一種基于子結構界面動剛度的模態綜合法

諸 赟， 張美艷， 唐國安

(復旦大學力學與工程科學系， 上海 200433)

一種基于子結構界面動剛度的模態綜合法

諸 赟， 張美艷， 唐國安

(復旦大學力學與工程科學系， 上海 200433)

針對傳統模態綜合法中由于高階截斷模態帶來的計算誤差問題，將子結構界面動剛度展開成頻率的泰勒級數,表示為子結構的固定界面主模態。利用位移協調和力平衡條件對子結構界面動剛度進行模態綜合，保留了截斷模態高階項的部分貢獻，發展了一種新的模態綜合方法。推導過程不必引入質量矩陣為對角塊的假設，比現有改進方法更具普適性。數值算例的結果表明在相同自由度的前提下，該方法能獲得更高的模態綜合精度。

動態子結構； 模態綜合法;動剛度

引 言

對于復雜結構，出于分工協作或工程實際的需要，將整體結構劃分成若干個子結構分別進行動力學特性分析，然后根據子結構間界面的位移協調條件和力平衡條件進行綜合，從而得到整體結構的動力學特性，這種由子結構動力學特性綜合分析而得到整體結構動力學特性的方法就是動態子結構方法[1]。按照子結構界面自由度處理方法的不同，可以將動態子結構方法分為固定界面模態綜合法、自由界面模態綜合法和混合界面模態綜合法[2]。其中，固定界面模態綜合法在用子結構低階模態信息表示高階模態信息時不存在因剛體模態導致的奇異剛度矩陣的求逆問題，計算過程簡單，得到了較多應用。

在固定界面模態綜合法的工程應用中，Craig-Bampton-Hurty(CBH)方法[3-4]在計算低階模態時具有精度高、易于編程等優點，包含在很多商業動力學計算軟件中，解決了大量的復雜工程問題[5]。近十年間，許多學者對于CBH方法的工程應用做了深入的研究。鄧峰巖等[6]探討了CBH方法在多體動力學建模中的應用。黃道瓊等應用CBH方法分析了四機并聯發動機的低頻特性[7]。史紀鑫等利用CBH方法對含復合柔性太陽翼的航天器進行了動力學建模[8]。孫曉陽等[9]利用CBH方法實現輪胎子結構模型與車輛多體動力學模型的耦合分析。高星斗等[10]利用CBH方法建立了車載導彈發射系統多體動力學模型。鄧四二等[11]采用了CBH方法建立了高速角接觸球軸承保持架柔體動力學方程。陳海衛等[12]采用CBH方法建立了波輪式洗衣機的剛柔耦合動力學模型。何鑫等[13]利用CBH方法建立了直升機起落架實驗系統的剛柔耦合動力學模型。

在以上工程應用的研究中，CBH方法在計算低階模態時表現出很高的精度，但該方法完全忽略高階截斷模態的影響，對于高階模態的計算誤差較大。Suarez和Singh[14]考慮了截斷的高階模態的影響，但是沒有注意到新方法存在Ritz基線性相關的問題。邱吉寶和Williams[15]利用矩陣級數展開構造了非線性的特征方程，雖然充分考慮了高階模態的影響，但是非線性的特征方程求解比較復雜，需要經過多次迭代。王緬和鄭鋼鐵[16]提出的改進的固定界面模態綜合法充分考慮了高階截斷模態的影響，且不會出現Ritz基線性相關問題和非線性的特征方程，但是該方法對結構的質量矩陣做了對角塊的假設，限制了方法的應用范圍。

為此，本文作者推導了子結構界面動剛度的完備級數展開式，在此基礎上提出了基于位移協調和力平衡條件的模態綜合方法。該方法保留了截斷模態高階項的貢獻得以提高模態綜合的精度，界面力高階平衡條件的利用則減少了界面自由度的引入。在相同自由度的前提下，該方法能獲得更高的模態綜合精度，同時方法的推導過程不必引入質量矩陣為對角塊的假設，比現有方法更具普適性。數值算例的計算結果表明了方法的有效性。

1 子結構界面動剛度表達式

考慮一子結構，內部和界面的位移分別記為Xi和Xj，相應的質量、剛度矩陣為

(1)

該子結構僅在界面力作用下的頻域方程為

(2)

在固定界面條件下(Xj=0j)，內部位移滿足運動方程

(3)

該特征方程具有ni=dim(xi)對固有頻率和固有模態，記為

(4)

