多元函數極值的初等變換求解法

孫衛衛

(青島理工大學琴島學院, 山東 青島 266106)

多元函數極值的初等變換求解法

孫衛衛

(青島理工大學琴島學院, 山東 青島 266106)

首先給出了多元函數極值求解的實對稱矩陣法，然后受化二次型為標準形的初等變換法的啟發，且根據實對稱矩陣與二次型之間的關系，得到實對稱矩陣的正定性判定的初等變換法.綜合以上方法，得到了多元函數極值的初等變換求解法，并給出了相應的定理性的結論.

初等變換；多元函數；極值；實對稱矩陣；二次型；標準形；正定性.

1 多元函數極值求解的實對稱矩陣法

引入二元函數z=f(x,y)，設它在(x0,y0)的某鄰域內連續并且具有一階與二階連續的偏導數，并且已知：

fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，

假設fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fxy(x0,y0)=C，

則有如下結論(一)[1]：

(1)B2-AC<0,在(x0,y0)處取得極值，A>0時取得極小值，A<0時取得極大值；

(2)B2-AC>0,在(x0,y0)處不能取得極值；

(3)AC-B2=0，無法判定.(此結論的證明見參考文獻[2][3])

將引入二元函數z=f(x,y)的二階導數寫成矩陣形式即為：

又z=f(x,y)在(x0,y0)的某鄰域內連續并且具有一階與二階連續的偏導數，故可得：

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)，

(1)D正定，在(x0,y0)處取得是極小值；(2)D負定，在(x0,y0)處取得是極大值；(3)D不定，在(x0,y0)處不能取得極值.(此結論可由二元函數的泰勒公式進行證明，詳見參考文獻[2])

將結論(二)推廣到三元以及三元以上的函數，得到求三元與三元以上函數極值求解的實對稱矩陣法，即定理1[5]：

則有：

(1)D正定，在P0(x10,x20,...,xn0)處取得是極小值；

(2)D負定，在P0(x10,x20,...,xn0)處取得是極大值；

(3)D不定，在P0(x10,x20,...,xn0)處不能取得極值.

2 實對稱矩陣的正定性判定的初等變換法

設：

矩陣A對應的二次型為：

(1)

總存在可逆的線性變換X=CY，將其代入(1)中可得標準形：

(2)

例1：求與A合同的對角矩陣：