計算方法課程教學方法與手段的改革與實踐

摘 要：計算方法是一門與計算機密切相關的課程，能夠為各種數學問題的數值求解提供最有效的算法，已經成為許多理工科專業學生的一門專業必修課。該文針對目前應用型人才培養的目標，結合計算方法課程的教學實踐，首先對計算方法課程教學中常見的問題進行了簡單的分析，然后應用多元化的教學方法，開展了一系列有關計算方法課程教學方法和手段的改革與實踐，擺脫了傳統教學模式下枯燥乏味的狀態，確保了教學質量的提高和人才培養目標的實現。

關鍵詞：計算方法 教學質量 教學改革 多元化

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）08（b）-0189-03

Abstract： The numerical methods course is closely related with computer science， provides the most efficient algorithm for the numerical study of the various mathematical problems and has become a required course for many science and engineering majors. In this paper， aiming at the current application personnel training objectives， combining with teaching practice of numerical methods courses， the common problems in numerical methods course teaching are firstly briefly analyzed， and then a series of reform and practice on numerical methods course teaching is carried out by using the diversification of teaching methods， which can get rid of the boring state of traditional teaching mode and ensure the enhancement of the teaching quality and the realization of the goal of talents cultivation.

Key words： Numerical methods； Teaching quality； Teaching reform； Diversification

隨著計算機技術的快速發展，科學計算在科學研究與工程實踐中的地位越來越重要，已經上升為與傳統的實驗測定與理論分析方法相媲美的第三種科學研究方法。作為介紹科學計算的基礎理論與基本方法的課程，計算方法或數值分析是一門與計算機密切相關的實用性很強的課程，是研究使用計算機求解各種數學問題的方法、理論及其軟件實現的一個數學分支。該課程既有純數學的嚴密科學性與高度抽象性的特點，又有實際實驗的高度技術性與應用廣泛性的特點，已經成為許多理工科專業學生的一門必修課[1]。由于計算方法課程在人才培養中的地位和作用，特別是應用型人才培養中的作用，就需要教師“教好”和學生“學好”這門課程。但是由于計算方法課程自身的特點，要把“教好”和“學好”這二者有機地統一起來并不是一件容易的事。傳統的教學模式往往容易出現顧此失彼的情況，不能把二者有機地統一起來。為了解決教師“教好”和學生“學好”這兩個方面的問題，就需要結合人才培養的目標，開展計算方法課程教學改革方面的研究與實踐，通過多元化的教學模式，全面提高課程的教學質量和人才培養的質量[2，3]。

1 計算方法課程教學方面的問題分析

由于計算方法課程自身的特點，在“教好”與“學好”兩個方面容易出現一些問題，限制了課程教學的良性發展和教學質量的提高，現總結如下。

（1）知識的銜接問題。

計算方法課程涉及了微積分、線性代數、常微分方程和高級語言程序設計等多方面的知識，用到的許多知識點有相當一部分學生已經淡忘了，所以教師在授課時會比較費力，而學生也往往比較茫然。因此在計算方法課程的教學中，就需要做好遺忘知識的溫習和鞏固工作，處理好新舊知識的銜接問題，讓課程的教學工作得以順利開展。

（2）計算公式冗長且難以熟記問題。

有許多數值計算公式都比較冗長繁瑣，推導起來費時費力，而學生也很難長久記憶，這容易導致課堂教學缺乏生機和活力，而學生也容易產生煩躁和厭學的情緒，不利于教學工作的順利開展。為此就需要分析產生這種問題的原因是什么，思考怎樣才能有效地解決計算公式冗長且難以熟記問題，怎樣才能有效地避免學生煩躁和厭學情緒的產生，怎樣才能讓課堂教學富有生機和活力。

（3）數值方法的應用問題。

有一些學生在經過一段時間的學習之后，仍然會提出“這些方法有什么用？”和“為什么要學習這些方法？”諸如此類的問題，也就是說有些學生一直不理解為什么要學習這些“特殊”的方法，對這些數值方法的應用沒有一個清晰的概念，沒有認識到所學習的數值方法在實際應用中的重要意義，在整個學習過程中都處于思路不清晰和渾渾噩噩的狀態。

（4）課堂教學的設計問題。

對于計算方法課程的課堂教學，需要處理好理論分析與例題講解之間的關系，需要處理好算法設計與程序實現之間的關系，需要處理好當前學習與日后深造之間的關系。例如在講解例題時，很多例題都需要應用所講的數值方法借助計算機才能給出求解結果，那么在課堂上對學生進行例題講解時，怎樣才能讓學生更好地理解解題的方法和過程，怎樣才能提高學生應用所學的數值方法解決實際問題的能力，這些都需要在教學中不斷地進行探索與實踐。

