圓柱對稱顆粒系統中應力轉向比對聲波速度的影響

摘 要：為理解類固態顆粒物體彈性波的傳播性質，基于顆粒固體彈性理論，分析了圓柱對稱顆粒系統（糧倉）中應力轉向比對聲傳播速度的影響。結果表明壓縮波波速對應力轉向比的變化比較敏感，而剪切波波速對應力比的變化影響較小。

關鍵詞：顆粒物質 彈性波 應力轉向比 波速

中圖分類號：TU443 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）12（a）-0247-02

顆粒物質具有許多獨特的、不同尋常的性質，如何理解這些獨特性質是凝聚態物理科學的一個難點[1]。由于聲波能有效地進入彈性介質內部，因此，它能提供有用的、有時甚至是唯一研究真實材料性質的方法。通過測量波速和振幅衰減等可以反演出材料的結構和力學性質。近年來，關于顆粒物質的聲波測量技術已經相當成熟，出現了大量的聲波測量結果[2-3]。實驗發現，在長波（波長大于顆粒力鏈長度）近似下，顆粒物質存在類似固體的壓縮縱波、剪切橫波和表面波的傳播，并且能一個簡單的彈性勢能模型很好地描述[4-5]。從該彈性勢能出發，該文計算了圓柱對稱顆粒系統中的平面波傳播速度隨應力轉向比（在工程領域里也稱為Janssen比[1]）變化關系，探討了應力轉向比對聲波波速的影響。

1 理論計算

根據固體彈性理論，線性擾動近似下的聲波波速c由特征方程確定，其中為質量密度，為波矢k的單位矢量，四階剛度張量，為彈性能w對應變的負二階微分。彈性能對應變的負一階微分則是應力。對于線彈性材料，彈性能是應變的二次型函數，剛度張量是常數，因此，聲速與應力無關。對于類固態顆粒物質，jiang-Liu建議彈性能取為ξ），式中記號u是應變張量的跡取負值（文中將采用重復腳標自動求和的約定），是偏應變的模，B與ξ為模型參數[5]。由于顆粒物質的彈性能不是應變的二次多項式，應力與應變不再是線性關系，所描述的顆粒物質的彈性是非線性的，因此，聲速將與應力有關。在應變主軸坐標系下，應變張量的非對角項為零，對角項分別為稱為主應變。現假定波沿著方向傳播，即，代入特征方程可以得出兩個簡并橫波的波速和一個壓縮縱波波速。類似地，當波沿著或方向傳播時，壓縮波的波速分別是或。利用應力應變關系，可以將應變表示為應力的函數，進而得到波速隨應力的變化關系。

對于圓柱對稱顆粒系統，假設對稱軸沿X3方向，則應力在與對稱軸垂直的平面X1X2內的各個方向都相同，，應力的各向異性只表現在X1（X2）和X3兩個方向上，比值稱為應力轉向比。通過計算可以得到橫波的波速為沿徑向傳播的壓縮波波速為，沿軸向傳播的壓縮波波速為其中，分別為各向同性應力狀態下的橫波和縱波波速，記號為壓強，分別為與應力轉向比有關的剪切強度因子，反映了波速的剪切效應，其值為：

2 討論與結語

當系統處于各向同性應力狀態時，J=1，，系統存在一個縱波波速和一個橫波波速。當J不等于1時，，即，說明應力引起的各向異性破壞了系統的對稱性，使得沿徑向傳播的縱波波速與軸向傳播的縱波速度不相等。

圖1給出了剪切強度因子隨應力轉向比J的變化關系，其中模型參數ξ。可以看出，與相比，隨J的變化很小。說明顆粒固體應力轉向比的改變對橫波波速的影響要比縱波小，或者說縱波對應力引起的各向異性要比橫波敏感，這表明縱波的波速與傳播方向密切相關。

圖2給出了（即）隨應力比的變化關系，并實驗測量對比情況。離散符號代表實驗測量數據（兩種不同的樣品制備方式：（▲）為緊密堆積方式；（■）為松散堆積方式），詳見文獻[2]。可以看出，比值主要由應力轉向比確定，而與樣品的制備方式關系不大，發現當參數時，理論計算與實驗測量基本相符。

總之，該文基于顆粒彈性理論分析了圓柱對稱顆粒系統中應力轉向比對彈性波波速的影響情況。結果表明橫波速度受應力轉向比的影響較小，縱波速度受應力比的影響較大，縱波對系統應力引起的各向異性要比橫波更為敏感。

參考文獻

[1] Jaeger H M，Nagel S R，Behringer R P. Granular solids，liquids，and gases.Rev.Mod[J].Phys，1996，68（4）：1259-1273.

[2] 鄭鶴鵬，蔣亦民，彭政，等.顆粒固體彈性勢能的聲波性質[J].物理學報，2012，61（21）：1-9.