“好”題還要講“好”
——高三數學復習課教學的一點體會

“好”題還要講“好”
——高三數學復習課教學的一點體會

☉安徽省潛山縣教育局教研室王曉蘇

新一年的高考復習早已開始.由于時間緊任務重，高三數學復習課的教學不可能像講授新課那樣開展教學，其基本模式大都是首先教師引導學生把本節課要復習的知識點逐個羅列出來，然后講解事先準備好的例題.所以例題以及教師對例題的分析講解成為一節復習課的主要內容.當然，題目本身沒有好與壞，好題是相對的，符合某個人或某群人的學習需要，能夠使其數學知識和能力高效率地得到鞏固和提高的數學題，對他們來說就是好題.但是“好”題還要講“好”.教師精辟的分析與講解不僅可以激發學生的學習興趣，增強復習的信心，還能讓學生更深刻地理解基礎知識，進一步熟練掌握基本方法，提高發現問題、提出問題以及分析和解決問題的能力，從而幫助師生擺脫題海戰術，以一當十，起到“做一題，通一類，悟一法”的作用.

一、要深入挖掘題目內在的價值，不能淺嘗輒止

實例1：數列｛an｝滿足aN*.

（Ⅰ）令bn=an+1-an，n∈N*，證明數列｛bn｝是等比數列；

（Ⅱ）求數列｛an｝的通項公式.

這是在一節高三“等比數列”的復習課上，教師作為例題講解的一道高考試題.

首先是教師的分析：要證數列｛bn｝是等比數列，只需證非零常數，然后老師請一位學生上黑板演示（Ⅰ）的證法.

這位學生的證法如下所示.

則2an+2-2an+1=-an+1+an.

則2（an+2-an+1）=-（an+1-an）.

又bn=an+1-an，所以

又b1=a2-a1=1，故數列｛bn｝是首項為1、公比為等比數列.

學生的解法當然沒有問題，甚至可以說是完美的.遺憾的是，教師只肯定了學生解法的正確性，沒有對學生的解法與教師開始分析的思路不同而做出說明（雖然學生的證明同樣也是利用了等比數列的定義，但解題思路上明顯存在難點，即要將遞推關系式進行變形），更沒有進一步拓展.接著教師講解（Ⅱ），給出的解法如下所示.

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+1+

教師的解法當然也沒有任何問題.然而，回顧以上師生對這一題的解答，我們不難發現這道好的例題還有很多有價值的地方沒有發掘出來.

其一，教師關于（Ⅰ）的分析思路“要證數列｛bn｝是等比數列，只需證非零常數，n∈N*”是證明數列是等比數列的一種通法（等差數列類似），這種方法避免了將遞推關系式變形所需的技巧，幾乎不存在任何難點，所以應該要求學生熟練掌握.

具體證明如下所示.

又b1=a2-a1=1，所以數列｛bn｝是首項為1、公比為-的等比數列.

最后教師再給出此類遞推數列問題的一般性處理方法：形如an+2=pan+1+qan（其中n∈N*，p、q為常數）的遞推關系，可通過設an+2+xan+1=y（an+1+xan），然后由解出x和y，得到等比數列｛an+1+xan｝（注：可能只有一個等比數列或an+1+xan=0），從而可將相鄰三項之間的遞推關系轉化為兩項之間的遞推關系，化難為易，化未知為熟知.

其三，（Ⅱ）的另一種解法也很有價值：在得到一個等比數列｛an+1-an｝和一個常數數列｛2an+1+an｝的通項后，可以通過聯立

二、既要注重通性、通法，又不可墨守成規

單墫教授在談數學課程改革時曾說過這樣的話“數學教師要做題.教師備課那就是備題啊，給學生做的題首先自己要會做，做得好！”然而，我們常常發現有些教師在講解題目時，由于沒有認真備題，機械、呆板地套用所謂的題型模式，把本來用很簡單的知識或方法就能解決的問題復雜化，給學生的理解、接受帶來困難.

實例2：設函數f（x）=（-x2+ax）ex，若f（x）單調遞增，求實數a的取值范圍.

這是一位老師在復習導數時講解的一道例題.筆者推測教師講解這道題的主要目的應該是復習導數的求法、導數與單調性的關系以及恒成立問題的處理方法.

老師給出的解法如下所示.

