等差數(shù)列的定義和通項公式的教學(xué)技巧點滴

摘 要：等差數(shù)列學(xué)習(xí)，要注意從特殊性到一般性規(guī)律的推理，要注意函數(shù)思想和方程思想的運用。需要對概念的準(zhǔn)確理解和對觀察分析能力的逐步提高。要掌握等差數(shù)列概念、通項公式，并能夠運用這些知識解決一下問題。要注意和兩點確定一條直線一樣，等差數(shù)列中的任意兩項（包括他們的序號）也能確定一個等差數(shù)列。教學(xué)中，可以采用先學(xué)后教的方式，學(xué)生能自己學(xué)會的知識自主完成，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和提高教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；等差數(shù)列教學(xué)；教學(xué)技巧；

中圖分類號：G42 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-3520（2015）-12-00-01

一、自主學(xué)習(xí)與目標(biāo)要求

首先學(xué)生看書自學(xué)。要相信學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。對于學(xué)生自己能看懂學(xué)會的知識，學(xué)生學(xué)比教師教的效率高，而且特別有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高。

但是教師要明確時間和及時了解反饋，需要強(qiáng)調(diào)重點目標(biāo)和例題要求，要重點突出，簡明扼要。這對教師的要求會更高。

學(xué)生自學(xué)后教師做重點強(qiáng)調(diào)：

1、等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等差數(shù)列。這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。

強(qiáng)調(diào)：第一項比第二項多1個公差，第三項比第一項多2個公差，第四項比第一項多3個公差，。。。第n項比第一項多n-1個公差。

強(qiáng)調(diào)：an=a1+（n-1）d，一般先確定首項a1、公差d.注意函數(shù)解釋、方程思想。

強(qiáng)調(diào)：an比am多n-m個公差，an=am+（n-m）d.

2、等差中項.a、A、b成等差數(shù)列。2A=a+b

3、例題1（1）求等差數(shù)列8，5，2，...的第20項；

強(qiáng)調(diào)：求出a1和d，a20與a1相差幾個d.

（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，...的項？如果是，是第幾項？

強(qiáng)調(diào)：求出a1、d、然后確定an.

4、例題2是具體應(yīng)用題，強(qiáng)調(diào)先求出a1、d.再求通項an，這是一般性的方法，必須掌握。

5.例3已知數(shù)列{an}的通項公式為an=pn+q，其中p，q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

強(qiáng)調(diào)：要符合定義，確定an+1-an=d常數(shù)）.是證明等差數(shù)列的一般方法。

二、知識擴(kuò)展和能力培養(yǎng)

補(bǔ)充例題是源于課本又高于課本的，目的在于強(qiáng)化概念培養(yǎng)分析解決問題的能力.

例4.在a和b之間插入n個數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，求其公差。

首項a1=a，這個數(shù)列有n+2個數(shù)。b與a相差n+1個d.b=a+（n+1）d.d=（b-a）/（n+1）.

例5在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首項a1及公差d.

方法一：a5=10，a12=31，利用通項公式，a1+4d=10.a1+11d=31，解得a1=-2，d=3.

方法二：a12與a5相差7個d.把a(bǔ)5當(dāng)首項，a12=a5+7d，d=（a12-a5）/7=3.a1比a5少4個d.a1=a5-4d=-2.

公式引申：等差數(shù)列中，am=an+（m-n）d，d=（am-an）/（m-n）.意思就是am與an相差（m-n）d.知道等差數(shù)列中的任意兩項am和an（包括他們的序號m，n），就可以把數(shù)列確定下來，這和兩點確定一條直線是類似的。

例6已知等差數(shù)列{an}中，a4+a7+a10=18，a6+a8+a10=27，若ak=21，求k的值。

方法一：利用通項公式聯(lián)立方程求出a1和d，再代入通項公式解方程的k.

方法二：4，7，10成等差，所以a4，a7，a10成等差數(shù)列。同理a6，a8，a10成等差數(shù)列。由方程中減少變量的思想，利用等差中項公式，有a4+a10=2a7，a6+a10=2a8，及a4+a7+a10=18，a6+a8+a10=27，得a7=6，a8=9，d=a8-a7=3.ak=a7+（k-7）d，21=6+（k-7）3，解得k=12.

練習(xí)

1、等差數(shù)列{an}中，a1+a2=20，a3+a4=60，則a5+a6=

解法一：由a1+a2=30， 得a1+a1+d=20，2a1+d=20.（1） 由a3+a4=120.得a1+2d+a1+3d=120，2a1+5d=70（2）聯(lián)立（1）和（2）得a1=5，d=10.a5+a6=a1+4d+a1+5d=2a1+9d=100.

解法二：a1+a2=20（1），a3+a4=60（2），（2）-（1）得2d+2d=40，d=10，代入（1），2a1+d=20，a1=5.

解法三：觀察可知，a1+a2，a3+a4，a5+a6，成等差數(shù)列，（a1+a2）+（a5+a6）=2（a3+a4），20+（a5+a6）=120，a5+a6=100.

2、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap=q，aq=p（p與q不相等），求ap+q

解法一：ap=a1+（p-1）d=q（1），aq=a1+（q-1）d=p（2），聯(lián)立（1）和（2）得，a1=p+q-1，d=-1.ap+q=a1+（p+q-1）d=0.

解法二：ap+q=ap+qd=q（1+d），又q-p=ap-aq=（p-q）d（p和q不等），d=-1，得ap+q=0.

等差數(shù)列的趣味性較強(qiáng)，入門容易深入難。解題技巧性較高，便于引發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，積極思考。我們在教學(xué)過程中要善于類比，選擇典型例題，鼓勵和激發(fā)學(xué)生探索的興趣，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉強(qiáng)。高中數(shù)學(xué)。2012（03）

[2]任志鴻。高中全程復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計。數(shù)學(xué)。