疇，基礎知識是人們對實踐經驗所作的歸納，概括和總結，是從感性認識到理性認識升華的結果，它們既具有特殊性，又具有普通性，掌握了基礎知識就抓住了基本要領，把握了事物的本質，就可以用它來解釋那千變萬化，錯綜復雜的客觀現象，即為我們提供了認識外部世界并發行外部世界的方法，指明了解決途徑。因此，基礎知識也就成了提煉鑰匙方法的能源。

我們用“兩點確定一條直線”的公理，可以在平面上熟練地作出一條直線，利用三解形全等的方法就可以證明一些兩個角相等和兩條線段相等的問題，在直角三角形中，當一個銳角一定時，其任意兩邊的比為定值，形成四個等式，概括為銳角三角函數，就可以用來求銳角的大小，線段的長短，甚至還可以用來證明一些比例線段的相關命題；如此等等，這是大家所熟知的基礎知識，為鑰匙所昭示的方法，實際上，掌握了基礎知識就會使我們聰明起來，就能順利解決一些問題；脫離了基礎知識，就會使解題陷入困境。

2 思維方法是解題的關鍵

解題的過程實質上就是運用方法把題設向結論轉化的過程，其中的“運用方法”就是溝通并建立知識間邏輯聯系，怎樣建立這種聯系，關鍵是運用思維方法。

所謂思維，是指理性認識過程，“即思考”（《辭海》哲學分冊1986年12月第二版第86頁）。思維具有概括性，能動性。因而運用思維將實際物體（實際形象）抽象為幾何圖形，建立了幾何圖形的概念并進行判斷和推理；運用思維研究了并且正研究著幾何圖形的性質；當然又是運用思維分析和解決著幾何中的問題，所以思維方法是解題過程的關鍵。

思維這個東西是摸不著看不見的，思維的表達工具就是語言，幾何學中思維的工具是幾何語言，如用文字語言，符號語言和圖形語言均可以表現對幾何問題思考的過程。即當我們用語言說明基本事情時，實質上，就是用語言表現我們對這件事情的思維活動。

在分析和解決幾何問題，常常同時用到文字語言，符號和圖形語言和諧地思維活動的過程。在幾何學習中，思維的方法大致分為兩類；一是憑借直觀形象（如圖形，模型）及可儲存在大腦中的記憶形象進行思維的方法有聯想，想象，直覺等；二是憑借概念判斷和推理進行思維的方法有分析與綜合，比較與分類，歸納與演繹，抽象概括與具體等。在運用過程中它們并不是絕對孤立的，而是既彼此獨立，又互相聯系的交錯運用。在解幾何題時，無論感覺到與否，它們都是客觀存在的。都是在不知不覺中應用著它們。

3 數學思想方法是解題方法與技巧的靈魂

人們在數學探索的過程中獲得的一些重要的思維（思考）結果，便形成了所謂的數學思想，把數學思想作為解決問題的工具，手段或轉化途徑就產生了數學思想方法。數學思想方法在問題解覺過程中往往起到評估，決策的作用，進而它能確定思想方向和方法，所以我們說數學思想方法是解題方法與技巧的靈魂。如果在解題過程中缺乏數學思想的導引，那么就會使解題活動陷入盲目性，甚至使解題思考紊亂，無從下手。

常見一些同學發總：“老師，這題你是怎么想出來的？”這就是一個數學思想方法方面的問題。在解題探索中，若在知識技能方面不存在太大問題，然而又急切沒有解題思路，那么就是由于缺少數學思想方法的“領航”作用。

在平面幾何解題過程中，常見的數學思想方法有比較法，分類討論法，歸納法，抽象概括法，特殊與一般，化歸，數學模型，方程，函數，集合論，數形結合，分析與綜合等一些思想方法，這些數學思想方法和自均有獨特的作用，然而在具體解題的應用中，又是互相聯系，縱模交錯，互促，互動，互融的。下面介紹幾種其作用可見一斑。

