淺議數學中反證法的應用

摘 要：該文從否定性命題、限定式命題、無窮性命題、逆命題、一些存在性命題、全稱肯定性命題、某些不等量命題、基本命題等8種命題中，討論了數學中反證法的應用，希望對數學學習者有所幫助。反證法在數學史上可以追溯到很久以前，其應用也是相當的廣泛，所以它在數學上也顯得極其重要。在數學解題中我們常常遇到一些直接證明非常難的命題，此時如果我們運用反證法來解決也許會收到意想不到的效果。

關鍵詞：命題 反證法 證明

中圖分類號：O142 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）08（b）-0219-02

在中學數學學習學生一般都是直接證明命題，由于反證法與他們平時的應用習慣是不相同的，加上初學反證法的排斥心理，使反證法成為他們學習的一個難點。由于新課程的改革，現在更加注重對學生思維能力的培養，如何讓學生深刻理解反證法的作用，增強學生對反證法學習的興趣，讓學生在較短的時間內掌握反證法的要領，這就需要我們了解學生的心理特點，從他們比較感興趣的角度切入和講解，讓學生自己開動腦筋概括和總結反證法，這樣就會達到事半功倍的效果。如何突出反證法在證題中的重要作用及其他的思維方式，該文通過幾個例子來說明，同時論文還列舉了反證法的應用命題類型。深刻把握反證法的解題方法和步驟，理解反證法的精髓，對學生的邏輯思維方式有很大提高。

數學中有許多證明方法，反證法也是數學中的一種證明方法，并且在數學中占據著相當重要的位置，它與其它證明方法的切入點不一樣，它是從反面出發的一種證明方法，不是直接入手。有位數學家曾這樣說到：肯定命題的假設→否定命題的結論→導出矛盾，這就是真實的反證法。代數基本定理的證明，某些不等式的證明，根的存在性，都應用了反證法。

1 反證法的含義

從原命題結論的反面出發，通過正確的邏輯推理過程，導致矛盾的結果，從而肯定原命題結論正確的證明方法叫反證法。

反證法是間接證明方法的一種，在數學中廣泛被應用，因為它形式邏輯的依賴特點，使得它推理的形式也有所不同。從命題結論的反面出發是反證法區別于其它證明方法的顯著特點，然后經過嚴格推理，導出矛盾，既而肯定原命題的結論是成立的。

在數學中，該文所列舉的基本命題﹑全稱肯定性命題﹑結論以“不少于……”或“至多……”的形式出現的命題﹑一些不等量命題的證明等用反證法來證能收到很好的效果。

反證法證題的大概思路是這樣：第一步確定證題所要用的已知條件和否定的原結論；第二步是假設原命題結論的反面成立；第三步是通過嚴格的邏輯推理，得出與已知條件﹑定理、公理或著自相矛盾；第四步是推出矛盾，得出結論；第五步肯定原命題結論正確，即證明結束。

用框圖表示如表1。

2 反證法的邏輯依據、種類及步驟

2.1 反證法的邏輯依據

矛盾律和排中律是反證法在形式邏輯中的理論依據，但兩者又有差別。所謂“矛盾律”是說：如果在一個論證過程中出現了兩個相互否定的論斷，那么其中至少有一個是不成立的。而所謂“排中律”是說：任何一個判斷要么為真要么為假，二者必有其一。

清晰性和明確性是排中律對人們思維的要求，它在一定程度上繼承和發揚了同一律和矛盾律。排中律的特點指明了：正確的思維不但要求確定而且還要明確地表明立場，這一特點也為證明指明了方向。

排中律和矛盾律既有共同點又有不同點。共同點是不能存在邏輯矛盾是兩者的共同要求，違反排中律的同時也必然違反了矛盾律。它們的不同點在于：矛盾律是指若兩個判斷相互否定，則它們當中必有一個為假；排中律是指若兩個判斷相互否定，則它們當中必有一個為真。

