借數學史之力，解概念難點之疑*
——一堂基于數學史的“復數”概念的教學嘗試與感悟

☉江蘇省無錫市青山高級中學 顧慧

☉江蘇省無錫市濱湖區教研中心王華民

·江蘇省無錫市王華民名師工作室·

借數學史之力，解概念難點之疑*
——一堂基于數學史的“復數”概念的教學嘗試與感悟

☉江蘇省無錫市青山高級中學 顧慧

☉江蘇省無錫市濱湖區教研中心王華民

一、問題的提出

眾所周知，概念教學是數學教學的重要內容，必須十分重視.有的概念比較抽象、深奧，學生難以理解.而教師的一個重要作用就是幫助學生釋疑解惑［1］.高中數學新課標指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展的趨勢……”.今天教材中的數學概念并非憑空而來，大都有著各自產生的背景和發展演變的過程，其間凝聚著無數數學家的心血和智慧.目前國內外對數學史與數學教育關系的研究成果不少，但由于種種原因，能應用于日常教學的實效性案例不是很多.在復數的概念教學中，通常是告訴學生為了使得方程x2+1=0有解，我們引入新數i，并規定i2= -1.下課后，有幾位學生向教師提出一些疑問：（1）x2+1=0有沒有解，很重要嗎？（2）既然規定負數能開平方，那我是否也可以定義負數的對數，這樣的定義有意義嗎？（3）老師能否幫我舉一些復數之外還有數的實例？筆者通過查閱大量資料，了解了復數概念產生的歷史背景，對復數概念的教學有了較為深刻的認識，并嘗試從“數學史”視角展開“復數”概念教學.

二、復數的起源

復數的歷史可以追溯到大約公元75年，古希臘數學家Heron用正四棱臺上底、下底和斜棱長來計算此棱臺高的問題.如果計算正確，.不知是Heron算錯了還是后來謄寫員抄錯了，記錄下來的是.小小失誤讓Heron與虛數失之交臂.類似情形在兩個多世紀后的古希臘數學家Diophantus身上同樣發生了.六百多年以后，印度數學家Mahaviracarya才首次明確地指出一個數（正數或負數）的平方是正數；正數的平方根有兩個，而負數沒有平方根.

真正開始發現復數要歸功于意大利數學家Cardan.他所著的《大術》一書主要探討一元二次方程與一元三次方程的求根問題.在求解其中一個問題“把10分成兩部分，使得它們的乘積為40”時，Cardan把這樣的量稱為詭辯量.他認為這樣的運算微妙卻沒有實用價值.對于一元三次方程x3=ax+b的求解，Cardan給出的求根公式.在研究一元三次方程x3=15x+4時，Cardan代入公式得到由于出現了Cardan認為此時他的公式不再適用于此類方程求根問題，并把即被開方數為負數的情形稱為不可約方程.我們可以否認一元二次方程根的存在性（如x2+1=0），一元三次方程x3=15x+4的根的存在卻不容否認（見后問題1）.與Cardan同時期的意大利數學家Bombelli發現=4.Bombelli給這看似荒謬、毫無意義的復雜表達式賦予了實數的含義［2］.這標志著復數的誕生.

Leibniz在閱讀了Bombelli的研究工作后，他與Huygens的通信中也提到了類似的等式為了解釋其合理性，Leibniz類比考慮了如下問題［3］：x2+y2=b，xy=c，經計算，他發現x+y=（考慮x＞0，y＞0，b＞0， c＞0）.顯然，x+y∈R，而x、y本身卻不一定是實數在Bombelli的研究發表二十年后，Viete又從三角函數的角度給出了Cardan不可約方程的求根公式.由此我們發現，復數的發現是源于數學家對一元三次方程的求根問題的探究，而非傳統教材中給出的從“使得一元二次方程x2+1=0有解”的角度來引入.

