數學概念教學重在區分“輕、重、緩、急”

☉江蘇省啟東市呂四中學 徐磊

數學概念教學重在區分“輕、重、緩、急”

☉江蘇省啟東市呂四中學 徐磊

“數學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也”“概念是數學的細胞”“在概念教學上應該做到不惜時，不惜力”……雖然廣大教師對概念教學的重要性已經形成共識，但對“數學概念如何教”卻存在著較大的分歧.比如，有教師認為“概念教學關鍵是創設問題情境，好的情境是成功的一半”，也有教師認為“應該注重概念的形成過程，因為過程比結果更重要”，甚至有教師認為“應該發揮學生學習的主動性，讓學生主動構建數學概念”……這些觀點看上去都非常“在理”，卻讓人無所適從.正所謂“教無定法”，對于不同的數學概念，不同層次的學生，所采取的教學策略必然有所差異.因此，我們不必過分糾結于數學概念教學的一些細節問題，關鍵是不能“眉毛胡子一把抓”，要分清楚“輕、重、緩、急”.

一、“輕”教學套路，適合才是最好

在很多教師眼里，數學概念教學就固化為“幾部曲”.最常見的是“三部曲”.第一步：創設情境，引入概念.通過生活情境、問題情境，激發學生的學習興趣，引發認知沖突，從而為引入新的知識進行鋪墊.第二步：主動探究，形成概念.在教師的指導下，師生共同努力，經歷觀察、分析、猜想、驗證等思維過程，提煉出數學概念的定義.第三步：強化訓練，鞏固概念.通過一些典型的例題，進行概念辨析或概念應用，從而加深學生對概念的印象.當然，“幾部曲”教法有其一定的理論依據，操作性也比較強，對概念教學具有一定的參考價值，但切不可拘泥于“幾部曲”.

在平時教學中，多“一步”、少“一步”也未嘗不可.比如，未必所有的數學概念都需創設情境，有些具體形象、淺顯易懂的數學概念就用不著在情境創設上大費周章.筆者曾經聽過一堂課，上課主題為“球的表面積與體積”，上課教師為了引出“球”的概念，特意創設了一個問題情境：讓學生從各種形狀的水果中挑出是球形的水果.其實這個情境的創設就有點多余了，高中生怎么會不清楚“球”是怎樣的呢？又比如，很多教師用導學案上課，如果把導向案用在概念課上，那就用不著“幾部曲”了，學生課前已經自學了相關的內容，對教材的內容基本熟悉，所以此時應該直奔主題，面對學生進行答疑.由此可見，盡管概念課有其一定的教學套路，但具體操作中要靈活變動，適合學生的才是最好的.

二、“重”自然生成，強扭的瓜不甜

數學概念的生成是一個歸納、概括、抽象的過程.在這一過程中，學生往往要從具體的感性材料和已有的知識經驗出發，“以頭腦中已有的某些自發性概念的具體性、特殊性成分作依托，從中分化出它的理論內涵，使之能借助經驗事實，變得容易理解”，從而在自己的知識框架內構建新的數學概念.我們知道數學是“自然”的，當然數學概念的生成也應該是“自然”的.何為“自然”生成呢？關鍵是做到以下兩點.一是生成過程遵循學生的認知規律和認知水平；二是生成過程能徹底打消學生心中的疑慮.

案例1：離心率定義的由來.

（1）在數學發展史中找理由.

研究天文現象需要計算行星的運行軌道，而這些行星的運行軌道通常就是圓扁程度不一的橢圓，而離心率就是為了描述軌道圓扁程度而引入的一個量.不僅如此，天文學家還發現太陽系的八大行星都是繞著以太陽為焦點的橢圓形軌道運行的，這些軌道偏離太陽的程度也不一樣，因此他們就把離心率稱為“偏心率”.并且行星和太陽之間的距離是在變化的，其中在近日點處離太陽最近，偏離距離為a-c，在遠日點處離太陽最遠，偏離距離為a+c.當然不能直接用最近距離和最遠距離表示偏心率，因為這兩個值不僅和運行軌道的圓扁程度有關，還受軌道大小的影響，人們需要構造一個“穩定”的量來表示偏心率.最后經過反復嘗試，發現的值和橢圓大小無關卻能很好地刻畫橢圓的圓扁程度，因此，大家就選擇了表示離心率.

（2）在圓錐曲線的定義中找理由.

這回從橢圓的定義入手開始推理.橢圓是平面內到兩定點的距離之和為常數的點的軌跡（其中到兩定點的距離之和為2a，兩定點的距離為2c，且2a＞2c），定義中涉及的參數是a和c；另外圓錐曲線的統一定義為“到定點的距離與到定直線的距離之比為常數”，而這個常數的值恰好是.由此可見，a、c是描述橢圓定義乃至圓錐曲線定義的基本參數，所以用來表示離心率更加名正言順.

