在習題的講解過程中滲透數學的思想與方法*

☉華中師范大學數學與統計學學院 童揚平 徐章韜

在習題的講解過程中滲透數學的思想與方法*

☉華中師范大學數學與統計學學院 童揚平 徐章韜

一、引言

要解決“懂而不會”的現象.很多老師可能都有這樣的困惑：講解習題時，講得非常清楚了，學生卻不能理解；或者學生聽“懂了”，遇到類似的習題還是不知道該如何動手；學生能聽懂老師的講解，可是自己做題時就是難得“想到點子上”.學生能聽懂，卻不會想，這表明教師只是教會學生某些具體的招式，卻沒有教會學生思考.有可能講解過程只是展示了思維的結果，卻沒有幫助學生經歷思維的過程.在思維過程中，體現了運用數學的思想方法解決問題的方式.如果只是就題論題，沒有思維的過程，會出現許多“不自然”的地方，有些步驟就好像從天而降，也因此學生很難真正地從教師講解習題中有所收獲.教師講解習題時，應該明白解題中蘊含的思想方法，并結合學生已有的認知水平和認知規律，幫助學生經歷思維的過程，從而“自然地”弄懂解題過程.只有真正的“懂了”，意識到解題所用到的思想方法，學生才能更加靈活地解決問題［1］.

二、現象描述

某師范院校的六位數學免費師范生，在一所重點高中見習.學校安排每個人在不同的班級講一節課，內容是“同角三角函數的基本關系”.他們講解的過程表述十分清楚、明了，學生完全能夠“聽懂”教師的講解，可是卻不能夠靈活應用同角三角函數的基本關系解決問題.本文將對這一次的講解過程進行具體的分析，探究教師是如何讓學生“聽懂的”，學生的這種“懂了”是真還是假.

1.同角三角函數基本關系

如圖1，P點的坐標是（x，y），MP是正弦線，OM是余弦線，AT是正切線.根據圖1，利用勾股定理得到了sin2α+cos2α=1，并且利用比值關系得到了.關于這一部分的講解過程不是本文的重點，所以在此不再贅述.

圖1

2.講解例題

問題2：已知tanα=1，求sinα、cosα.這個問題是為了幫助學生鞏固對“同角三角函數基本關系”的理解和應用，也是希望學生能夠利用方程解題，并且考慮角所在的象限.但是問題出來之后，有學生利用幾何方法得到了結果.作出三角函數線得到圖2，利用△ATO∽△MPO，得到兩個直角三角形的斜邊與直角邊的比值相等，從而算出一組結果.

學生的解題結果中只包含了第一象限時的情況，而忽略了第三象限時的情況，但是師范生并沒有分析學生的解題過程，而是直接就利用第一題的講題模式開始講解.仍舊先判斷角α所在的象限，然后分情況討論得到結果.

問題3：已知tanα=m，求sinα、cosα.

此時，正切值不再是一個確定的值，所以角α所在的象限不能夠確定.當師范生請學生說解題思路時，大多數學生表現出不自信，不知該如何著手.有學生說，進行分類，分成m＞0和m＜0，然后每一種分類對應著兩組解.然后師范生帶領學生按照這種思路解題，得到了六組解，最后進行綜合成了四組解.

圖2

三、分析與討論

在聽課的過程中，師范生講解完前兩個例題，筆者詢問周圍的學生：“懂了沒有”，他們都非常自信的說：“懂了”.但是，當他們看到第三題時，大多數都表現得很不自信，有點兒不敢動手做.其實，讀者很容易看到第三個題目與前兩個是非常類似的，唯一的區別就是正切值不是確定的，如果學生對前面兩題真的懂了就不會表現得如此不自信，因此可以看出學生的這種“懂了”并非真正意義上的“懂了”.接下來，筆者將對三個問題的講解過程進行詳細的分析，探討出現上述“懂而不會”的問題的真正原因.

對于問題1，從學生給出的答案，可以看出他們已經知道運用同角三角函數的基本關系列方程求解了，而且計算也是正確的.只不過他們在寫答案時，沒有注意到這代表著四組結果.教師的講解，一開始就對α進行討論，首先對角分象限，討論當角分別在第三和第四象限時，對應的余弦和正切值.學生就會產生疑問：“為什么在開頭就要討論角的象限，明明對任何角都有sin2α+，我一開始就能列出方程.”再遇到類似的題目時，有的學生還是用自己原來的方法，而盲目接受老師觀點的學生一開始就會分類，根本不能明白為什么要這么做，這樣的教學效果可想而知.實際上，利用同角三角函數的基本關系求解三角函數就是一種方程思想，之所以會分出不同的情況，只是因為解方程時出現了兩個根.開始時對角所在的象限進行討論有如從天而降，并不符合學生的認知邏輯，也不符合方程的思想.

