新課程建構模式下的試題講評初探

☉浙江省余姚市第二中學 楊福來

新課程建構模式下的試題講評初探

☉浙江省余姚市第二中學 楊福來

眾所周知，數學教學是概念教學—新知教學—解題教學—反饋教學—反思教學等一系列系統的教學綜合．對整個高考應試而言，學生更直接領會的是解題教學的好壞，這就要求教師在解題教學中準確實施試題講評．在國內著名的數學論壇K12或百度貼吧里，筆者常?？吹綄W生的抱怨：我們的老師講什么都不知道，明明很簡單的問題講的方法又繁又復雜！老師講的方法我聽懂了，可是我們根本想不到！怎么破？……這就表明了解題教學中很重要的一個問題：教師在試題講評的時候如何做到以生為本？試題講評如何在新課程理念下讓學生積極參與？如何在傳統的試題講評基礎上做到螺旋式上升？筆者認為，這是教師關于試題分析教學部分一個值得全新研究的視角．

課程標準的理念一直致力于學生的自主探索和積極建構，其特別提到了數學教學如何盡可能地去形式化，如何通過對特殊情形的認知到達一般化的歸納，如何滲透主動建構知識體系的操作等.從近年的新課程教學來看，在概念教學、新知教學等方面我們做出了很多類似的嘗試和探索，在各種公開課中也聆聽了許多這樣的探求．但是筆者思考：似乎在復習課、解題課、試題分析課等環節，教師對新課程理念的合理運用和滲透并不如新知教學那么普遍，這一點很多教師都有共識．究其原因，筆者認為有三：其一，試題講評、復習教學等課程的設計不如新知教學方便，尤其在利用情境手段引導學生發現、挖掘情境背后的形式化結果方面，試題講評、復習教學難度較大，這也是此類課開設不夠普遍的原因；其二，教師自身的觀念限制和能力限制，我們知道教師在解決問題時存在知識主觀的熟練程度和習慣不同，造成了其解決問題往往從自身思考角度入手，有時這種思考角度并非是學生能夠入手的思考方向和著力點，致使試題講評未能緣自學生的思維發展區出發，有些事半功倍；其三，觀念的更新，新課程一直提倡教師專業化的成長，而不再是做一個普普通通的教書匠混日子，要有更出色的教學能力和授課水平，必須在學生最為重視的試題分析上做到潛心研究，提高自身專業化的發展．陜西師大羅增儒教授在關于如何解題、析題時說：當下數學教學的核心依舊是解題教學，因此試題的分析能力、解決問題的能力是辨別教師水平最直接的體現，我建議要用新的方式、方法去引導中學生解決數學問題，這里的方法可以是一題多解、啟發式講學、錯題辨析等多種不同的手段進行嘗試．本文鑒于上述緣由和數學解題教學泰斗羅教授的分析，從試題分析多種方式的探索，結合新課程理念做了一些初探，與大家交流．

一、花出深谷，其香尤濃——學生思維視角講評

解決某個數學問題有很多方法，教師在試題解決過程中首要考慮的是方法的簡便性、運算復雜程度等，有時正是因為考慮上述環節過多導致忽視了學生解決問題的心理機制.我們常常有這樣的感受：教師將自己的方式、方法在黑板上積極板演，講得頭頭是道，最后學生往往沒有吸收進去，而且其自己的方法也沒有弄明白，這樣的試題講評是低效的、無效的．尊崇新課程理念，筆者認為試題講評還需要從學生的學情出發，首先通過批閱查看學生對解題方法使用的分布率，其次是思考學生為何會產生如此的想法解決問題，最后是通過學生思維的視角與學生一起分析試題、解決試題，這樣的教學是有生命力的，符合學生看問題的角度，符合新課程鼓勵學生探索、積極建構方法解決問題的理念．

案例1：如圖1，過x軸上一動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點，設切線AP、AQ的斜率分別為k1和k2．

（1）求證：k1k2=-4；

圖1

（2）試問：直線PQ是否經過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

說明：本題是解析幾何中直線與拋物線位置關系的一種典型問題，考查了拋物線的切線、動直線過定點的問題.筆者將本題布置為某次作業，在批閱過程中發現學生解決問題的思維視角與教師的想法有些出入，因此筆者研究學生對于本問題的解答思路后進行了課堂試題的學生視角講評.

第一問講評如下所示.

本題是研究拋物線的切線，考慮到還未對導數進行授課，因此導數知識運用暫不予考慮.

學生視角講評1：設過A（a，0）與拋物線y=x2+1相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為：y=k（x-a）.

學生視角講評2：設點P（x1，y1）、Q（x2，y2），在這兩點處的切線分別為l1、l2.設l1：y-y1=k1（x-x1）.由

由題意知l1、l2交于點A（a，0），所以

學生視角講評3：設過A（a，0）與拋物線y=x2+1相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為：y=k（x-a）.