以上兩大理由充分揭示了“離心率”由來的問題，學生“心服口服”，從而保證了“離心率”概念生成過程的自然.但要做到“自然”生成卻并非易事，有時需要查閱文獻資料，對概念的產生進行合理地推理論證.

三、“緩”實戰應用，磨刀不誤砍柴

有相當一部分的老師認為“高考基本上都是概念的應用，很少直接考概念的表述”，因此，教師在數學概念的教學過程中過于強調數學概念的知識本位，有意無意地壓縮概念形成過程的教學，導致新授課教學變成了“應用”課教學.更有甚者，很多教師在講解概念時，沒有讓學生對其必要性獲得足夠的感性認識，而是直接給出數學概念，導致學生只會死記數學概念，而沒有真正理解數學概念的實質.

案例2：幾何概型.

教師花10分鐘左右，把幾何概型的定義向學生講解完畢.接下去，進入應用環節，一口氣給出了5個問題.

問題1：如圖1所示，將圓盤分成兩個區域，兩圓半徑之比為1∶2，染上紅、白兩色，向圓盤投擲飛鏢.問：投中紅色區域的概率是多少？

問題2：取一根長為3m的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長都不小于1m的概率有多大？

圖1

問題3：在500mL的水中有一只草履蟲，現從中隨機取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，求發現草履蟲的概率.

問題4：取一個邊長為2a的正方形及其內切圓，隨機地向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概率.

問題5：在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10mL，含有麥銹病種子的概率是多少？

本節課最大的問題是在數學概念的建立和理解上所花的時間太少，只占整個課堂的20%，而將80%的時間花在習題訓練上.這種“短、平、快”的戰術縮短了學生的認知過程，雖然加快了教學進度，但學生對概念的理解難以深入，對某一個概念學習的經驗很難遷移應用到其他數學概念的學習中去，容易導致概念學習連貫性的缺失.其實，只要學生理解幾何概型的實質后，幾何概型的運算一般是“長度比、面積比、體積比”也就很好理解了，用不著大量的重復訓練.

四、“急”建立聯系，根深才能葉茂

布魯納曾說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯系起來，那是一種多半會遺忘的知識.”在數學概念的學習中，并不存在孤立地學習某個概念的情形.概念之間的相互聯系決定了學生的學習是建立圖式和產生式系統的過程，這種認知結構必須是學習者通過自己對信息的加工去建構的，是學習者自主性和能動性學習的結果.在概念的獲得中，學生如果不能從多背景、多角度理解概念，沒有在頭腦中形成概念域或者概念系，那么一旦換一個方式去闡述同一個概念，即如果給出概念的另一表征形式，就會導致學生不知所云.因此，建立數學概念間的聯系是當務之“急”.

案例3：正弦定理與余弦定理.

在教材中（人教A版），正弦定理的推導是先作三角形的高線，然后轉化為直角三角形，利用三角形的高相等的條件得到；余弦定理的推導則是利用向量的數量積的定義.兩種推導工具，兩種推導方法，得到兩個定理，表面上看正弦定理和余弦定理風馬牛不相及，似乎看不出它們之間存在著任何聯系，但實際上是這么回事嗎？

結論1：由余弦定理能推出正弦定理.

因為a2=b2+c2-2bccosA①，b2=a2+c2-2accosB②，①-②，化簡得a2-b2=c（acosB-bcosA），

結論2：由正弦定理能推出余弦定理.

因為在三角形中A+B+C=π，則sinA=sin（B+C）= sinBcosC+cosBsinC，兩邊平方得sin2A=sin2Bcos2C+ cos2Bsin2C+2sinBcosCcosBsinC.把余弦的平方用正弦的平方代入得sin2A=sin2B（1-sin2C）+（1-sin2B）sin2C+ 2sinBcosCcosBsinC.化簡得sin2A=sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+ 2sinBcosCcosBsinC=sin2B+sin2C-2sinBsinC（sinBsinC-cosBcosC）=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，即sin2A=sin2B+ sin2C-2sinBsinCcosA①.

同理，也可以推導出余弦定理的另外兩個公式.

正弦、余弦定理不僅僅是解三角形和實現三角形邊角轉化的工具，通過上述推導，學生又會產生一個新的認知，那就是正弦、余弦定理的統一性.于是余弦定理的知識網絡也就形成了，從而有利于學生從整體上把握數學概念.

總之，數學概念最有價值，也最重要，但數學概念教學要做好也并非易事，關鍵是在教學中，教師要分清楚“輕、重、緩、急”.

1.呂增鋒.基于“自圓其說”理念下的數學概念教學——由“離心率”概念引發的思考［J］．中學數學（上），2015（1）.

2.彭清峰.高中數學概念教學“四部曲”［J］．中學數學（上），2014（12）.

3.呂增鋒.打通正弦、余弦定理的“任督”二脈——基于“再認知”理論的復習課教學［J］．中學數學教學參考（上），2014（9）.A