2.2 反證法的種類

反證法在運用過程當中一定要注意歸謬的作用，歸謬是反證法在證題時的至關重要的一步。由于所做的假設會有各種各樣的情形，我們又將歸謬法分為窮舉歸謬法和簡單歸謬法。

包含原命題結論的反面是反證法改證的等價命題的必要條件。窮舉法是指命題結論的反面至少有兩種情況。歸謬法是指命題結論的反面只存在一種情況。下面我們分別討論這兩種反證法的邏輯依據。

2.3 反證法的步驟

（1）反設：假設原命題的結論不成立，而設命題結論的否定成立。

（2）歸謬：經過嚴格的邏輯推理，證明最后出現了矛盾，而這些矛盾是與某些定理、公理、定義、甚至題設是相矛盾的。

（3）結論：由于推理正確，所以假設不成立是出現矛盾的原因。假設不成立自然可以推出原命題是成立的。

3 反證法在數學中的應用

反證法在三角、數論、代數、解析幾何、立體幾何這幾個方面都有很廣泛的應用，尤其是在平面幾何教材中，反證法更是具有舉足輕重的作用。但是經過許多教學的實踐，總結出以下命題比較適合使用反證法。

3.1 否定性命題

這類命題的結論會出現“不能……”“不是……”“沒有……”這樣形式的字眼，我們應該很容易的想到用反證法證明。

例1：圓有兩條相交弦分別是，且它們不全為直徑，

求證：不能互相平分。

證明：假設弦被點平分，

由于點一定不為圓心，連接，

則，

即過一點有兩條直線與垂直，

這與垂線的相關定理矛盾，所以假設不成立。

3.2 限定式命題

即命題的結論含有“至多、至少、不少于、最多”等這樣的限定詞語。

例1：已知函數f（x）是單調函數，則方程f（x）=0 最多只有一個實數根。

證：假設方程至少有兩個根x1，x2 （x1≠x2），

則有f（x1）=f（x2） （x1≠x2）

這與函數單調的定義顯然相矛盾，所以原命題成立。

例2：若p>0，q>0，p3+q3=2。試證：p+q≤2。

證明：此題直接證明p+q≤2是比較困難的，故下面我們用反證法來證。

假設p+q>2，

∵p>0，q>0，

∴（p+q）3=p3+3p2q+3pq2+q3>8

又∵p3+q3=2。代入上式得：3pq（p+q）>6。即pq（p+q）>2①又由p3+q3=2得（p+q）（p2-pq+q2）=2②由①②得pq（p+q）>（p+q）（p2-pq+q2）

∵p+q>0。

∴pq>p2-pq+q2p2-2pq+q2<0（p-q）2<0與（p-q）2≥0

這是互相矛盾的結果，

∴假設p+q>2不成立。故p+q≤2。

3.3 無窮性命題

此種命題涉及各種“無限”結論的命題。

例1求證：是無理數。

分析：由于題目只提供給我們了證題的結論沒有其它的已知條件，所以直接證明是比較困難的。而且我們又很難將具體的無理數特征表示出來，若我們反設是有理數，這樣我們就能很容易的將它表示出來，即可以將表示成一個分數的形式。

證明：假設不是無理數，則存在且互素，

使，從而，為偶數，記為，∴，

∴，則也是偶數。

因為，都是偶數與、互素相矛盾，所以是無理數。

例2：求證：素數有無窮多個。

證明：假設素數只有n個：P1、P2……Pn，取整數N=P1·P2……Pn+1，顯然我們所設的這n個數都不能整除N，因此，要么N本身就是素數（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任意一個），要么N還有其它的素數t，但t不在所做假設的n個之內，但這都與原來的假定相矛盾，故素數個數為有限個是不成立的所以原命題成立。

3.4 逆命題

利用原命題的結論來證明某些命題的逆命題有時會很方便，即用反證法（圖1）。

例 正命題：若四邊形有一個內切圓，則對邊之和必相等。

逆命題：若四邊形對邊之和相等，則它必有一個內切圓。

逆命題的證明：如圖，若AB+CD=AD+BC（1），否定結論：設ABCD沒有一個內切圓，則可作圓O與除BC以外的直線相切，過C作圓O的切線交AB于點E，由原命題知：AE+CD=AD+CE（2）。

