|x|α在第二類Chebyshev結點的有理插值

張慧明, 段生貴, 李建俊(. 石家莊經濟學院 數理學院, 河北 石家莊 05003; . 河北師范大學 附屬民族學院, 河北 石家莊 05009)

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|x|α在第二類Chebyshev結點的有理插值

張慧明1, 段生貴1, 李建俊2
(1. 石家莊經濟學院 數理學院, 河北 石家莊 050031; 2. 河北師范大學 附屬民族學院, 河北 石家莊 050091)

Lagrange插值; 第二類Chebyshev結點; 有理插值; Newman-α型有理算子; 逼近階

1 引言及預備知識

令f(x)∈C[-1,1],則基于結點組X={xk:-1≤x0

其中

f的連續性并不能保證在n→∞時,Ln(f,X,x)處處收斂于f(x).

1918年,S. Bernstein[1]證明了一個經典的結果,即對于等距結點

j=0,1,2,…,n,n∈N, ?x∈(-1,1),

|x|的Lagrange插值多項式逼近|x|也是除了±1和0外處處發散.1964年,D. J. Newman[16]引入有理函數rn(x),發現它遠遠優于其Lagrange插值多項式逼近,得到結果：當n≥5時,有下式成立

由于有理函數對于|x|有很好的逼近效果,是否也可以考慮用有理函數逼近|x|α(0<α<1)？

本文類似于Newman型有理算子[17]定義如下Newman-α型有理算子

其中

結點組可以取作

X={xk:0

當α=1時,也就是以前考慮|x|的有理插值問題,相應的Newman-α型有理算子也就是Newman型有理算子.

2 rn,α(X;x)在(-∞,+∞)與|x|α共單調

文獻[17]構造的Newman型有理算子在(-∞,+∞)與|x|有共單調性,現在構造的Newman-α型有理算子在(-∞,+∞)有同樣的性質.

定理 1rn,α(X;x)在(-∞,+∞)與|x|α有共單調性.

Y={0

其中

結點組取作Y={0

由于rn,α(X;x)和|x|α都是偶函數,可得：rn,α(X;x)在(-∞,+∞)與|x|α有共單調性.所以只需考慮[0,+∞)即可.

3 rn,α(X;x)在第二類Chebyshev結點對|x|α的有理逼近

).

要證明以上定理需要用如下一些基本引理.

引理 1 當m1≤m2≤n時,有以下不等式成立

證明 原不等式較繁,兩邊同時乘以

并化簡得

要證明原不等式,只需證明以上不等式,即證

引理1不等式得證.

引理 2 當a>b>1時,有以下不等式成立

證明 首先看以下不等式

(c+d)(cm-1+cm-2d+cm-3d2+…+dm-1)=

cm+2(cm-1d+cm-2d2+…+cdm-1)+dm>

cm+(2m-1)dm,c>d,m∈N*.

由以上兩式相除即得引理2.

定理2的證明 由于rn-1,α(U;x)和|x|α均為偶函數,所以只考慮區間[0,1]即可.

|en-1,α(U;x)|=||x|α-rn-1,α(U;x)|≤

其中

由上式得

|en-1,α(U;x)|=

利用引理1中不等式得

利用引理2中不等式得

所以有

|en-1,α(U;x)|=

綜合1)和2),定理得證.

4 分析小結

[1] Bernstein S. Quelques remarques surl interpolation[J]. Math Ann,1918,79:1-12.

[2] Natanson I P. Constructive Function TheoryⅢ[M]. New York:Fredrick Ungar,1965:30-35.

[3] Revers M. The divergence of Lagrange interpolation for |x|αat equidistant notes[J]. J Approx Theory,2000,103:269-280.

[4] Revers M. On Lagrange interpolatory parabolas to |x|αat equally spaced nodes[J]. Archiv Der Math,2000,74:385-391.

[5] Brutman L, Passow E. On the divergence of Lagrange interpolation to |x|[J]. J Approx Theory,1995,81:127-135.

[6] 何國龍,陳志祥,周頌平. 插值多項式對函數|x|α的逼近[J]. 浙江大學學報:理學版,2004,31(1):21-23.

[7] 盧志康,吳曉紅. 插值多項式對函數|x|α的逼近[J]. 浙江大學學報:理學版,2006,33(6):610-612.

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[9] 吳曉紅,盧志康. 拉格朗日插值多項式對函數|x|α的逼近[J]. 杭州師范大學學報:自然科學版,2012,11(4):302-304.

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[11] Lu Z K, Ge X F. The exact convergence rate at zero of Lagrange interpolation polynomial to |x|α[J]. Analysis Theory Appl,2006,23(3):201-207.

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[14] 郭妞萍,黃志強. 在等距節點處對函數|x|α進行拉格朗日插值時的收斂性[J]. 西南民族大學學報:自然科學版,2006,32(6):1106-1110.

[15] 黃志強,郭妞萍. 在等距節點處對函數|x|α(3<α<4)進行拉格朗日插值的收斂階[J]. 西南民族大學學報:自然科學版,2011,37(1):19-22.

[16] Newman D J. Rational approximation to |x|[J]. Mich Math J,1964,11:11-14.

[17] Brutman L, Passow E. On rational interpolation to |x|[J]. Constr Approx,1997,13:381-391.

[18] 張慧明,李建俊. |x|在第二類Chebyshev結點的有理逼近[J]. 鄭州大學學報:理學版,2010,42(2):1-3.

2010 MSC：41A20; 41A25

(編輯 李德華)

On Rational Interpolation to |x|αat the Chebyshev Nodes of the Second Kind

ZHANG Huiming1, DUAN Shenggui1, LI Jianjun2
(1.SchoolofMathematicsandPhysics,ShijiazhuangCollegeofEconomics,Shijiazhuang050031,Hebei;2.AffiliatedCollegeofMinorityEducation,HebeiNormalUniversity,Shijiazhuang050091,Hebei)

Lagrange interpolation; Chebyshev nodes of the second kind; rational interpolation; Newman-αtype rational operator; order of approximation

2014-03-14

河北省高等學校科學技術研究青年基金(QN2014018)

張慧明(1978—),男,講師,主要從事函數逼近論的研究,E-mail:zhanghm1978@126.com

O174.41

A

1001-8395(2015)06-0889-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.019