線性廣義時(shí)滯系統(tǒng)的同時(shí)控制

摘 要：該文討論了一組線性廣義時(shí)滯系統(tǒng)的同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題。首先，基于Lyapunov-Krasovskii泛函以線性矩陣不等式（LMI）形式給出多個(gè)無(wú)控制輸入的時(shí)滯廣義系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖、同時(shí)鎮(zhèn)定且具有性能的充分條件；其次，給出了狀態(tài)反饋形式的控制器的設(shè)計(jì)方法使得廣義時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)不僅正則、無(wú)脈沖、漸近穩(wěn)定而且具有性能。所求控制器是由一組嚴(yán)格線性矩陣不等式（LMI）利用matlab工具箱運(yùn)行求解得到，這種方法求解比較方便而且也有效地避免了系統(tǒng)中矩陣的分解；最后，利用仿真算例驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的可行性。

關(guān)鍵詞：廣義時(shí)滯系統(tǒng) 線性矩陣不等式（LMI） 同時(shí)鎮(zhèn)定 控制

中圖分類(lèi)號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）08（b）-0051-03

廣義系統(tǒng)是一類(lèi)有著一般化形式的動(dòng)力系統(tǒng)，在工程中有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景。比如：電路，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。時(shí)滯是復(fù)雜工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中普遍存在的現(xiàn)象，它的存在使被控對(duì)象處于不穩(wěn)定狀態(tài)。因此，研究時(shí)滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和控制是學(xué)者最關(guān)注的問(wèn)題。近年來(lái)， E.Fridman[1]研究了多時(shí)滯與分布時(shí)滯廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。然而實(shí)際工程問(wèn)題中，所設(shè)計(jì)的控制器首先使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定，再考慮使其滿足一定的系統(tǒng)性能要求，如魯棒性、保代價(jià)性、性能等。如楊帆[2]、吳正剛[3]等，不足之處在于他們并未考慮多個(gè)時(shí)滯系統(tǒng)的同時(shí)鎮(zhèn)定與控制問(wèn)題。多個(gè)系統(tǒng)的同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題也是系統(tǒng)與控制理論的基本問(wèn)題，有著廣泛的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。相關(guān)研究學(xué)者關(guān)強(qiáng)[4]等人對(duì)同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題進(jìn)行研究。不足在于他們都沒(méi)有考慮時(shí)滯的出現(xiàn)。目前，據(jù)我們查閱的資料來(lái)看，學(xué)者對(duì)廣義時(shí)滯系統(tǒng)的同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題研究比較少。該文針對(duì)時(shí)滯廣義系統(tǒng)多個(gè)受控對(duì)象的同時(shí)鎮(zhèn)定與控制問(wèn)題展開(kāi)討論。基于多個(gè)系統(tǒng)同時(shí)的Lyapunov-Krasovskii泛函并結(jié)合LMI得到多個(gè)系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖、同時(shí)漸近穩(wěn)定且滿足性能的充分條件和同時(shí)鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)。所得結(jié)果可根據(jù)Matlab工具箱運(yùn)行求解。

1 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

考慮如下廣義時(shí)滯系統(tǒng)，它們的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為：

（1）

其中為系統(tǒng)（1）的狀態(tài)向量，為控制輸入，為控制輸出。為常數(shù)，是有限能量的外部擾動(dòng)輸入，即。為相容性初始函數(shù)，各系數(shù)矩陣為適當(dāng)維數(shù)常數(shù)陣，為第個(gè)系統(tǒng)的奇異陣，特別地。

該文的目的是對(duì)系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋控制其中為反饋增益矩陣。

得到閉環(huán)系統(tǒng)：

（2）

其中 滿足下面的兩個(gè)性質(zhì)：

一是時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)（3）正則、無(wú)脈沖、漸近穩(wěn)定；二是零初始狀態(tài)下，對(duì)任意給定的有：，。

引理1[5]對(duì)于任意矩陣，和對(duì)稱(chēng)正定矩陣，有以下不等式成立：

引理2[5]廣義系統(tǒng)是正則、無(wú)脈沖、穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣滿足：

，

引理3[5]設(shè)正則、無(wú)脈沖，則存在可逆陣，，使得下式成立：

，

2 主要結(jié)果

首先考慮m個(gè)無(wú)控制輸入的時(shí)滯系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖、同時(shí)漸近穩(wěn)定且具有的充分條件：