解：由f（x）=（-x2+ax）ex，得f′（x）=［-x2+（a-2）x+a］ex.

顯然教師給出的解法是套用了“恒成立問題中求參數的取值范圍時，先分離參數，然后轉化為求函數最值”的常規模式.事實上，在得到結論（1）后，完全不必要構造這樣一個復雜的函數因為不等式-x2+（a-2）x+a≥0的左邊就是一個二次函數.

由圖像易知：要使結論（1）成立，只需h（1）≥0，即-1+（a-2）+ a≥0，解得

圖1

或者在得到結論（2）后，我們在同一個坐標系中作出一次函數y=a（x+ 1）和二次函數y=x2+2x的圖像，注意函數y=a（x+1）的圖像過定點（-1，0），如圖2所示.由圖像易知要使結論（2）成立，只需a（1+1）=2a≥（12+2×1）=3，解得

圖2

這兩種處理方法顯然簡單得多，而且很好地滲透了數形結合的數學思想.

三、分析講解要合情合理，切忌照本宣科

這是2013年蘇錫常鎮四市一模試卷中的一道試題.

原卷給出的解答如下所示.

關于拮抗菌通過何種方式激發寄主產生抗菌物質，涉及分子識別、信號轉導、基因表達和蛋白修飾等一系列的過程，必須從分子層面對誘導果蔬抗性的生理生化反應和基因調控情況進行探究，目前這一方面的研究還比較欠缺。

或許出題者的意圖是通過此題考查函數的對稱性（由g（x）+g（-5-x）=0知函數y=g（x）的圖像關于點對稱），但為什么由函數y=g（x）的解析式就能想到g（x）+ g（-5-x）=0呢？教師講解時對著答案照本宣科，學生一臉茫然.

所以f（x1）+f（x2）=8.

所以教師在講解題目之前，一定要自己先認真地做一遍，然后選擇一種學生易于理解的方法講解.當然，在講解的時候可以尋求多一些解法以拓寬學生的思路，但切不能丟棄最基本、最簡便的方法.

四、要重視解題后的回顧反思，避免虎頭蛇尾

由于高考復習時間緊，任務重，所以有些教師一味追求講練題目的數量，而不做解題后的回顧與反思.

數學家喬治·波利亞說：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”.解題反思是解題教學的重要環節.反思不僅能使學生鞏固所學知識，積累基本活動經驗，而且如果從數學思想方法上反思，體會解題中蘊含的數學思想方法，更能促進學生思維的發展，使其產生認識上的飛躍.

（Ⅰ）求證：f（x）≤0；

這是2014年高考北京理科數學第18題.標準答案如下所示.

解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx-sinx，得f′（x）=cosx-xsinxcosx=-xsinx.

令g（x）=sinx-cx，則g′（x）=cosx-c.

因為g（x）在區間（0，x0）上是增函數，所以g（x0）＞g（0） =0.進一步，“g（x）＞0對任意恒成立”當且僅當

上述解法屬于解決此類問題的常規方法，學生容易理解、接受.但我們仍有必要重新審視，進行回顧與反思.

回顧與反思一：本題兩問的實質是什么？

（Ⅰ）的實質是證明函數f（x）的最大值不大于0；（Ⅱ）的實質是考察函數的取值范圍.

回顧與反思二：從上述解答中了解到本題主要考查哪些基礎知識？

主要考查三角函數的性質、三角函數的求導、導數與單調性的關系.

回顧與反思三：解答中涉及的基本方法是什么？

通過構造函數，把不等式問題轉化為求函數的最值（值域）問題，這是解決函數題中出現不等式問題的基本方法.

回顧與反思四：有沒有不同的思路？是否可以用其他的方法求解？

（Ⅰ）既然是證明不等式，我們就按照證明不等式的思路進行分析：要證f（x）≤0，即證xcosx-sinx≤0?xcosx≤sinx.

所以要證原不等式成立只要證x≤tanx成立.

圖3

有人說數學題目是做不盡的，但也有人說數學題目是可以做盡的.雖然我們不能說哪種講法一定正確，但至少說明作為教師不能自己盲目講題，讓學生盲目做題，而要真正做到精選精講，多思多想，這樣才能切實減輕教師和學生的負擔，實施素質教育，實現“高質輕負”.A