3.1 關于比較法

即指考查被研究的問題中相同與不同因素的思維方法。實際上，任一個問題都是由各種因素構成的復合體。幾何問題也是這樣，它是由若干個基本圖形復合而成，為了實施解題首先必須比較這若干個基本圖形復合而成，為了實施解題首先必須比較這若干個基本圖形性質的異同點，搞清其區別與聯系，看出“異中之同，同中之異”才能發現轉化途徑，再選擇適當的解題方法。

3.2 關于分類討論

一個命題的過程通常都是連續地運用演繹法的過程，其中一般規律即是推理思考的起點，也是證明的根據。

歸納法與演繹法是對立的。歸納過程中對于個別的特殊問題的探索是以演繹法為前導的；而演繹的出發點一般規律通常是由歸納法得到的。所以這兩種思想方法彼此互斥，又互相聯系，互相依存。

3.3 關于抽象概括法

指從所研究的問題中排開那些無關的表面現象，而只從中抽取出與研究問題相關的本質屬性的思維方法。抽象概括的方法在被廣泛地應用著。

離開了抽象概括就無所謂解題。在解題分析過程中，常常拋開那些與轉化不相關的內容，從中抽取出能直接作用于轉化機制的因素。解題通常不能一步到位，因而伴隨解題的抽象活動也必須經過多步才能完成，解題過程倘若缺少抽象概括方法的導引，將會出現偏離解題方向的現象，進而從事無效勞動，甚至由于一些非本質屬性的干擾，難以建立解題思路。

抽象概括法仍是一個具有明確方向性，目標性的方法。不僅如此，問題的本質必得多種多樣。所以抽象概括的內容和意向也各有所不同，這是從橫向看；從縱向看，一個問題的解決要經過連續多次地轉化，因而抽象概括工作也就往復呈螺旋式遞進，在解題目標的指引下，層層深入，使整個分析呈現著“舍棄抽象概括再舍棄再抽象概括”，直至使結論脫穎而出的過程。

3.4 關于函數思想

函數思想在某變化過程中，人們對于變量間的儲存關系認識的結果。在初中階段我們學習了正比例函數，反比函數，一次函數，二次函數等，都是函數的一些具體形態。這些函數具有各自的特殊性質，倘若將它們適當組合，則能復合出豐富多彩的數學問題，刻畫出各種問題的內在規律。因而人們常把研究的問題納入某變化過程加以考查，通過其中變量的聯系建立函數關系，再由所建立的函數關系去解決問題。在幾何解題中也是這樣，函數思想也具有重要的決策作用。

4 注重解題研究是提高解題能力的有效途徑

所謂能力，即指一個人用勝任某種工作的主觀條件，也可以理解為才干。解題能力就是勝任解題活動的主觀條件，它大至與以下幾種因素相關。

（1）牢固的基礎知識；

（2）豐富的解題經驗；

（3）深入的解題研究；

（4）良好的思維品質；

（5）頑強的攻堅意志。

數學學習的核心內容就是解題，解題必須運用方法，方法是從知識中獲得的，牢固的基礎知識源源不斷地為解題提供工具或手段。忽視了基礎知識的指導，解題就會事倍功半，忽視了解題實踐，欲使經驗升華為規律性的東西，則必須進行由此及彼，由表及里，去偽存真，去粗取精的深入解題研究。一味追求解題訓練，缺少深入細致的解題研究，就會“學而不思則罔”陷入題海，就會失去通過解題掌數學思想方法的機會。解題研究需要有良好的思維品質，這主是通過解題實踐得到鍛煉和培養的。

參考文獻

[1]曹才翰.中學數學教學概論[M]北京教育出版社，2007：163-168.

[2]薛金星.初中數學解題方法與技巧[M]北京教育出版社，2003：172-192.

[3]中國教育報[M].2013-12-22（4）.