（3）

定理1 若存在非奇異矩陣和正定對(duì)稱(chēng)矩陣使得下列矩陣不等式同時(shí)成立

（4）

（5）

則對(duì)給定的實(shí)數(shù)，（3）式系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖、漸近穩(wěn)定且具有性能。

證明： （5）式由schur補(bǔ)引理知：

（6）

式（6） 結(jié)合引理1有下式成立：

上式與（4）式結(jié)合由引理2知：（3）中系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖，下證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由引理3知：（3）式中系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖時(shí)存在一組非奇異矩陣使得：

，，

其中，，引入坐標(biāo)變換

使得（3）式等價(jià)于：

（7）

取候選的Lyapunov-Krasovskii泛函為：

（8）

由（7）式知，對(duì)于（3）式中系統(tǒng)存在維可逆矩陣，正定矩陣使得（8）式等價(jià)于：

（9）

其中，且，滿足

（10）

假設(shè)，由的形式知：，其中且可逆，無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)過(guò)的解為。因?yàn)椋终ǎ瑒t（9）式中正定。

式（9）沿著系統(tǒng) （7）對(duì)求導(dǎo)得：

由引理1知：

則有

由（11）式知：，負(fù)定。由Lyapunov-Krasovs

kii定理可知：（3）式中系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖、漸近穩(wěn)定，下證（3）中系統(tǒng)具有性能。令控制中函數(shù)指標(biāo)為，則有

（11）

取m個(gè)系統(tǒng)Lyapunov-Krasovskii泛函為：

由于，且為正定矩陣，則。由（11）式得：

（12）

沿（3）中系統(tǒng)有

則（12）式可化為矩陣不等式形式為：

（13）

記式（13）中矩陣為，若令，由schur引理知：式（5）成立，此時(shí)，即，（3）中系統(tǒng)具有性能，證畢。

下面給出廣義時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)（3）狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)：

定理2 給定，若存在可逆陣，正定對(duì)稱(chēng)矩陣，及矩陣滿足

（14）

（15）

則閉環(huán)系統(tǒng)（2）是可具有性能的，且系統(tǒng)的控制律。

證明：由定理1知：廣義時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)（2）正則、無(wú)脈沖、穩(wěn)定且具有性能的充分條件為：存在非奇異矩陣和正定對(duì)稱(chēng)矩陣，使得下面矩陣不等式同時(shí)成立

（16）

（17）

對(duì)（16）左乘，右乘，把代入（17）中，并對(duì)其左乘{(lán)}，右乘{(lán)}，利用變量替換，令，則上式（16）可化成式（14），式（17）可化成式（15）。此時(shí)，則存在反饋控制律。

3 仿真例子

在系統(tǒng)（1）中，我們?nèi)=2，相關(guān)的參數(shù)及性能指標(biāo)如下：

利用Matlab LMI Toolbox求LMI（14），（15）得到控制器為：

4 結(jié)語(yǔ)

該文針對(duì)一組廣義時(shí)滯系統(tǒng)的同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題進(jìn)行研究。給出使得閉環(huán)系統(tǒng)正則、無(wú)脈沖、同時(shí)穩(wěn)定且具有性能的控制器設(shè)計(jì)方法。最后，仿真算例驗(yàn)證了該文方法的有效性。

參考文獻(xiàn)

[1]E.Fridman. Effects of small delays on stability of singular perturbed systems[J].Automatica，2002， 38（5）：897-902.

[2]楊帆，張慶靈.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯廣義系統(tǒng)的魯棒控制[J].控制工程，2006，13（4）：324-326.

[3]Wu Z.G.，Su H.Y.，Chu J.filtering for singular systems with time-varying delay[J]，International Journal of Robust and Nonlinear control，2010，20（11）：1269-1284.

[4]關(guān)強(qiáng)，何冠男，王龍等.線性系統(tǒng)的同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題[J].控制理論與應(yīng)用，2011，28（1）：1-10.

[5]魯仁全，蘇宏業(yè)，薛安克，等.奇異系統(tǒng)的魯棒控制理論[M]，北京：科學(xué)出版社，2008.