從固有頻率和固有模態所滿足的正交歸一條件

(5)

可以導出

(6)

由式(6)得

(7)

對上式兩端分別求逆后，得到固定界面條件下內部自由度的動柔度矩陣

(8)

其中

(9)

由方程(2)第一行，將內部位移Xi用界面位移Xj表示

(10)

則方程(2)中，第二行可以整理為界面力和界面位移的頻域關系

(11)

(12)

利用式(8)，可以將界面動剛度用固定界面主模態表示為

(13)

由Δii(ω2)定義式可以推得

(14)

移項后可得

(15)

從而

(16)

將關系式(15)和(16)代入式(13)，經過整理得

(17)

將固定界面的固有頻率和模態矩陣按低頻和高頻分塊成

(18)

式中Ωkk和Φik是低階固有頻率和模態矩陣，Ωhh和Φih是高階固有頻率和模態矩陣，分別為

(19)

在此分塊表示下，可推導出如下關系

(20)

利用上式和模態正交關系，方程(17)可以改寫為

(21)

2 子結構界面動剛度的完備展開式

(22)

代入到式(21)，考慮到固有頻率和模態矩陣滿足關系

界面動剛度可以表示為

(23)

上式中

(24)

由方程(23)可知，子結構界面力和位移的關系為

(25)

引入輔助變量

(26)

則界面力與位移的關系式可以改寫為

(27)

而輔助變量與界面位移的關系式可以寫成約束方程形式

(28)

3 利用界面動剛度完備展開式的子結構綜合

為便于表述，考慮一個含有兩個子結構的系統，分別用下標“1”和“2”表示。由關系式(27)，界面力與界面位移的關系分別寫成

(29)

引入位移協調和力平衡條件

(30)

可以得到兩個子結構綜合以后的頻域平衡方程

(31)

上式中

(32)

兩個子結構綜合后的約束方程(28)變為

(33)

將方程(31)和(33)聯立，得

(34)

4 界面位移高階導數的消去

由約束方程(33)，可以將方程改寫為

(35)

利用數學歸納法可以證明，在方程(35)兩端同乘以ω2q(q≥1)，可以得到

(36)

在方程組(36)中取q=1,…,nT，并且略去ω2p(p>nT)項，經排列后得到

(37)

上式中

α=

由此可得

(38)

(39)

其中

(40)

(41)

上式中

將關系式(38)擴展成

(42)

代入方程(41)，并左乘矩陣TT，最終得到

(43)

其中

(44)

從方程(43)可以解出特征值和對應的特征向量

(45)

將這些特征向量寫成分塊形式

(46)

(47)

數值計算中，采用高次冪級數容易帶來計算穩定性問題，在本文中具體表現為方程中系數矩陣α的條件數會變大。因此，級數階次不宜過高，算例表明保留兩項較為合適,即取nT=3。

5 數值算例

采用文獻[14]中給出的直升機尾部桁架作為分析對象，結構如圖1～3所示。整個結構左端固定，全部元件采用鋁管組裝，共計58個節點，192個單元。鋁管的彈性模量E=7.239 5×1010Pa, 截面積A=8.193 5×10-4m2。慣性矩I=2.780 4×10-7m4，極慣矩J=4.646 8×10-7m4。整個結構分為a,b兩個子結構，尾桁子結構的有限元模型，如圖4,5所示。

圖1 尾桁-頂視圖Fig.1 Top-view of the tailboom

圖2 尾桁-正視圖Fig.2 Front-view of the tailboom

圖3 直升機尾桁-端部圖(單位:m)Fig.3 Base of the tailboom(Unit:m)

圖4 子結構a的有限元模型Fig.4 Finite element model of substructure a

圖5 子結構b的有限元模型Fig.5 Finite element model of substructure b

子結構a端部固定后的自由度為138，子結構b的自由度數目為162。兩個子結構的界面共有4個節點、24個自由度，節點編號為28#,29#,30#,31#。

整體結構200 Hz以下的固有頻率計算結果如表1。表中還列出了整體有限元模型計算結果以及CBH方法的計算結果，其中誤差err定義為

如表1所示，在100 Hz以下及附近，本文方法與CBH方法精度都非常高，與有限元方法相比的誤差均不超過1%，在200 Hz附近，本文方法的精度明顯高于CBH方法。

表1 固有頻率計算結果

表2 子結構一致質量矩陣結果與對角塊質量陣結果比較

Tab.2 Results comparison between substructure consistent mass matrix and diagonal dominance mass matrix

