論高中數(shù)學(xué)中空間向量與立體幾何

摘 要：空間向量是指在空間中，既有大小又有方向的量。根據(jù)空間向量基本定理，空間中任何一個向量均可以由不共面的三個向量線性表出。因此對于立體幾何里面的線線，面面等之間的關(guān)系問題，只要已知三個向量的模及他們之間的夾角，其他向量均可由它們線性表出，再進行向量運算來解決。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；運算；問題

在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較繁雜，而運用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則能使過程得到大大的簡化.用向量法解決幾何問題有著思路清晰、過程簡潔的優(yōu)點，往往會產(chǎn)生意想不到的神奇效果.著名教育家布魯納說過：“學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣，簡單的重復(fù)將會引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退.”這充分揭示了方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)向量過程中產(chǎn)生的障礙并且提供相應(yīng)的教學(xué)對策，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

一、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

例 如圖所示，四面體ABCD中， E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2， AB=AD=

（1）求點E到平面ACD的距離。

分析：假設(shè)過點E的向量為平面ACD的法向量，欲求E點到平面ACD的距離只需求

在投影即可.我們知道垂直于平面ACD，因而它垂直平面ACD所有直線，不妨以為一組基，則，因為AB=AD=DB-2， CA=CB=CD=BD=2，所以，

根據(jù)法向量定義得

化簡得到如下方程

在上述解題過程中我們沒有建立直角坐標(biāo)系，而是任取空間三個不共面向量作基底，很顯然在立體幾何所給的已知條件中這點很容易具備的，因而這個方法具有很普遍的適應(yīng)性.還是這題條件，我們來嘗試另外一個重要問題。……