說明：為何講評第一問的解法呢？筆者發現：學生對于相切的認知永遠是最直白的接受和表達——Δ=0，對根的認知也非常直接——求根公式求之，因此講評1是最尊崇學生思維角度的講評，也是最容易靠攏學生思維的講評；講評2借鑒了通過導數求拋物線的切線方程的思想，通過設切點坐標，聯立方程后的判別式為0，從而得到切線方程的斜率，計算量較大，但是為解決第二問做好了充分的準備；講評3是僅有的少數優秀學生的視角，但應該是本題最簡化的視角，教師應該將這一優秀學生的視角予以呈現，用韋達定理解之是本問題最簡捷的方向.

第二問講評如下所示.

研究直線過定點是如何實現的？從最基本的知識可以知道，帶有一個參變量的直線方程可以研究其過定點，因此講評的核心是如何將直線PQ表示為關于變量a的直線.在學生解決的過程中，筆者整理了三種不同的方式予以講評.

學生視角講評3：設P（x1，y1）、Q（x2，y2），故切線AP的方程是，切線AQ的方程是又由于A點在AP、AQ上，則y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

說明：通過批閱發現，學生解決本題最易想到的視角是利用設點—求斜率—寫出直線—研究定點，因此視角1與視角2都是按照學生在閱卷中的想法進行的講評，視角3只有少數優秀學生考慮使用，其合理地借鑒了“過圓外一點作兩條切線，則兩切點連線所在的直線方程”的推導過程進行了類比處理，是思維較為高端抽象的一種體現，教師講評視角3是為了提攜學生站在更為抽象、有高度的角度看問題．

二、探索建構，悠然自得——啟發引導視角講評

在突出學生解決問題方面，筆者認為要加強學生問題解決的探索能力的培養，在試題講評中引入學生探索、建構、講評，將試題講評交還給學生，使其真正領悟到講清楚問題比會解問題更容易將知識在自身體系中完善起來．看一個案例.

案例2：設命題p：方程（m-6）x2+（m+6）y2=1表示雙曲線；命題q：方程x2+y2-2x+4y+m=0表示的曲線是圓．

（1）當m=5時，判斷命題“p且q”的真假，并說明理由；

（2）若命題“p或q”為真命題，求實數m的取值范圍．

說明：本題是筆者給予學生講評嘗試的一道數學問題，主要是請學生研究了第二問，從邏輯認知的角度使其認清楚“或”結構的命題是如何講評的，請學生探索建構．

學生探索建構1：我認為，若命題p為真命題，則-6＜m＜6，若命題p為假命題，則m≤-6或m≥6；若命題q為真命題，則m＜5，若命題q為假命題，則m≥5.因為命題“p或q”為真命題，所以分p真且q假，或p假且q真，或p真且q真三種情況，即解得m＜6．

學生探索建構2：我認為可以從反面認知本問題.若命題“p或q”為假命題，則p假且q假，m≥6，所以當命題“p或q”為真命題時，m＜6．

學生探索建構3：我想在第一位同學的解答中簡化就可以，因為命題“p或q”為真命題，所以p和q中至少有一個是真命題，即-6＜m＜6或m＜5，解得m＜6．

說明：第一位同學的解題思路凸顯了大部分學生的思路，即將問題分析清楚，分類討論必須不重、不漏，進而達到目的；第二位同學思維敏捷，考慮到問題的分類比較煩瑣，因此利用哲學思想“正難則反易”，從反面突破；第三位同學的認知水平要高于前兩位，解決“或”命題何必一定要不重、不漏地分類呢？顯然這位同學已經清晰地認知了問題，進而簡化了分析和解答．

三、再上層樓，望盡天涯——思想方法視角講評

講評問題的最高境界在于引導學生從問題中管窺到思想方法的使用，我們知道數學思想才是高中數學最終給予學生教學最高端的層次，有了思想方法，學生解決問題不再拘泥于技巧，數學學習的眼界和問題解決的思考都能望盡天涯，再上層樓．

說明：通過簡單的換元思想，結合數形結合思想，將問題轉換為二次函數問題解決，對學生而言，這種問題的處理在于講評時思想方法的滲透．

圖2

說明：講評此類含參數的三角、指數、對數等復雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數構建函數，將方程有解轉化為求函數的值域；二是換元，將復雜方程轉化為熟悉的二次方程，進而利用二次方程解的分布情況構建不等式或構造函數加以解決．本題正是以典型的問題引導學生對“有解”型問題的處理，增加其解決問題的經驗．數學思想方法的學習和運用是一個潛移默化的過程，是在多次領悟、反復應用的基礎上形成的．作為教師，應盡可能多地為學生創造條件讓學生實踐運用數學思想方法來解題，通過實踐活動中主體（學生）對客體（問題）的認知結構不斷的構建過程，促進學生數學思想的發展．試題講評是很好的總結、回顧、強化，在運用數學思想方法上肯定能得到“升華”．

總之，試題講評有了新時代的發展，不同于以往將問題隨隨便便解答即可的地步．本文從三個層面做了一定的闡述，限于水平有限，懇請讀者提出批評指正，共同研究和深化．

1.朱永祥.再談數學思想方法的挖掘和應用［J］.中學數學（上），2008（2）.

2.羅先禮.數學教學的實踐與思考［J］.中小學數學（高中版），2008（12）.

3.展國培.有效教學，從關注學生開始［J］.中小學數學（高中），2013（1）.A