階次Mij=0時的固有頻率Mij≠0時的固有頻率相對誤差121．29920．96941．57%222．47422．12441．58%3103．610399．67663．95%4107．5918104．12053．33%5109．3923105．30313．88%6192．3118188．35962．10%

表2結果表明，文獻[16]將子結構質量矩陣設為對角塊矩陣的假設，會帶來高達3.95%的模型誤差，相比表1中1%以內的計算誤差要大得多。可見文獻[16]關于質量矩陣是對角塊的假設有一定的局限性。在有限元建模時，即便采用集中質量矩陣，當體系中存在多點約束關系時，質量矩陣仍然會表現出非對角塊形式，多點約束關系是復雜結構建模常用的手段。本文方法是對文獻[16]的完善，取消了質量矩陣對角塊的假設，同時保留了對寬頻動力學分析的優勢[17]。

圖6 調整后尾桁-端部圖(單位:m)Fig.6 base of the tailboom with repeated frequency(Unit:m)

為了考察本文方法在結構(子結構)具有重頻情況下的適用性, 將直升機尾部桁架截面調整為正方形，兩端截面如圖6所示，材料參數和其他幾何尺寸保持不變。此時，直升機尾桁整體結構和兩個子結構均有重頻。同樣分析直升機尾桁整體結構200 Hz以下的固有頻率, 取ca=2，子結構的截斷頻率為400Hz,子結構a和b的保留模態個數分別為15和5。利用本文方法分析得到的結果、CBH方法的計算結果與整體有限元模型計算結果比較如表3所示。表3結果與表1結果類似，本文方法的精度明顯高于CBH方法。說明本文的研究方法可以直接應用到結構存在密頻和重頻的情形。

表3 重頻結構固有頻率計算結果

Tab.3 Results of the natural frequency for structure with repeated frequency

階次有限元法本文方法(err)CBH方法(err)121．43697321．436973(0．00%)21．437482(0．00%)221．43697421．436974(0．00%)21．437484(0．00%)3101．825459101．825614(0．00%)101．965142(0．14%)4101．825461101．825615(0．00%)101．965143(0．14%)5104．223044104．223218(0．00%)104．359683(0．13%)6189．680184194．733011(2．66%)200．239841(5．57%)

6 結 論

作者吸收了國內外學者對固定界面模態綜合法所做的改進工作，從推導子結構界面動剛度的完備級數展開式出發，提出了基于位移協調和界面力高階平衡條件的動態子結構綜合方法，獲得了更高的模態綜合精度，同時克服了現有改進方法中對質量矩陣所作的對角塊假設。數值算例的計算結果說明了本文方法是行之有效的。

本文方法引入了界面自由度的高階導數，通過高階的力平衡條件消去了這些變量，經模態綜合得到的模型自由度與CBH方法相同。模態綜合過程中，最大的計算量在于求解固定界面條件下的子結構固有頻率和模態，與CBH方法相比并沒有明顯增加。因此，該方法具有較高的計算效率。

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A modal synthesis method based upon dynamic stiffness on interface

ZHUYun,ZHANGMei-yan,TANGGuo-an

(Department of Mechanics and Engineering Science , Fudan University , Shanghai 200433 , China)

A new modal synthesis method is proposed in this paper for reducing errors caused by higher order modal truncations. Through series expansion, the dynamic stiffness on substructure interface is represented by the normal mode of the fixed-interface substructure. In addition, geometrical compatibility and force equilibrium on substructure interface are employed in the modal synthesis of the dynamic stiffness. Thus, a new methodology of substructure synthesis is obtained. The higher order force equilibrium on the substructure interface is employed to achieve the model reduction. Compared to Craig-Bampton method, this method keeps the contribution of the higher order terms of the truncated modes so that it can improve the accuracy of the modal synthesis. The deduction doesn′t introduce the assumption of the diagonal mass matrix which makes the method more general. The numerical result is given to show the effectiveness of the method.

dynamic substructure; mode synthesis; dynamic stiffness

2013-12-30；

2014-06-30

國家自然科學基金資助項目(11202052)

O326;V214.1

A

1004-4523(2015)03-0345-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.002

諸赟(1984—)，男，博士研究生。電話：(021)58598280;E-mail: 072029014@fudan.edu.cn

唐國安(1952—)，男，教授。E-mail: tangguoan@fudan.edu.cn