三、復數的發展與完善

Bombelli的研究工作雖給復數拉開了序幕，但復數依然籠罩著神秘色彩.與此同時，復數卻已被廣泛使用并出現了大量理論方面的探討.1620年，AlbeRt Girard指出n次方程有n個根.Rene Descartes因一時無法給出的幾何意義，為新數創造了“虛數”這個詞（Descartes于1637年創造了實部和虛部這兩個術語）.18世紀，Leibniz和John Bernoulli把虛數用于計算積分.這一應用引發了數學家們對負數的對數的探討［3］.復數還被廣泛用于地圖投影、流體動力學等.借助復數，Euler構建了指數函數和三角函數之間的關聯，即：eix=cosx+isinx（1748年Euler引入i來表示）.Wessel給出的復數的幾何背景才使得數學家更直觀地感受的存在性.借鑒Wessel的研究思路，可給出推導（見后問題5）.Gauss復數幾何表示法則進一步揭開了一度籠罩在上的神秘面紗.1833年，Hamilton用有序實數對給出了嚴格的復數代數定義.1847年，Cauchy又用同余等價觀給出了復數的嚴格抽象定義.19世紀末，復數才被數學家廣為接受認可.現在我們對復數的理解有：①平面內的點或向量；②有序實數對；③運算（如平面內向量的旋轉）；④形如a+bi的數（其中a、b∈R）；⑤與x2+1同余的實系數多項式；⑥形如的矩陣（其中a、b∈R）；⑦代數上封閉的完全域.曾一度被認為“虛構的”的復數不僅證實了其存在的可能性，還展示出其不可或缺的特性.現在復數已被廣泛用于代數、分析、幾何和數論等數學分支.此外，復數還被廣泛用于量子力學和電路分析等.（復數的簡單應用可參見文4-9）

四、教學嘗試

綜上可知，歷經一千八百年的探索發展，“復數”才普遍被人們接受.期間數學前輩的坎坷探索，主要是緣于原有實數系的思維定勢，制約人們思考的深入.如果在課堂上把這些都拋給學生，時間緊促，而且又將產生一些新知，對學生的理解構成新的障礙.但數學前輩這種打破“實數集”壁壘的創新思路和堅韌不拔的探索精神值得我們青年學生好好學習，需要好好傳承.由此，筆者借鑒復數概念的形成、發展史，以問題驅動，引領學生探索復數的概念，嘗試如下.

1.創設情境，提出問題

問題1：探究一元三次方程x3=15x+4的根.

啟發：對于三次方程的根，我們可以通過試一試，先找到一個根.

生1：我發現x=4是方程的根，通過因式分解，得（x-4）（x2-4x+1）=0，即（x-4）（x-2-）=0.由此得三次方程的三個根分別為

問題2：16世紀的數學家Cardan對于形如x3=ax+b的一元三次方程，給出如下求根公式：x=，請你利用此公式來探究一元三次方程x3=15x+4的根，你發現什么？

問題3：Leibniz也曾和剛才那位同學一樣產生過同樣的疑問，他考慮了如下問題：設0，y＞0），請同學們分別計算x+y、x、y的值，討論有何新的發現.

生3：（x+y）2=x2+2xy+y2=4+10.又x+y＞0，則x+y=構造方程，使得該方程的兩解分別為x、y，由判別式，知方程無解，故x、y不存在.我算出x+y是一個確定的數，可x、y為什么不存在？

教師提醒學生：要帶著創新、質疑的眼光思考問題.

2.類比探究，建構概念

問題5：請同學們回憶負數的引入，思考如何引入新數.

生5：比零小的數為負數，可以表示相反意義的量.引入負數后，形如x+1=0的方程有解.-1可以理解為繞坐標系原點逆時針旋轉180°.類似地，定義后，形如x2+1=0的方程有解.表示y軸正方向的單位有向線段，可理解為繞坐標系原點逆時針旋轉90°.

