多元函數極值的初等變換求解法

孫衛衛

(青島理工大學琴島學院, 山東 青島 266106)

多元函數極值的初等變換求解法

孫衛衛

(青島理工大學琴島學院, 山東 青島 266106)

首先給出了多元函數極值求解的實對稱矩陣法，然后受化二次型為標準形的初等變換法的啟發，且根據實對稱矩陣與二次型之間的關系，得到實對稱矩陣的正定性判定的初等變換法.綜合以上方法，得到了多元函數極值的初等變換求解法，并給出了相應的定理性的結論.

初等變換；多元函數；極值；實對稱矩陣；二次型；標準形；正定性.

1 多元函數極值求解的實對稱矩陣法

引入二元函數z=f(x,y)，設它在(x0,y0)的某鄰域內連續并且具有一階與二階連續的偏導數，并且已知：

fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，

假設fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fxy(x0,y0)=C，

則有如下結論(一)[1]：

(1)B2-AC<0,在(x0,y0)處取得極值，A>0時取得極小值，A<0時取得極大值；

(2)B2-AC>0,在(x0,y0)處不能取得極值；

(3)AC-B2=0，無法判定.(此結論的證明見參考文獻[2][3])

將引入二元函數z=f(x,y)的二階導數寫成矩陣形式即為：

又z=f(x,y)在(x0,y0)的某鄰域內連續并且具有一階與二階連續的偏導數，故可得：

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)，

(1)D正定，在(x0,y0)處取得是極小值；(2)D負定，在(x0,y0)處取得是極大值；(3)D不定，在(x0,y0)處不能取得極值.(此結論可由二元函數的泰勒公式進行證明，詳見參考文獻[2])

將結論(二)推廣到三元以及三元以上的函數，得到求三元與三元以上函數極值求解的實對稱矩陣法，即定理1[5]：

則有：

(1)D正定，在P0(x10,x20,...,xn0)處取得是極小值；

(2)D負定，在P0(x10,x20,...,xn0)處取得是極大值；

(3)D不定，在P0(x10,x20,...,xn0)處不能取得極值.

2 實對稱矩陣的正定性判定的初等變換法

設：

矩陣A對應的二次型為：

(1)

總存在可逆的線性變換X=CY，將其代入(1)中可得標準形：

(2)

例1：求與A合同的對角矩陣：

解：

3 多元函數極值的初等變換求解法

根據定理1、定理2的結論，可得如下定理：

(1)d1，d2，...，dn全都大于零時，在P0(x10,x20,…,xn0)處取得是極小值；

(2)d1，d2，...，dn全都小于零時，在P0(x10,x20,…,xn0)處取得是極大值；

(3)d1，d2，...，dn有正有負時，在P0(x10,x20,…,xn0)處不能取得極值；

(4)其他情況無法判斷.

例2：試求三元函數u=f(x,y,z)=sinx+siny+sinz-sin(x+y+z)的極值，其中0

解：先求解方程組

fxx=-sinx+sin(x+y+z)，fxy=sin(x+y+z)，fxz=sin(x+y+z)

fyy=-siny+sin(x+y+z)，fyz=sin(x+y+z)

fzz=-sinz+sin(x+y+z)

由初等變換法可得：

由此可得：

[1] 同濟大學數學系.高等數學·下冊(第6版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析·下冊(第4版) [M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] 徐森林.數學分析·第3冊[M].北京:清華大學出版社 2007.

[4] 吳贛昌.線性代數(第4版)[M].北京：中國人民大學出版社,2011.

[5] 紀躍芝.用矩陣的正定性判定多元函數的極值[J].吉林工學院學報,1995,(4):71-75.

[6] 黃益生.高等代數[M].北京:清華大學出版社,2014.

(責任編校：晴川)

Elementary Transformation Method for the Extreme Value of Multivariate Function

SUN Weiwei

(Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao Shandong 266106, China)

In this paper,the method for solving the extreme value of multivariate function through real symmetric matrix is given. Quadratic form can be simplied into standard form through elementary transformation method. Inspired by this and according to the relationship between the real symmetric matrix and the quadratic form, the elementary transformation method to determine the positive definite of real symmetric matrix is also given. Based on above methods, the elementary transformation method of the extreme value of multivariate function is obtained, and corresponding rational conclusions are given.

elementary transformation; multivariate function; extreme value; real symmetric matrix; quadratic form; standard form;positive definite

2015-07-13

孫衛衛(1982— ),女,山東煙臺人,青島理工大學琴島學院講師,碩士.研究方向:應用數學.

O172.1

A

1008-4681(2015)05-0004-02