圓柱對(duì)稱顆粒系統(tǒng)中應(yīng)力轉(zhuǎn)向比對(duì)聲波速度的影響

摘 要：為理解類固態(tài)顆粒物體彈性波的傳播性質(zhì)，基于顆粒固體彈性理論，分析了圓柱對(duì)稱顆粒系統(tǒng)（糧倉）中應(yīng)力轉(zhuǎn)向比對(duì)聲傳播速度的影響。結(jié)果表明壓縮波波速對(duì)應(yīng)力轉(zhuǎn)向比的變化比較敏感，而剪切波波速對(duì)應(yīng)力比的變化影響較小。

關(guān)鍵詞：顆粒物質(zhì) 彈性波 應(yīng)力轉(zhuǎn)向比 波速

中圖分類號(hào)：TU443 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）12（a）-0247-02

顆粒物質(zhì)具有許多獨(dú)特的、不同尋常的性質(zhì)，如何理解這些獨(dú)特性質(zhì)是凝聚態(tài)物理科學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)[1]。由于聲波能有效地進(jìn)入彈性介質(zhì)內(nèi)部，因此，它能提供有用的、有時(shí)甚至是唯一研究真實(shí)材料性質(zhì)的方法。通過測量波速和振幅衰減等可以反演出材料的結(jié)構(gòu)和力學(xué)性質(zhì)。近年來，關(guān)于顆粒物質(zhì)的聲波測量技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)成熟，出現(xiàn)了大量的聲波測量結(jié)果[2-3]。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在長波（波長大于顆粒力鏈長度）近似下，顆粒物質(zhì)存在類似固體的壓縮縱波、剪切橫波和表面波的傳播，并且能一個(gè)簡單的彈性勢能模型很好地描述[4-5]。從該彈性勢能出發(fā)，該文計(jì)算了圓柱對(duì)稱顆粒系統(tǒng)中的平面波傳播速度隨應(yīng)力轉(zhuǎn)向比（在工程領(lǐng)域里也稱為Janssen比[1]）變化關(guān)系，探討了應(yīng)力轉(zhuǎn)向比對(duì)聲波波速的影響。

1 理論計(jì)算

根據(jù)固體彈性理論，線性擾動(dòng)近似下的聲波波速c由特征方程確定，其中為質(zhì)量密度，為波矢k的單位矢量，四階剛度張量，為彈性能w對(duì)應(yīng)變的負(fù)二階微分。彈性能對(duì)應(yīng)變的負(fù)一階微分則是應(yīng)力。對(duì)于線彈性材料，彈性能是應(yīng)變的二次型函數(shù)，剛度張量是常數(shù)，因此，聲速與應(yīng)力無關(guān)。對(duì)于類固態(tài)顆粒物質(zhì)，jiang-Liu建議彈性能取為ξ），式中記號(hào)u是應(yīng)變張量的跡取負(fù)值（文中將采用重復(fù)腳標(biāo)自動(dòng)求和的約定），是偏應(yīng)變的模，B與ξ為模型參數(shù)[5]。由于顆粒物質(zhì)的彈性能不是應(yīng)變的二次多項(xiàng)式，應(yīng)力與應(yīng)變不再是線性關(guān)系，所描述的顆粒物質(zhì)的彈性是非線性的，因此，聲速將與應(yīng)力有關(guān)。在應(yīng)變主軸坐標(biāo)系下，應(yīng)變張量的非對(duì)角項(xiàng)為零，對(duì)角項(xiàng)分別為稱為主應(yīng)變。現(xiàn)假定波沿著方向傳播，即，代入特征方程可以得出兩個(gè)簡并橫波的波速和一個(gè)壓縮縱波波速。類似地，當(dāng)波沿著或方向傳播時(shí)，壓縮波的波速分別是或。利用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可以將應(yīng)變表示為應(yīng)力的函數(shù)，進(jìn)而得到波速隨應(yīng)力的變化關(guān)系。

對(duì)于圓柱對(duì)稱顆粒系統(tǒng)，假設(shè)對(duì)稱軸沿X3方向，則應(yīng)力在與對(duì)稱軸垂直的平面X1X2內(nèi)的各個(gè)方向都相同，，應(yīng)力的各向異性只表現(xiàn)在X1（X2）和X3兩個(gè)方向上，比值稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)向比。通過計(jì)算可以得到橫波的波速為沿徑向傳播的壓縮波波速為，沿軸向傳播的壓縮波波速為其中，分別為各向同性應(yīng)力狀態(tài)下的橫波和縱波波速，記號(hào)為壓強(qiáng)，分別為與應(yīng)力轉(zhuǎn)向比有關(guān)的剪切強(qiáng)度因子，反映了波速的剪切效應(yīng)，其值為：

2 討論與結(jié)語

當(dāng)系統(tǒng)處于各向同性應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，J=1，，系統(tǒng)存在一個(gè)縱波波速和一個(gè)橫波波速。當(dāng)J不等于1時(shí)，，即，說明應(yīng)力引起的各向異性破壞了系統(tǒng)的對(duì)稱性，使得沿徑向傳播的縱波波速與軸向傳播的縱波速度不相等。

圖1給出了剪切強(qiáng)度因子隨應(yīng)力轉(zhuǎn)向比J的變化關(guān)系，其中模型參數(shù)ξ。可以看出，與相比，隨J的變化很小。說明顆粒固體應(yīng)力轉(zhuǎn)向比的改變對(duì)橫波波速的影響要比縱波小，或者說縱波對(duì)應(yīng)力引起的各向異性要比橫波敏感，這表明縱波的波速與傳播方向密切相關(guān)。

圖2給出了（即）隨應(yīng)力比的變化關(guān)系，并實(shí)驗(yàn)測量對(duì)比情況。離散符號(hào)代表實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)（兩種不同的樣品制備方式：（▲）為緊密堆積方式；（■）為松散堆積方式），詳見文獻(xiàn)[2]。可以看出，比值主要由應(yīng)力轉(zhuǎn)向比確定，而與樣品的制備方式關(guān)系不大，發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)時(shí)，理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測量基本相符。

總之，該文基于顆粒彈性理論分析了圓柱對(duì)稱顆粒系統(tǒng)中應(yīng)力轉(zhuǎn)向比對(duì)彈性波波速的影響情況。結(jié)果表明橫波速度受應(yīng)力轉(zhuǎn)向比的影響較小，縱波速度受應(yīng)力比的影響較大，縱波對(duì)系統(tǒng)應(yīng)力引起的各向異性要比橫波更為敏感。

參考文獻(xiàn)

[1] Jaeger H M，Nagel S R，Behringer R P. Granular solids，liquids，and gases.Rev.Mod[J].Phys，1996，68（4）：1259-1273.

[2] 鄭鶴鵬，蔣亦民，彭政，等.顆粒固體彈性勢能的聲波性質(zhì)[J].物理學(xué)報(bào)，2012，61（21）：1-9.