利用導數求函數切線在高考中的教學討論

摘 要：該文討論了在高中數學中，利用導數這個工具求函數切線的一般方法，研究了這方面的高考題型。在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進、創新，而“變式教學”是被廣泛運用且公認有效的教學手段。以往人們通常把變式教學劃分為概念性變式和過程性變式兩類；現在，人們已經把變式教學劃分為概念和原理的變式教學、數學技能的變式教學、數學思想方法的變式教學三種類型。對中學教學來說，變式教學最重要的是可以讓教師有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，幫助學生使所學的知識點融會貫通，從而讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，體會學習數學的樂趣。

關鍵詞：導數 函數 切線

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（b）-0139-01

隨著高考的改革，微積分的思想越來越在高中數學中占據重要的作用，而作為微積分的有力工具導數體現的更加明顯。導數是研究函數的一個重要的工具，它在研究函數的單調性，函數的極值以及函數的最值問題等都是一個方便有效的工具。所以近些年來，導數的應用在高考中越來越占據十分重要的份量。另外利用導數的幾何意義，求函數在某一點的切線方程也是近些年來高考的常考題型。在各省市的高考中，每年基本上都會出一道關于利用導數求曲線上一點處切線這方面的題目。下面我們討論對于這種類型的高考題，它的解題的一般規律。

我們知道曲線上一點切線的斜率。從而曲線在的切線方程為

法線方程為

在利用這個公式的時候要注意到所求的點必須在這條曲線上，因此解題的時候就要分為在曲線上一點和過曲線外一點求曲線的切線兩種情況來討論。

1 求曲線上一點處的切線方程

求曲線上一點處的的切線方程是近些年來高考的主要題型，這些年來主要都是考查這種題型，做這種題目的時候，主要考查學生對于導數的求法以及導數的幾何意義的理解。

例1（2014廣西理科）求在點處的切線方程。

解 由于點在曲線上，故過點切線的斜率。故所求的切線方程為。

例2（2014全國理科）曲線在點（0，0）點切線方程為，求。

解 顯然（0，0）點在曲線上，所以在（0，0）點切線的斜率，所以。

例3（2013廣東）函數在點（1，k）處的切線平行于軸，求k。

解 點（1，k）在曲線上，過（1，k）點的切線斜率

又切線平行于x軸，故切線的斜率，解出。

2 過曲線外一點處的切線方程的求法

例4（2013連云港調研）函數，若過點A（0，16）且與相切的切線方程為求。

解 注意到A（0，16）并不在曲線上，要用以前的公式需要有切點的坐標，設切點為，切線的斜率為。所以過（0，16）點切線方程為

又在切線上，代入切線方程，有

解出，代入切線方程得。

在高考中利用導數求函數在一點處的切線方程題型一般比較固定，難度適中，學生要分清是求曲線上一點處的切線還是過曲線外一點處的切線。如果是曲線上一點處的切線，先求出切線的斜率，也就是在函數在切點哼坐標的導數，從而求出切線方程。如果是求過曲線外一點處的切線方程，先設出切點坐標，在利用導數求出切線的斜率，然后寫出過曲線外一點處的切線方程，最后根據切點在切線上解出未知數。

參考文獻

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