“差比型”數列求和解法探究

梁志永　林志森

若數列an為等差數列，數列bn為等比數列，則稱數列an·bn為“差比型”數列。“差比型”數列的前n項求和問題的考查在高考中經久不衰，出現在近三年的高考試題部分展示如下：

1.（2012天津，理18）已知an是等差數列，其前n項和為Sn，bn是等比數列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10。

（1）求數列an與bn的通項公式；

（2）記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N*，證明：Tn+12=-2an+10bn（n∈N*）。

2.（2013湖南，文19）設Sn為數列an的前項和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*。

（1）求a1，a2，并求數列an的通項公式；（2）求數列nan的前n項和。

3.（2014江西，理17）已知首項都是1的兩個數列an，bn（bn≠0，n∈N？鄢）滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0。

（1）令cn=，求數列cn的通項公式；

（2）若bn=3n+1，求數列bn的前n項和Sn。

在2012年高考中，出現此類題目還有浙江（文）19、江西（理）16、江西（文）17；在2013年高考中，還有山東（文）20；在2014年高考中，還有安徽（文）18、四川（文）19、四川（理）19。此類題型在高考高頻出現，然而對“差比型”數列的前n項求和問題在平時教學中只教給學生單一的解法。若能引導學生從不同方向、不同角度多思考，激活學生思維能力，往往能獲得多種不同的解題途徑，從而提高此類題型的得分率。下面以一道習題為例說明之。

題目：（人教A版，數學必修5第69頁習題2.5A組4，求和）

通過上面一道習題卻能復習更多的數學知識，同時讓一道題目變得更豐富，知識容量更大，同學收獲更多。在平時的解題教學中，若能夠引導學生進行一些解題的思考、探究，既促進學生對所學知識的融會貫通，又可培養學生的探索與創新精神。

（作者單位：福建省南安市僑光中學）