線性廣義時滯系統的同時控制

摘 要：該文討論了一組線性廣義時滯系統的同時鎮定問題。首先，基于Lyapunov-Krasovskii泛函以線性矩陣不等式（LMI）形式給出多個無控制輸入的時滯廣義系統正則、無脈沖、同時鎮定且具有性能的充分條件；其次，給出了狀態反饋形式的控制器的設計方法使得廣義時滯閉環系統不僅正則、無脈沖、漸近穩定而且具有性能。所求控制器是由一組嚴格線性矩陣不等式（LMI）利用matlab工具箱運行求解得到，這種方法求解比較方便而且也有效地避免了系統中矩陣的分解；最后，利用仿真算例驗證設計方法的可行性。

關鍵詞：廣義時滯系統 線性矩陣不等式（LMI） 同時鎮定 控制

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）08（b）-0051-03

廣義系統是一類有著一般化形式的動力系統，在工程中有較強的實際應用背景。比如：電路，神經網絡等。時滯是復雜工業生產過程中普遍存在的現象，它的存在使被控對象處于不穩定狀態。因此，研究時滯系統的鎮定和控制是學者最關注的問題。近年來， E.Fridman[1]研究了多時滯與分布時滯廣義系統的穩定性問題。然而實際工程問題中，所設計的控制器首先使閉環系統鎮定，再考慮使其滿足一定的系統性能要求，如魯棒性、保代價性、性能等。如楊帆[2]、吳正剛[3]等，不足之處在于他們并未考慮多個時滯系統的同時鎮定與控制問題。多個系統的同時鎮定問題也是系統與控制理論的基本問題，有著廣泛的理論意義和工程應用價值。相關研究學者關強[4]等人對同時鎮定問題進行研究。不足在于他們都沒有考慮時滯的出現。目前，據我們查閱的資料來看，學者對廣義時滯系統的同時鎮定問題研究比較少。該文針對時滯廣義系統多個受控對象的同時鎮定與控制問題展開討論。基于多個系統同時的Lyapunov-Krasovskii泛函并結合LMI得到多個系統正則、無脈沖、同時漸近穩定且滿足性能的充分條件和同時鎮定控制器設計。所得結果可根據Matlab工具箱運行求解。

1 問題描述與預備知識

考慮如下廣義時滯系統，它們的狀態空間實現為：

（1）

其中為系統（1）的狀態向量，為控制輸入，為控制輸出。為常數，是有限能量的外部擾動輸入，即。為相容性初始函數，各系數矩陣為適當維數常數陣，為第個系統的奇異陣，特別地。

該文的目的是對系統引入狀態反饋控制其中為反饋增益矩陣。

得到閉環系統：

（2）

其中 滿足下面的兩個性質：

一是時閉環系統（3）正則、無脈沖、漸近穩定；二是零初始狀態下，對任意給定的有：，。

引理1[5]對于任意矩陣，和對稱正定矩陣，有以下不等式成立：

引理2[5]廣義系統是正則、無脈沖、穩定的，當且僅當存在矩陣滿足：

，

引理3[5]設正則、無脈沖，則存在可逆陣，，使得下式成立：

，

2 主要結果

首先考慮m個無控制輸入的時滯系統正則、無脈沖、同時漸近穩定且具有的充分條件：

（3）

定理1 若存在非奇異矩陣和正定對稱矩陣使得下列矩陣不等式同時成立

（4）

（5）

則對給定的實數，（3）式系統正則、無脈沖、漸近穩定且具有性能。

證明： （5）式由schur補引理知：

（6）

式（6） 結合引理1有下式成立：

上式與（4）式結合由引理2知：（3）中系統正則、無脈沖，下證系統的穩定性。由引理3知：（3）式中系統正則、無脈沖時存在一組非奇異矩陣使得：

，，

其中，，引入坐標變換

使得（3）式等價于：

（7）

取候選的Lyapunov-Krasovskii泛函為：

（8）

由（7）式知，對于（3）式中系統存在維可逆矩陣，正定矩陣使得（8）式等價于：

（9）

其中，且，滿足

（10）

假設，由的形式知：，其中且可逆，無擾動系統過的解為。因為，又正定，則（9）式中正定。

式（9）沿著系統 （7）對求導得：

由引理1知：

則有

由（11）式知：，負定。由Lyapunov-Krasovs

kii定理可知：（3）式中系統正則、無脈沖、漸近穩定，下證（3）中系統具有性能。令控制中函數指標為，則有

（11）

取m個系統Lyapunov-Krasovskii泛函為：

由于，且為正定矩陣，則。由（11）式得：

（12）

沿（3）中系統有

則（12）式可化為矩陣不等式形式為：

（13）

記式（13）中矩陣為，若令，由schur引理知：式（5）成立，此時，即，（3）中系統具有性能，證畢。

下面給出廣義時滯閉環系統（3）狀態反饋控制器設計：

定理2 給定，若存在可逆陣，正定對稱矩陣，及矩陣滿足

（14）

（15）

則閉環系統（2）是可具有性能的，且系統的控制律。

證明：由定理1知：廣義時滯閉環系統（2）正則、無脈沖、穩定且具有性能的充分條件為：存在非奇異矩陣和正定對稱矩陣，使得下面矩陣不等式同時成立

（16）

（17）

對（16）左乘，右乘，把代入（17）中，并對其左乘{}，右乘{}，利用變量替換，令，則上式（16）可化成式（14），式（17）可化成式（15）。此時，則存在反饋控制律。

3 仿真例子

在系統（1）中，我們取m=2，相關的參數及性能指標如下：

利用Matlab LMI Toolbox求LMI（14），（15）得到控制器為：

4 結語

該文針對一組廣義時滯系統的同時鎮定問題進行研究。給出使得閉環系統正則、無脈沖、同時穩定且具有性能的控制器設計方法。最后，仿真算例驗證了該文方法的有效性。

參考文獻

[1]E.Fridman. Effects of small delays on stability of singular perturbed systems[J].Automatica，2002， 38（5）：897-902.

[2]楊帆，張慶靈.基于神經網絡的時滯廣義系統的魯棒控制[J].控制工程，2006，13（4）：324-326.

[3]Wu Z.G.，Su H.Y.，Chu J.filtering for singular systems with time-varying delay[J]，International Journal of Robust and Nonlinear control，2010，20（11）：1269-1284.

[4]關強，何冠男，王龍等.線性系統的同時鎮定問題[J].控制理論與應用，2011，28（1）：1-10.

[5]魯仁全，蘇宏業，薛安克，等.奇異系統的魯棒控制理論[M]，北京：科學出版社，2008.