若BC與圓O相離，（1）-（2）得AB-AE=BC-CEBC=CE+BE，這與三角形的性質相矛盾；

若BC與圓O相交，（2）-（1）得AE-AB=CE-BCBC=CE+BE，同樣矛盾，所以BC與圓O只能相切，故原命題成立。

3.5 一些存在性命題

此種命題含有“存在，必有”等這樣的結論

例 設x，y∈（0，1），試證：對于a，b∈R，一定存在滿足題意的x，y，使|xy-ax-by|≥成立.

證明：假設對于一切x，y∈〔0，1〕使得|xy-ax-by|<恒成立，令x=0，y=1，則|b|<令x=1，y=0，得|a|<令x=y=1，得|1-a-b|<但|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1--=相矛盾，故而結論正確。

3.6 全稱肯定性命題

此種命題即結論以“……總是……”、“……都……”、“……全……”等出現的命題。

例 求證：無論是什么自然數，總是既約分數。

證明：假設不是既約分數，令（1），（2）（），且為既約，由（2）×3-（1）×2得，因為為整數，為分數，則不成立，故假設不成立，分數是既約的。

3.7 某些不等量命題

若這類命題的反面沒有無窮多種情況，那么用反證法來證明是非常不錯的一種選擇。若結論的反面恰與前者相反，就不能用反證法來證。

例1：已知a、b、c、d∈R，且ad-bc=1，求證：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。

證明：假設a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，把ad-bc=1代入前式得：a2+b2+c2+d2+ab+bc-ad+cd=0 即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）2=0

∵a、b、c、d∈R

∴a+b=b+c=c+d=a-d=0

∵a=b=c=d，故與已知相矛盾。故假設不成立，原命題成立。

例2：在△ABC中，∠C>∠B，求證：AB>AC（圖2）。

證明：假設AB小于等于AC，下面我們討論AB

若AB=AC，則△ABC為等腰三角形，∴∠B=∠C，與已知∠C>∠B矛盾。

若AB∠BDC=∠ACD而∠ACD>∠ACB=∠C∴∠ABC>∠C即∠B>∠C與已知相矛盾.∴假設不成立，原命題成立.

3.8 基本命題

起始性命題是比較難直接證明的，因為已知條件及由已知條件推出的結論比較少。在證題中能運用的定理、定義、公理也很少，我們此時應該考慮用反證法來解決問題。因此學科中的初始性命題大多數適合用反證法來證，一般不考慮直接證明的方法。

例1：已知：（如圖3）AB⊥EF于M。CD⊥EF 于N。求證：AB∥CD

證明：假設AB，CD相交，且設AB，CD交于點Q；

則過Q點有AB⊥EF，且CD⊥EF，這顯然是矛盾的，

∴假設不成立，則AB∥CD。

例2：求證：已知：（如圖4）直線a、b相交于點P，求證：a、b只有一個交點。

證明：假定a，b還有一個交點為點Q，但點P與點Q不重合；

所以直線a、b都是由P、Q確定的直線，則與已知公理相矛盾，故假設不成立，于是原命題成立。

數學在諸多學科中是一門邏輯性比較強的學科，而反證法又是數學中一種相當重要的證明命題的方法。學習和運用反證法不僅能培養我們的邏輯思維能力，對解決實際問題也有很大幫助。學習和運用反證法不僅能開拓思維、開闊思路，還能使我們的思維具有嚴謹性、創造性。學習和運用反證法會使我們形成一種嚴謹思考問題的習慣，這對于我們日后學習其它的數學知識和數學方法也是大有益處的。無論是數學中的小問題還是數學中的一些基本性質，抑或是著名的世界性難題和猜想，實踐證明運用反證法證明是一個明智的選擇。

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