師：借鑒Wessel的研究工作（有向線段乘法的定義），我們一同嘗試給出的幾何意義的推導：設某一有向線段表示，且該有向線段長為l，方向角為θ，即=l∠θ，等式兩邊平方后可得-1=l2∠2θ.又-1= 1∠180°，所以l2∠2θ=1∠180°.由此得l2=1，2θ=180°，所以l=1，θ=90°.即i==1∠90°.這表示√-1的幾何意義是長度為1、方向角為90°的有向線段.

我們把形如a+bi，a、b∈R的數稱為復數，用字母z表示.其中a、b分別叫做復數z的實部與虛部.全體復數的集合稱為復數集，記作C.當且僅當b=0時，z表示實數；當b≠0時，z叫做虛數.特別地，當a=0且b≠0時，z叫做純虛數.請同學們用集合語言來描述實數集R與復數集C的關系.

生6：實數集R是復數集C的真子集；實數集與虛數集的并集是復數集.

問題7：我們把建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.實軸上的點表示實數，虛軸上的點表示什么數？復數z=a+bi，a、b∈R的幾何意義是什么？

生7：虛軸上的點表示純虛數（a≠0）和零（a=0）.復數z=a+bi，a、b∈R可用平面內的點P（a，b）和向量O →Z來表示.（其中O（0，0）、Z（a，b））

3.學以致用，深化理解

問題8：從前，有個富于冒險精神的年輕人，在他的曾祖父的遺物中發現了一張羊皮紙，上面指出了一個寶藏.它是這樣寫著的：“乘船至北緯、西經，即可找到一座荒島.島的北岸有一大片草地.草地上有一株橡樹和一株松樹，還有一座絞架，那是過去用來吊死叛變者的.從絞架走到橡樹，并記住走了多少步；到了橡樹向右拐個直角再走這么多步，在這里打個樁；然后回到絞架那里，朝松樹走去，同時記住所走的步數；到了松樹向左拐個直角再走這么多步，在這里也釘個樁.在兩個樁的正當中挖掘，就可找到寶藏.于是這位年輕人就租了一條船開往目的地.他找到這座島，也找到了橡樹和松樹，但使他大失所望的是絞架不見了.經過長時間的風吹日曬雨淋，絞架已糟爛成土，一點痕跡也看不出.這位年輕的冒險家陷入了絕望.在狂亂中，他在地上亂挖掘起來.但地方太大了，一切只是白費力氣.他只好兩手空空、啟程回程.如果他懂得點兒數學，特別是虛數，他本來是有可能找到寶藏的.運用虛數的知識，請你思考如何幫助探險家發現寶藏.（友情提醒：先建立平面直角坐標系，考慮對稱性）

生8說、生9補充，如下：以兩樹所在直線為x軸，兩樹連線的中點為坐標系原點，建立復平面.不妨設橡樹所在位置為A（1，0），則松樹所在位置為B（-1，0），又設絞架所在位置為P（a，b），則設先后釘下的兩個樁的位置依次為S、T.故所對應的復數為-i（a-1+bi），即b-（a-1）i，所以S（b+1，1-a）.類似地，可以推出T（-b-1，a+1）.所以ST的中點即寶藏位置為（0，1）.該探險家只需從橡樹出發，走到橡樹與松樹的中點位置，記下走過的步數，向右拐個直角再走這么多步，即可找到寶藏.（課堂上學生興致很高.）

五、教學感悟

數學前輩探索發現數學概念的曲折與艱辛能展現數學知識的人文色彩，為學生的數學學習提供正能量.讓學生意識到困惑、挫折與失敗是探索求真的必經之路，從而使其建立學習數學的自信心.對教師而言，借鑒數學史能更好地預測和解釋學生可能遇到的學習困難，有針對性地設計教學活動、選擇教學策略，促進學生對數學概念本質的理解，改變傳統教學模式下學生認為數學概念是一成不變的這個觀點.讓學生在歷史問題情境中探索，提升學生的創新思維及數學素養.