（5）數值實驗的實踐問題。

在計算方法課程的整個教學過程中，數值實驗教學是非常重要的一個環節，不僅可以加強學生對所學數值方法的理解與認識，而且還可以提高學生的編程能力和解決實際問題的能力。如何安排數值實驗實踐活動，如何把課堂教學與課外實踐有機的結合起來，如何把數學建模活動和數值實驗教學融合在一起，是值得深入思考的問題。

2 計算方法課程教學改革的研究與實踐

在計算方法課程教學中一方面需要提供面向計算機的各種數值計算方法，并需要對每種方法進行相關的理論分析；另一方面需要完成從理論到實踐的全過程，培養分析問題和解決問題的能力，這就對計算方法課程的教學方法和教學手段提出了更高的要求。針對前述計算方法課程教學中容易出現的問題，開展了計算方法課程教學方面的一系列改革與實踐，具體如下：

2.1 課堂授課方式的改革與實踐

為了調動學生學習的主動性和參與課堂教學活動的積極性，就需要改變傳統的教學方式，增強課堂教學的互動性，讓課堂教學充滿生機和活力。為此采取教師主講、學生主講和課堂討論相結合的方式組織課堂教學活動，這樣就改變了由教師完成全部授課任務的單一教學模式，可以化被動學習為主動學習，極大地調動學生參與課堂教學活動的積極性。由于計算方法課程知識點比較瑣碎且各知識點之間相對比較獨立，所以便于開展師生互動的授課形式。開展這樣的授課形式，任課教師要提前安排好，每一章開始之前就要安排好哪些內容教師主講哪些內容學生主講，一般要提前一周把學生要講的內容布置下去，讓學生有充分的準備時間。這里教師要起到引導的作用，要讓學生明白講什么、怎么講和怎么組織課堂教學活動，借助教師授課的示范作用，讓學生逐步適應這種多元化的授課方式。另外，在授課過程中教師要給予及時的啟發和指導，引導其他學生對授課學生所講的內容進行督導，有問題或疑問時引導學生積極討論，在學生授課結束時任課教師還要進行點評和總結，特別是一些學生難于理解或認識不到的內容進行講評。通過這樣的授課方式，改變了學生被動學習的狀態，激發了學生的積極性，使課堂教學更加靈活更加富有活力。

2.2 課堂教學活動的改革與實踐

課堂教學是整個課程教學中最重要的一環，關系著學生的學習效果和課程的教學質量，因此要特別重視課堂教學活動，需要對整個課堂教學活動進行精心的設計和準備。針對計算方法課程，主要從以下三個方面開展研究與實踐。一是內容的引入方面。每一章開始時通過思考題或分析讓學生了解本章內容的應用背景，理解為什么要進行本章內容的學習。例如，在講解插值法和最小二乘擬合法時通過下面的一個思考題進行內容的引入。（見表1）

根據表1中數據，請合理地估計出其它深度（如500 m，600 m，1000 m…）處的水溫？二是內容的要求方面。在每一章開始時，要介紹清楚本章的知識結構，要讓學生明白哪些知識點是重點內容，哪些知識點是難點內容，要讓學生明白哪些內容需要掌握哪些內容需要了解。這樣學生在學習過程中目標就比較明確，不至于盲目而抓不住重點。三是內容的總結方面。總結很重要，可以從不同角度或更高層面上重新分析或探討所講的內容。對每一個內容在講解完了之后都要及時進行總結，不僅可以加深學生對內容的理解和掌握，而且還可以啟發學生進行深入的思考和探討。例如，在介紹完Gauss消去法之后，可以進行如下的總結。Gauss消去法是目前求解中小規模線性方程組常用的方法，一般適用于系數矩陣稠密的線性方程組，但這個算法是不穩定的。經過改進的Gauss列主元消去法具有良好的數值穩定性，是計算機上使用較多的一種有效方法。經過改進的還有Gauss全主元消去法和Gauss-Jordan消去法。

2.3 課外實踐活動的改革與實踐

課外實踐對課堂教學起到重要的補充作用，可以輔助完成整個教學活動。在課外實踐活動環節中，一方面可以讓學生做好預習，對所涉及的微積分、線性代數和常微分方程等方面的知識提前溫習和鞏固，這樣不僅可以讓學生能及時跟上講課的節奏，準確地把握授課的重難點，而且還可以解決新舊知識的銜接問題；另一方面主要是讓學生開展數值實驗，完成數值實驗報告。開展數值實驗是對所學習數值方法的實踐和訓練，也是對課程教學效果的檢驗和測評。數值實驗是課外實踐活動中的重要一環，開展好這項活動，不僅可以激發學生學習的興趣，而且還可以提高學生分析問題和解決問題的能力。這里為了促進課外實踐活動的開展，可以組織計算方法課程的學習興趣小組，讓學生自由分組聚集在一起學習和討論，共同努力解決遇到的問題，一方面培養了學生之間團結合作的意識；另一方面還提高了學生學習的效果和課程的教學質量。

