嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值下界改進(jìn)的估計(jì)式

蔣建新，李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663000)

嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值下界改進(jìn)的估計(jì)式

蔣建新，李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663000)

研究了嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣A的最小特征值τ(A)下界的估計(jì)問(wèn)題，利用A的逆矩陣A-1主對(duì)角元素的新估計(jì)式，給出了τ(A)提高的新估計(jì)式, 理論證明表明，新的估計(jì)式改進(jìn)了李朝遷2013年給出的結(jié)果，而數(shù)值算例對(duì)結(jié)果進(jìn)行了進(jìn)一步的驗(yàn)證.

嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣；M-矩陣；最小特征值；估計(jì)式

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出一些特殊矩陣的定義與記號(hào)

非奇異M-矩陣A=(aij)∈Rn×n分裂為A=D-C(D=diag(a11,a22,…,ann))，稱(chēng)JA=D-1C為A的迭代矩陣.

引理1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值的下界

這部分首先給出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的逆矩陣主對(duì)角元素新的上下界，其次利用這些界給出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值的一些新的下界，最后證明了新的界提高了李朝遷在文獻(xiàn)[3]中給出的相應(yīng)結(jié)果.

(6)

(7)

證明：因?yàn)锳是M-矩陣所以A-1≥0，且A·A-1=I，

同理利用(5)式可得(7)式成立.

同樣的方法可得下面定理2.

(8)

(9)

定理3 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣,則

(10)

又因?yàn)镴A=D-1C,C=D-A是非負(fù)矩陣，則由引理 3知

將上述結(jié)果代入引理2有

定理4 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則

(11)

下面證明定理3、定理4提高了李朝遷在文獻(xiàn)[1]中給出的相應(yīng)結(jié)果.

定理5 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則

(12)

定理6設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則

(13)

注：定理5、定理6提高了參考文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果

定理7設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則

(14)

又因?yàn)镴A=D-1C,C=D-A是非負(fù)矩陣，則由引理3知

將上述結(jié)果代入引理2知

定理8設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則

(15)

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，可得下面的估計(jì)式

(16)

(17)

數(shù)值算例：

設(shè)

容易驗(yàn)證A是非奇異的M-矩陣，應(yīng)用參考文獻(xiàn)[3]定理4.1(本文引理1)知

τ(A)≥0.00688007

應(yīng)用本文(10)式，(11)式，(14)式—(16)式分別得τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007，τ(A)≥0.00688007.

[1] 陳景良, 陳向暉. 特殊矩陣[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2000.

[2]TianG,HuangT.InequalitiesfortheminimumeigenvalueofM-matrices[J].Electronic Journal of Linear Algebra, 2010,(20):291-302.

[3] Li C， Li Y， Zhao R. New inequalities for the minimum eigenvalue ofM-matrices[J].LinearandMultilinearAlgebra,2013, (9):1267-1279.

(責(zé)任編校：晴川)

Improved Estimations of Lower Bound Minimum Eigenvalue of Strictly Diagonally DominantM-matrix

JIANG Jianxin，LI Yanyan

(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663000, China)

The paper studied the problem of estimating of lower bound minimum eigenvalueτ(A)forstrictlydiagonallydominantM-matrix,andobtainedsomenewestimationsofτ(A)byusingnewestimationsofnondiagonallyelementsofstrictlydiagonallydominantM-matrix.TheoreticalproofshowedthatnewestimatesimprovedresultsgivenbyLIChaoqianin2013,andnumericalexampleswerepresentedtofurtherverifytheresults.

strictly diagonally dominant matrix;M-matrix;minimumeigenvalue;estimation

2015-05-11

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11361074)資助項(xiàng)目;云南省教育廳科學(xué)研究基金(批準(zhǔn)號(hào):2013Y585)資助項(xiàng)目;文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):12WSXK01).

蔣建新(1981— )，男，甘肅天水人，文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士.研究方向:矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用.

O

A

1008-4681(2015)05-0001-03