1.采用一元三次方程引入復數，讓學生感悟數學的求真與自然

中國傳統教材以簡潔明了的方式即使得一元二次方程x2+1=0有解的角度來引入虛數單位i.復數概念教學中教師常常會以解方程為線索，比如以解系列方程5x= 3、x+1=0、x2=2的過程讓學生來感受數系一次次擴充的必要性［10］，而這必然會讓學生產生與Cardan類似的疑問與困惑：負數開平方有意義嗎？英國教材對復數概念的引入方式是給出了Cardan求方程組的情形［11］.然而數學史上，Cardan并未因此而引入虛數單位，而是認為5這兩個數是“虛幻之數”.我國教材有違數學事實的引入將不利于學生的認知.英國教材借鑒了數學史，卻沒有凸顯復數概念產生真正的背景——數學家對一元三次方程x3=15x+4根的探求.

筆者讓學生運用已有的知識自主探索一元三次方程x3=15x+4的根，同時呈現Cardan、Bombelli與Leibniz等數學家的研究發現.這樣一是還原歷史本來面貌，追尋數學家探索的足跡，讓學生感悟數學的“求真”；二是讓學生自然邂逅矛盾，產生認知沖突，并意識到“負數開平方運算”的必要性，可使虛數單位i的引入更順理成章，讓學生體會數學的自然性.

2.介紹復數的幾何意義，有助于學生感受復數的存在

Bombelli的發現給原本毫無意義的表達式賦予了含義，但并未消除數學家對復數的困惑與不安．數學家希望找到復數的幾何背景或物理意義來更直觀地理解復數概念．歷史上Wallis、Wessel、Argand和Gauss等人對復數幾何意義的研究才最終驅散了曾一度籠罩在復數身上的神秘色彩.

對復數的幾何意義的處理，傳統教學往往局限于教材與教參，教師會直接給出Gauss復平面、實軸和虛軸等概念，引導學生類比實數可以用數軸上的點來表示來猜想復數a+bi可以用有序實數對（a，b）來表示［12］.這一做法看似清晰，卻忽視了這樣一個事實：由一維數軸到二維復平面的拓展正是學生理解的困難所在.現行教材刪除了復數乘法的幾何意義、復數三角表示法等內容，表面上看似乎減輕了學生的學習負擔，實則弱化了i可表示逆時針旋轉90°的運算這一直觀形象含義，反而增加了學生記憶的負荷［13］.學生會把復數的代數形式與幾何意義視為兩塊不同的內容來處理.縱觀復數概念發展史，復數概念被認可和接受是因為數學家找到了虛數單位i的幾何背景.教學中教師應讓學生探索虛數單位i的幾何含義，感受引入的新數并非數學家所假想的“虛幻之數”，而是真真切切存在的.

實數集到復數集擴充的過程中，受初中“負數沒有平方根”的影響，“負數可以進行開平方運算”是復數概念教學中學生認知的難點.為了突破這一難點，教師不妨類比學生已有的負數概念（負數表示相反意義的量）來引導學生認識“-1可表示逆時針旋轉180°”，由此進一步思考虛數單位i的幾何含義.直觀形象的幾何背景能讓學生感受其真實和存在，促進學生對復數概念的理解.

4.設計數學運用案例及課外研討，有益于學生深化理解復數的概念

概念轉變學習理論指出學習者的概念轉變需要滿足如下四個條件［14］：①對原有的概念產生不滿；②有一個新的可以理解的概念；③新概念要合情合理，即該概念要與已有知識相兼容，不會產生矛盾；④新的概念可以解決新的問題，可以拓展延伸，為探索提供更廣闊的空間.教學中運用George Gamow給出的探險家探尋寶藏的問題［15］能拉近學生與虛數單位i的距離，讓學生感受“新數”的應用就在生活中，從而激發他們“火熱的思考”.借助學生可操作的外在探究活動凸顯虛數單位i的實質內涵，有益于他們深化理解復數的概念.