對于問題2，有學生利用數形結合的方法解題可能是老師始料未及的.雖然結果并不完整，但是很明顯這位學生在這一題中很好地應用了數形結合的方法，教師不應該不予理會.正確的處理方法應該是先肯定學生的思維，給予他表揚和鼓勵.但是老師也需要指出來，如果說正切值變得更加復雜甚至于變成一個代數式子時，這種方法就不再巧妙了.而且用幾何方法解題時，可能會出現漏掉一個象限的情況.所以稱贊之后，還是要重點講解利用方程組解題的方法.

對于問題3，這是這一節課的重點和難點，方程的思想也得到了充分的體現.教師對這一題的處理明顯也非常的不自然，不管m的正負如何，都有sin2α+cos2α=1，完全沒必要先對m進行分類.

問題1和問題2都是教材上的例題，教材編寫這兩個問題的意圖很明顯，是希望學生能夠利用同角三角函數的基本關系列方程求解三角函數值，分類討論只是因為角的正負決定了角所在的象限，并不是解決問題的必要步驟.教師的講解過程沒有意識到這一點，只是照本宣科地把教材中的解答過程給學生“講”了一遍，這樣講解習題學生也能聽的懂，但是缺乏真正的啟發，學生難以體會解題中所蘊含的真正的思想方法，沒有經歷將新知識化歸為已有的知識的心理過程，所以出現“懂而不會”也就在所難免了.問題3的出現本身可以幫助學生進一步地鞏固對同角三角函數基本關系的理解，但是教師的講解卻完全模仿前面的解題步驟，使得這一節課的習題講解成了典型的“題型+技巧”模式.這種模式就是教師講學生看，學生再模仿老師的解題過程進行強化訓練，缺乏數學學習中本應該經歷的直覺、想象、類比、概括等一系列思維過程，使得學生在解題中不顧題目的具體特征而照搬技巧，完全不能體現數學的思維訓練價值.

四、總結與思考

解題教學占據了教學的大部分時間，學數學也離不開解題，學生通過解題可以加深對概念的理解，優化數學認知結構，訓練數學思維，提高自身分析和解決問題的能力.著名的數學家波利亞曾經說過：“掌握數學就意味著善于解題”；羅增儒說：“數學學習中發生數學的地方都一無例外地充滿著數學解題活動”.解題教學的過程就是讓學生學習新知、發展智力、提高能力的過程，當然也是幫助學生“學會解題”的過程.解題教學不應該只注重“題型+技巧”，而是要注重思想和方法的滲透，因為思想和方法是對知識融會貫通的理解和升華，而“題型+技巧”只是通過強化訓練達到能夠熟練地解決舊問題.至于該如何在講解習題的過程中滲透思想和方法，我們認為需要從以下幾個方面入手.

1.精選能夠體現思想和方法的習題

要想講好習題課，首先教師得選擇好的習題，也就是能夠體現思想和方法的習題，那么何謂能夠體現思想和方法的習題呢？數學是自然的、清楚的，數學知識的發展是自然而然的，而數學的思想和方法就是其本質和精要所在，所以能體現思想和方法的好習題應該也是自然的、清楚的，它們應該具備以下特征：首先，與重要的數學基礎知識相關，能體現數學概念和性質的關聯性；其次，解題的方法是自然、多樣的，同時對學生的智力有適度的挑戰；再次，表述清晰、明了、流暢.有些偏題、怪題，把知識點進行生硬的疊加，故意制造出大量的障礙，使原本簡單的數學概念變得晦澀難懂，不利于提高學生的思維素質和創造性.

2.給予學生思考的權利

根據奧蘇泊爾的有意義學習理論，學生有意義的接受學習需要經過一系列積極的思維將新知識融入到已有的知識系統中，也就是說即便是接受學習也需要學生主動地參與思維過程，而不是被動地“被告知”.因此，學生要做到真正的“懂了”而且“會用”，還需要學生自己獨立地思考、嘗試、探究，要親自經歷概念的概括過程，結論的歸納過程，以及結論推理的演繹過程.教師提出問題之后，要給學生足夠的時間讓他們自己嘗試著去解決，教師要做的是循循善誘，給予心智的啟迪，而不是越俎代庖剝奪學生思考的權利，“牽”著學生的鼻子走.

3.提高教師自身的數學教學水平

當教師把某一種題型向學生講了多次而學生還不會做的時候，教師就應該開始問自己，“是否了解所教內容所蘊含的思想和方法？”“是否懂得學生解決這一問題關鍵要克服什么？”“自己講授習題的方式學生能不能懂？”出現“懂而不會”的情況，我們要懷疑的往往是自身的數學教學水平是不是有待提高，而不應該一味地去懷疑學生的數學學習能力.因此，在講授習題的過程中進行思想和方法的滲透，也需要教師不斷地提高自己的數學專業素養和數學教學水平.

1.章建躍.為什么學生聽懂了卻不會用［J］.中小學數學，2010（12）.

2.熊惠民.數學思想方法通論（第二版）［M］.北京：科學出版社，2012.

3.徐章韜.面向教學的數學知識——基于數學發生的視角［M］.北京：科學出版社，2013.A

*本文系華中師范大學研究生教學研究項目“數學教育方向研究生學術能力提升的研究”（編號：2013JG37）的階段性研究成果.