求通項公式中的“當當”

朱秀華

摘 要：根據數列的前n項和與第n項an的關系求數列的通項公式是數列中的一個重要問題，在解題過程中，學生容易忽略Sn-1成立的前提條件是n≥

2（n∈N）而導致錯誤。本文通過對錯解進行分析，說明由數列的前n項和Sn與第n項an的關系求數列的通項公式是一個分段函數。

關鍵詞：數列；通項公式

例：已知數列{an}的前n項和為Sn，且an+1=Sn-n+3，n∈N，a1=2，求數列{an}的通項公式。

在之前的學習中，我們知道，由Sn=a1+a2+…+

an-1+an得Sn-1=a1+a2+…+an-1，于是，當n≥2時，an=Sn-Sn-1，而當n=1時，an=S1，因此an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2

但是學生們對于這個分段的關系式掌握不好，經常忽略n=1和n≥2時這個關系式具有完全不同的表現形式，所以講課時我特別強調在利用這個關系式時要注意“定義域”，過程中應該出現“當當”。下面是學生們經常犯的錯誤。

錯解一：由Sn=an+1+n-3

得Sn-1=an+（n-1）-3 ①

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1）

故{an-1}是以1為首項，2為公比的等比數列。

∴an=2n-1+1

在這個解題過程中，完全忽略了①式中Sn-1有意義的前提是當n≥2時，想當然地認為n從1開始取。

錯解二：由Sn=an+1+n-3

得，當n≥2時，Sn-1=an+（n-1）-3

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1） ②

故{an-1}是以1為首項，2為公比的等比數列。

∴an=2n-1+1

當n=1時，a1=2，符合。

∴an=2n-1+1

這里只是注意了“當當”的形式，而非實質。雖然在式中，注意到Sn-1有意義的前提是當n≥2時，但當n≥2時，n的最小取值為2，所以②式要從a3-1=2（a2-1）開始，沒有a2-1=2（a1-1）。那么a2-1=2（a1-1）是否成立需要我們驗證。若這個式子成立，則數列{an-1}是以1為首項，2為公比的等比數列，否則，數列{an-1}是從第二項起的等比數列，即：

an-1=a1-1，n=1（a2-1）qn-2，n≥2

正解：Sn=an+1+n-3

當n≥2時，Sn-1=an+（n-1）-3

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1）

又a2=2-1+3=4，∴a2-1≠2（a1-1）

故{an-1}是從第二項起以2為公比的等比數列。

∴an=2，n=13·2n-2，n≥2

變式：已知數列{an}中，a1=1，前n項的和為Sn，對任意的自然數n≥2，an是3Sn-4與2-Sn-1的等差中項。則通項an=____________。

解：由已知當n≥2時，2an=3Sn-4+2-Sn-1，

故有當n≥3時，2an-1=3Sn-1-4+2-Sn-2，

兩式相減得：an=-an-1，

當n=2時，2a2=3S2-2-S1，解得a2=，

即a2≠-a1，所以，數列{an}是從第二項起的等比數列，

所以an=1，n=1--？搖n-1，n≥2

（作者單位：河北省石家莊二中實驗學校）