曲線方程的幾種常規求法

王憲春

通過曲線上的點集與方程的解集間的一一對應關系，建立曲線與方程的對應關系，是解析幾何的核心問題。在學習了直線、圓、圓錐曲線的方程以后，進一步探究曲線與方程間的關系，并通過方程研究曲線的性質，深刻認識方程的幾何意義。而求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是用代數方法研究幾何問題的基礎。

求曲線方程，一般有五個步驟，這五個步驟和列方程解應用題的步驟完全類似。

（1）依據已知幾何條件建立適當的直角坐標系，用（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標；

（2）列出適合條件p的點M的集合P={M|P（M）}；（此步根據情況可以省略）

（3）用坐標表示條件P（M），列出方程=f（x，y）=0；

（4）化方程f（x，y）=0為最簡形式；

（5）證明化簡后的方程為所求曲線的方程，即驗證以（4）中方程的解為坐標的點都在曲線上。

簡記為建系、列式、代換、化簡、證明。

為了幫助同學們更好地理解、掌握這類題型，下面我們結合具體的實例，對求一般曲線的過程和常用方法予以說明。

一、直接法

如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，那么我們只需利用解析幾何中的一些基本定理和公式，直接列出動點的坐標（x，y）所滿足的關系式，通過化簡整理便可得到曲線的軌跡方程。

例1：試求到兩坐標軸距離之差恒為2的點的軌跡。

解析：設P（x，y）為軌跡上任意一點，則|x|-|y|=2。

當x≥0，y≥0時，方程為x-y=±2，此時軌跡為以（2，0），（0，2）為端點，斜率為1的兩條射線；

當x≤0，y≥0時，方程為x+y=±2，此時軌跡為以（-2，0），（0，2）為端點，斜率為-1的兩條射線；

當x≤0，y≤0時，方程為y-x=±2，此時軌跡為以（-2，0），（0，-2）為端點，斜率為1的兩條射線；

當x≥0，y≤0時，方程為x+y=±2，此時軌跡為以（2，0），（0，-2）為端點，斜率為-1的兩條射線。（曲線如右圖）

評注：本題中，已經給定了坐標系，并且等量關系可以直接得到，因此用此法求解最方便。

二、代入法

如果動點P（x，y）與Q（a，b）之間滿足某些關系式，先寫出P與Q之間的坐標關系，并用Q的坐標表示P的坐標，而后代入P的坐標所滿足的關系式，并化簡整理，即得所求方程。

例2：設M為已知圓O：x2+y2=a2上任意一點，圓O和x軸的兩個交點為A1（-a，0），A2（a，0），從A2作直線垂直于圓O在M點的切線MB，交直線A1M于P，求P點軌跡方程。

解：當M在A2處時，從A2作垂直于MB的直線就是x軸，它與直線A1M重合，此時點P的軌跡方程是y=0；

當M在A1處時，與題中直線A1M不符。

三、參數法

有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發現（或經分析可發現）這個動點常常受到另一個變量的制約，或者用這個變量可以將動點坐標（x，y）中的x，y表示出來。此時可以取這個變數為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫作參數法，如果需要得到軌跡的普通方程，需要將參數消去。

例3：在正方形ABCD中，AB、BC邊上各有一個動點Q、R，且|BQ|=|CR|，試求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程。

分析：交點P受Q與R的制約，因此，選擇的參數要與Q、R有直接聯系，故可以選取AQ與BR為參數。

解：如圖，取A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，正方形ABCD邊長為a，取AQ=t，BR=t。

評注：本題使用參數法求軌跡，取AQ=t，即以t為參數統一x，y，最后消去參數，用參數求軌跡要注意合理選擇參數，作參數的量常是動點的坐標。

（作者單位：內蒙古巴彥淖爾市臨河區第一中學）