2.4 課程雙語教學的改革與實踐

為了滿足學生進一步學習的需要，為了拓展學生的知識面和眼界，為了跟上當前教育的發展趨勢，計算方法課程也要進行雙語教學的改革和實踐。與傳統的中文教學模式不同，雙語教學有其自身的特點，特別是在語言的表述方式和習慣方面。在進行計算方法課程雙語教學的實踐時，要認真制作和開發一套英文版的教學課件，要確保專有名詞的正確表達，要確保課件中英文表述準確地道，只有這樣才能保證雙語教學的健康發展[4]。這里為了確保計算方法課程雙語教學的順利開展，首先需要向學生推薦一本優秀的英文教材，便于學生自學和參考；其次課堂板書要全部實現純英文板書，為學生創造一個純英文的學習環境；最后作業和課程測試也要實現英文化，使學生得到一定程度的訓練，逐步提高學生專業英語的水平。下面針對求解線性方程組的迭代方法，給出三張英文版課件設計示例，僅供交流和參考。

示例1：Introduction of Iterative Methods

The iterative methods are used extensively in the solution of linear systems that arise in the numerical solution of boundary value problems and partial differential equations. These systems are often very large and are sparse with their nonzero entries in predictable positions.

示例2：

Theorem 4 The following statements are equivalent.

（i）A is a convergent matrix.

（ii）limn→∞||An||=0，for some natural norm.

（iii）limn→∞||An||=0，for all natural norms.

（iv）ρ（A）< 1.

（v）limn→∞Anx= 0，for every x.

示例3：

To write the Gauss-Seidel method in matrix form， transform Ax = （D L U）x=binto

（D L）x=Ux+b，

then we have the Gauss-Seidel method represented by

x（k+1）=（D L）?1Ux（k）+（D L）?1b，for each k=0，1， ….

Letting Bg = （D L）?1U and fg = （D L）?1b， gives the Gauss-Seidel technique the form

x（k+1）=Bgx（k）+fg.

2.5 數學建模融入的改革與實踐

計算方法課程中所介紹的數值計算方法在解決實際問題時具有非常重要的應用價值，許多數值計算方法本身就是一種數學建模的方法，例如插值法和最小二乘擬合法。一旦計算方法課程教學與數學建模活動結合起來，各種數值計算方法就有了用武之地，計算方法課程教學就充滿了生機和活力。因此在計算方法課程教學中融入數學建模的思想和方法，把計算方法課程教學與數學建模活動有機地結合起來，從學生角度可以加深對所學內容的理解，可以提高應用所學知識分析問題和解決問題的能力，可以增強計算方法課程學習的興趣；從教師角度可以深化計算方法課程教學的內涵，可以提高計算方法課程教學的質量，可以促進人才培養目標的實現。把數學建模活動融入計算方法課程教學中，要注意把握好融入的時機，要注意利用好課外的時間，要注意選取合適的實際應用問題。例如，在非線性方程數值解法這一內容授課結束之后，可以讓學生結合數學建模分析和討論“排水渠道的設計問題”；在插值法和最小二乘擬合法這一部分內容授課結束之后，讓學生結合數學建模求解“黃河小浪底調水調沙問題”；在常微分方程數值解法這一部分內容授課結束之后，讓學生結合數學建模數值求解“食餌與捕食者兩個生物種群數目變化問題”[5]。

3 結語

開展計算方法課程教學改革方面的研究，進行一系列的探索與實踐，取得了較好的教學效果，擺脫了傳統教學模式下枯燥乏味的狀態，使得計算方法課程教學呈現多元化，充滿了生機和活力。通過上述課程教學方面的一系列改革與實踐，有助于提高學生參與課堂教學的積極性和課外學習的主動性，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力，有助于提高計算方法課程教學的質量，有力地促進了人才培養目標的實現。

參考文獻

[1]令鋒，傅守忠，陳樹敏，等.數值計算方法[M].北京：國防工業出版社，2012：1-65.

[2]吳巍.計算方法課程教學方法改革的探討[J].吉林化工學院學報，2013（10）：104-105.

[3]聶德明，李文軍.關于計算方法課程教學改革的思考[J].黑龍江教育（高教研究與評估），2013（10）：59-60.

[4]曲良輝，周德文，姜永艷.中外合作辦學數學課程教學內容方法手段的改革與實踐[J].中國教育技術裝備，2014（16）：147-148.

[5]蔡大用.數值分析與實驗學習指導[M].北京：清華大學出版社，2001：131-147.