高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“通法”與“特技”的探析

☉江蘇省黃橋中學(xué) 袁春偉

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“通法”與“特技”的探析

☉江蘇省黃橋中學(xué) 袁春偉

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)解題方法一直是教師和學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)，解題方法的優(yōu)劣某種程度上決定著解題的速度與效率.筆者從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)多年來，一直注重和加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題中“通法”的訓(xùn)練，實(shí)踐表明：運(yùn)用“通法”進(jìn)行解題固然重要，但是解題過程中隱含的“特技”也是值得注意的，在此總結(jié)如下.

一、靈活運(yùn)用“通法”中體現(xiàn)的一般規(guī)律，獲取“簡(jiǎn)解”之“特技”

處理具體問題的基本策略通常習(xí)慣于遇“繁”則去思考“簡(jiǎn)”的處理方法，高中數(shù)學(xué)解題也是同樣的道理.然而，簡(jiǎn)解來源于對(duì)基本處理方法的調(diào)整與深層次的思考，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)解、特技的過程也是思維轉(zhuǎn)換能力提升的過程.

例1函數(shù)f（x）=ax2+（2a-1）x+1在上存在最大值3，試求實(shí)數(shù)a的值.

點(diǎn)評(píng)：本題通常的處理手段都是采取分類討論的思想，利用這種通法，正常情況下都要針對(duì)系數(shù)a的正負(fù)進(jìn)行討論，要探究拋物線的開口方向，同時(shí)還要探究對(duì)稱軸與題中所給區(qū)間之間的關(guān)系.如果拋物線開口向上，對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)的情況下，還要分析對(duì)稱軸與區(qū)間兩端點(diǎn)之間的距離遠(yuǎn)近情況，利用這種通法解題，大約有7種情況要討論，求解過程中容易手忙腳亂，出錯(cuò)率較高.上述呈現(xiàn)的解法來源于在通法討論的過程中，經(jīng)過細(xì)心的觀察發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最值，取得最值的點(diǎn)可能是區(qū)間的兩端點(diǎn)或者拋物線的對(duì)稱軸的頂點(diǎn)處，由此我們不難發(fā)現(xiàn)試題背后的一般規(guī)律，進(jìn)行合理思維方向的轉(zhuǎn)換，利用代入驗(yàn)證的方法進(jìn)行解題，結(jié)果清晰、易懂.

二、在“通法”中揭示問題的本質(zhì)，形成“巧解”之“特技”

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，對(duì)于“通法”的加強(qiáng)是毋庸置疑的，但是過分的強(qiáng)調(diào)容易讓學(xué)生產(chǎn)生思維定勢(shì)，產(chǎn)生負(fù)遷移現(xiàn)象，嚴(yán)重影響正確解題的效率.

例2證明以下4題.

剖析：數(shù)學(xué)歸納法可以說是高中數(shù)學(xué)證明題中常用的一種“通法”，高中學(xué)生能夠利用數(shù)學(xué)歸納法順利完成題1和題2兩道試題的證明.題3與題4其實(shí)是題1和題2簡(jiǎn)單的演變題而已，但是很多學(xué)生難以解決，主要是學(xué)生仍然利用數(shù)學(xué)歸納法即“通法”處理，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式左側(cè)比n=k時(shí)增加一個(gè)正項(xiàng)，直接推導(dǎo)無法完成證明，學(xué)生的思維受到阻礙.若我們?cè)诶脷w納法處理題1的過程中發(fā)現(xiàn)：此式是題1中不等式成立的基礎(chǔ)，借助此式可以思考運(yùn)用“放縮裂項(xiàng)法”尋求到解決題1的簡(jiǎn)易方法，進(jìn)而快速解決題3.學(xué)生對(duì)題4不知從何處下手的原因是沒有準(zhǔn)確把握問題的本質(zhì)，其實(shí)只要認(rèn)真思考數(shù)學(xué)歸納法的常規(guī)推理過程，不難發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是：f（k+1）＜f（k），借助函數(shù)的單調(diào)性巧妙處理題2，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)題4的本質(zhì)為，則存在最小整數(shù)t=8，使得

三、在準(zhǔn)確挖掘與捕捉隱含信息的過程中，發(fā)現(xiàn)“巧解”之“特技”

高中數(shù)學(xué)多數(shù)試題中存在著豐富的隱含信息，對(duì)這些隱蔽信息的挖掘和捕捉往往是解題的關(guān)鍵因素，特別是在解題過程中能夠有效簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)處理難題的“特技”.

解析：根據(jù)題意構(gòu)建如圖1所示的橢圓，由幾何關(guān)系可知：橢圓上的點(diǎn)到準(zhǔn)線y=1的距離介于最小值|A1M|與最大值|A2M|之間；橢圓上的點(diǎn)P（0，1）距離準(zhǔn)線y=1的垂直距離為2，則|A1M|≤2≤ |A2M|，即

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題的常規(guī)處理手段是將已知點(diǎn)代入橢圓方程，與第二定義的相關(guān)知識(shí)互相結(jié)合進(jìn)行求解，可謂“通法”，解題過程比較復(fù)雜.實(shí)際上，如果能有意識(shí)地捕捉橢圓中的特定性質(zhì)這一信息，充分利用點(diǎn)在橢圓上這一幾何條件，完全可以實(shí)現(xiàn)上述所呈現(xiàn)的“巧解”，解析中|A1M|≤2≤|A2M|正是深入捕捉信息所得到的結(jié)果.

四、在針對(duì)數(shù)學(xué)命題的多途徑等價(jià)轉(zhuǎn)換中，悟出“簡(jiǎn)解”之“特技”

高中數(shù)學(xué)解題過程實(shí)質(zhì)上是不斷地將命題由繁到簡(jiǎn)、由難到易、由生到熟的轉(zhuǎn)化過程.實(shí)踐證明，對(duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行多途徑的等價(jià)轉(zhuǎn)換，能夠從中悟出“簡(jiǎn)解”.

例4已知f（x）=2x+a的反函數(shù)的圖像上存在三點(diǎn)A（x+a，y1）、B（x，y2）、C（2+a，y3），僅存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得y1，y2，y3成等差數(shù)列，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

剖析：根據(jù)題意，反函數(shù)的表達(dá)式為y=log2（x-a），則y1=log2x，y2=log2（x-a），y3=log22=1，則問題轉(zhuǎn)化為：2y2=y1+ y3，即方程2log2（x-a）=log2x+1存在唯一解.

如果直接對(duì)（Ⅰ）進(jìn)行討論，結(jié)果相當(dāng)復(fù)雜.但是如果仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)（3）式可以由（1）與（2）得到，則（Ⅰ）可以等價(jià)于：（Ⅱ）則原命題中涉及的問題可以有如下幾種簡(jiǎn)化途徑.

途徑1：等價(jià)轉(zhuǎn)化為求方程（4）僅有一個(gè)大于實(shí)數(shù)a的解時(shí)a的取值范圍；

途徑2：等價(jià)轉(zhuǎn)化為求f（x）=（x-a）2（x＞a）與g（x）=2x的圖像有唯一公共點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍.

總而言之，作為一線的高中數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)的解題教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)“通法”解題教學(xué)的同時(shí)，應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用、回顧“通法”的過程中，注意觀察、思考與分析，從中悟出“特技”的處理策略，有效揭開“特技”背后的神秘面紗，不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問題的能力.A