前文提及那位學生提出“負數的對數”其實也存在，而高中數學教學目標不作要求，教材中也沒有提供相關素材，教師可以推薦歷史素材，引導學生課后自主閱讀，撰寫學習心得，讓學有余力的學生突破課內教學局限，拓寬數學視野.以復數概念為例，研究專題有：（a）負數和復數的對數；（b）數系的發展；（c）超越數（四元數）；（d）復數的有趣應用等．將課堂概念教學的意猶未盡延伸到課后興趣盎然的自主探索專題研討，不僅有助于激發學生學習數學的興趣，還將課堂延伸到課外．

5.借鑒數學史的復數概念教學，有益于學生培養創新思維

教師的教學風格潛移默化地影響著學生的學習方式.不少學生覺得數學概念是“冰冷的美麗”.借鑒復數概念的產生、發展與完善的過程，教師突破課標與教材的框架，以“問題串”的形式，喚醒學生解決問題的欲望，激活其內在的數學思維力，這正是數學教學的本質所在.教學方式的求異旨在讓學生親歷自主探索的思辨過程（質疑、類比、逆向思考等），自然生成了復數概念，這也是一種知識的“再創造”，有益于培養學生的創新思維.在高中數學概念教學中，教師應充分給予學生自主思維的空間與時間，讓學生的思辨能力在自主探索、合作交流的碰撞中擦出智慧的火花.使其傾聽同伴思維之聲的同時，敢于質疑，善于提問，勇于展示自我的思維過程.豐富的數學史素材為學生拓寬思路提供了強有力的支撐.

高中數學課堂概念教學如果能以學生的認知基礎為教學起點，那么更能引起學生的共鳴.將形式化的數學概念定義單方向的輸入還原為概念產生問題情境的探索，意在讓學生在民主、自由的教學氛圍中親歷概念的產生與發展過程，以激發學生的內驅力，讓學生感受數學大師敢于質疑、善于提問的科學精神，讓學生零距離接觸數學大師的創作靈感與發現，感悟蘊含其中的思想和方法，這也是培養學生情感態度價值觀的目標所在.

1.吳紅宇，王華民.一堂基于數學史的弧度制設計及感悟［J］.數學教學研究，2014（11）.

2.Nahin P J.An imaginary tale：The story of［M］.Princeton University，1998.

3.McClenon R B.A contribution of Leibniz to the history of complex numbers［J］.American Mathematical Monthly，1923.

4.Kleiner I.Thinking the Unthinkable：The Story of Complex Numbers（with a Moral）［J］.Mathematics Teacher，1988，81（7）.

5.Jones P S.Complex numbers：an example of recurring themes in the development of mathematics—III［J］.The Mathematics Teacher，1954.

6.Hallerberg A.Historical topics for the mathematics classroom［M］.Washington：NCTM，1969.

7.高夯.現代數學與中學數學［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.

8.林甲富.Pascal定理的復數證明［J］.數學通報，2000（5）.

9.孟燕平.抓住特征靈活轉換——復數知識的巧妙應用［J］.數學通報，2003（11）.

10.孫福明.基于教學案例的數學概念課的建構——從“數系的擴充與復數的引入”一節課談起［J］.數學教育學報，2010，49（6）.

11.王奮平.中英高中數學教材復數內容比較研究——以英國AQA數學課本和人教版A版數學課本為例［J］.數學教育學報，2011，20（3）.

12.芮玉貴.復數的幾何意義的教學設計與教學反思［J］.數學通報，2010（9）.

13.曹建華.探究復數概念容易忘記的原因［J］.上海中學數學，2014（1-2）.

14.Posner G J，Strike K A，Hewson P W，etal. Accommodation of a scientific conception：Toward a theory of conceptual change［J］.Science education，1982，66（2）.

15.G.伽莫夫.從一到無窮大（中譯本）［M］.北京：科學出版社，2002.A

*本文系江蘇省中小學教研室第九期立項課題：《基于數學史的高中數學概念教學研究》（編號：JK9-L028）的研究成果.